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2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化课件:第四讲 二 用数学归纳法证明不等式举例

二 用数学归纳法证明不等式举例 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.会用数学归纳法证明简单的不 等式. 2.会用数学归纳法证明贝努利不 等式. 重点:1.会用数学归纳法证明简单的 不等式. 2.会用数学归纳法证明贝努利 不等式. 3.了解贝努利不等式的应用条件. 难点:贝努利不等式的应用. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 一、本节的有关结论 1.n2<2n(n∈N+, n≥5 ). 2.|sin nθ|≤ n |sin θ|(n∈N+). 3.贝努利不等式 n (1 + x ) >1+nx . 如果 x 是实数,且 x>-1,x≠0,n 为大于 1 的自然数,那么有 当 α 是实数,并且满足 α>1 或者 α<0 时,有 (1+x)α≥1+αx(x>-1) . α (1 + x ) ≤1+αx(x>-1) . 当 α 是实数,并且 0<α<1 时,有 4.如果 n(n 为正整数)个正数 a1,a2,?,an 的乘积 a1a2?an=1,那么它们的和 a1+a2+?+an≥ n . 二、用数学归纳法证明不等式 在用数学归纳法证明不等式时, 我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个 方法是 比较法 . [双基自测] 1 1 1 1. 用数学归纳法证明: “1+ + +?+ n <n(n∈N+, n>1)”时, 由 n=k(k>1) 2 3 2 -1 不等式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( A.2k-1 C.2k B.2k-1 ) D.2k+1 1 1 1 1 1 解析:n=k 时,左边为 1+ + +?+ k ;n=k+1 时,左边为 1+ + +? 2 3 2 3 2 -1 1 1 1 1 + k + k+?+ k+1 + k+1 ,故增加了 2k+1-1-2k+1=2k 项,选 C. 2 -1 2 2 -2 2 -1 答案:C 2.对于正整数 n,下列说法不正确的是( A.32≥1+2n C.0.9n<1-0.1n 解析:由贝努利不等式 ∵(1+x)n≥1+nx,(n∈N+,x≥-1), ∴当 x=2 时,(1+2)n≥1+2n, 故 A 正确. ) B.0.9n≥1-0.1n D.0.1n≥1-0.9n 当 x=-0.1 时,(1-0.1)n≥1-0.1n,B 正确,C 不正确. 答案:C n+2 1 1 1 3.用数学归纳法证明不等式 <1+ + +?+ <n+1(n∈N+,n>1),当 n 2 2 3 2n =2 时,要证明的式子是________. 2+2 1 1 1 解析:当 n=2 时, <1+ + + <2+1. 2 2 3 4 1 1 1 答案:2<1+ + + <3 2 3 4 4.用数学归纳法证明 3n≥n3(n≥3,n∈N),第一步应验证________时,3n≥n3 成立. 解析:第一步应验证 n=3 时,3n≥n3 成立. 答案:n=3 探究一 [例 1] 贝努利不等式 2n+1. ? 1 ? ? 2 x≠0), 得?1+2k-1? ? >1 ? ? ? 1 ? 1 ?? 1 ? ? ? ? 求证:(1+1)?1+3??1+5???1+2n-1?> ? ?? ? ? ? n [证明] 由贝努利不等式(1+x) >1+nx(n∈N+, x>-1 且 1 1 1 +2× ,其中 n=2,x= (k∈N+),即 1+ > 2k-1 2k-1 2k-1 1 则 1+1> 3,1+ > 3 5 1 ,1+ > 3 5 7 1 ,?,1+ > 5 2n-1 2k+1 , 2k-1 2n+1 (n∈N+), 2n-1 将上述各式两边分别相乘得: ? 1 ? 1?? 1? ? ? (1+1)?1+3??1+5???1+2n-1? ?> ? ?? ? ? ? 3× 5 × 3 7 ×?× 5 2n+1 = 2n+1, 2n-1 ? 1 ? 1?? 1? ? ? ∴(1+1)?1+3??1+5???1+2n-1? > ? ? ?? ? ? ? 2n+1(n∈N+). 在数学研究中, 经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n 缩小为简单的 1+nx 的形式,这在数值估计和放缩法证明不等式中有重要应用.例如:当 x 是实数, 且 x>-1,x≠0 ? x ? nx ? ?n 时,有贝努利不等式不难得到不等式?1-1+x? >1- 对一切 1+x ? ? 不小于 2 的正整数 n 成立. 证明:利用贝努利不等式(1+x)n>1+nx(n∈N+,n≥2,x>-1,x≠0)的一个特例 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?3 ? ? 1 + 此处 n = 3 , x = >1 + 3· ? ? ? ?得 3 k - 2 3 k - 2 3 k - 2 ? ? ? ? ? 1 ? 1?? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 1.证明:(1+1) 1+4 1+7 ??1+3n-2?> ? ?? ? ? ? 3n+1(可考虑用贝努利不等式 n=3 的特例). 3 3k+1 1 1+ > ,k 分别取 3k-2 3k-2 1,2,?,n 时,所得 n 个不等式左右两边相乘,得: ? 1 ? 1? ? ? ? (1+1)?1+4???1+3n-2?> ? ? ? ? 3 4 7 10 3n+1 ·· · ?· . 14 7 3n-2 3n+1,得证. ? 1 ? 1?? 1? ? ? ? 3 ? ? ? ? 1 + 即(1+1) 1+4 1+7 ?? 3n-2?> ? ?? ? ? ? 探究二 [例 2] [证明] 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 用数学归纳法证明: 2+ 2+?+ 2<2(n∈N+). 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 不妨把命题 2+ 2+?+ 2<2,强化为 2+

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