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2018考前三个月高考数学理科总复习——考前回扣算法、复数、概率统计


回扣 8

算法、复数、概率统计

1.复数的相关概念及运算法则 (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的分类 ①z 是实数?b=0; ②z 是虚数?b≠0; ③z 是纯虚数?a=0 且 b≠0. (2)共轭复数 复数 z=a+bi 的共轭复数 z =a-bi. (3)复数的模 复数 z=a+bi 的模|z|= a +b . (4)复数相等的充要条件
2 2

a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R).
特别地,a+bi=0?a=0 且 b=0(a,b∈R). (5)复数的运算法则 加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i; 乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; 除法:(a+bi)÷(c+di)=

ac+bd bc-ad + i c2+d2 c2+d2

(其中a,b,c,d∈R).
2.复数的几个常见结论 (1)(1±i) =±2i. 1+i 1-i (2) =i, =-i. 1-i 1+i (3)i =1,i
4n 4n+1 2

=i,i

4n+2

=-1,i

4n+3

=-i,i +i

4n

4n+1

+i

4n+2

+i

4n+3

=0(n∈Z).

1 3 0 2 3 2 (4)ω =- ± i,且 ω =1,ω = ω ,ω =1,1+ω +ω =0. 2 2 3.程序框图的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构:如图(1)所示. (2)条件结构:如图(2)和图(3)所示. (3)循环结构:如图(4)和图(5)所示.

4.牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式

P(A)=

事件A包含的基本事件数m ; 基本事件总数n

②互斥事件的概率计算公式

P(A+B)=P(A)+P(B);
③对立事件的概率计算公式

P( A )=1-P(A);
④几何概型的概率计算公式

P(A)=

构成事件A的区域长度?面积或体积? . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

(2)抽样方法 简单随机抽样、分层抽样、系统抽样. ①从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,则每个个体被抽到的概率都为 ; ②分层抽样实际上就是按比例抽样,即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容 量. (3)统计中四个数据特征 ①众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据; ②中位数: 在样本数据中, 将数据按大小排列, 位于最中间的数据. 如果数据的个数为偶数, 就取中间两个数据的平均数作为中位数; ③平均数:样本数据的算术平均数, 1 即 x = (x1+x2+?xn);

n N

n

④方差与标准差 1 2 2 2 2 方差:s = [(x1- x ) +(x2- x ) +?+(xn- x ) ];

n

标准差:

s=

n

1 2 2 2 [?x1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ].

1.应用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥,然后求出各 事件分别发生的概率,再求和. 2.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但 互斥事件不一定是对立事件, “互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3. 混淆频率分布条形图和频率分布直方图, 误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率, 导致样本数据的频率求错. 4.要注意概率 P(A|B)与 P(AB)的区别 (1)在 P(A|B)中,事件 A,B 发生有时间上的差异,B 先 A 后;在 P(AB)中,事件 A,B 同时 发生. (2)样本空间不同,在 P(A|B)中,事件 B 成为样本空间;在 P(AB)中,样本空间仍为 Ω ,因 而有 P(A|B)≥P(AB). 5.复数 z 为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b≠0(z=a+bi,a,b∈R).还要注意巧妙运用参 数问题和合理消参的技巧. 6.在解决含有循环结构的框图时,要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与 “>”的区别. 7.在循环结构中,易错误判定循环体结束的条件,导致错求输出的结果.

a+i 1.(2017·江苏南京高淳区质检)若 (i 是虚数单位)是实数,则实数 a 的值是________. 1-i
答案 -1

a+i ?a+i??1+i? a-1+?a+1?i 解析 因为 = = 是实数,所以 a+1=0,所以 a=-1. 1-i ?1-i??1+i? 2
2 .(2017·江苏南京溧水中学质检 ) 某算法的伪代码如图所示,该算法输出的结果是 ________.

I←1 S←1
While S≤24

S←S×I I←I+1

End While Print I

答案 6 解析 该算法经过五次循环:经过第一次循环,因为 S=1<24,所以得到新的 S=1,I=2; 然后经过第二次循环,因为 S=1<24,所以得到新的 S=2,I=3; 然后经过第三次循环,因为 S=2<24,所以得到新的 S=6,I=4; 然后经过第四次循环,因为 S=6<24,所以得到新的 S=24,I=5; 然后经过第五次循环,因为 S=24,所以得到新的 S=120,I=6; 所以结束循环体并输出最后的 I. 综上所述,可得最后输出的结果是 6. 3.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前 5 次数学测试的成绩,如图所示,他们在分析对比成绩 变化时,发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了,若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩, 则看不清楚的数字为________. 答案 0 解析 设看不清的数字为 x, 99+100+101+102+103 甲的平均成绩为 =101, 5 93+94+97+110+?110+x? 所以 <101,解得 x<1, 5 所以 x=0. 4 .样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示,则样本数据落在 [6,14) 内的频数为 ________.

答案 680 解析 根据给定的频率分布直方图可知,4×(0.02+0.08+x+0.03+0.03)=1? x=0.09, 则在[6,14)之间的频率为 4×(0.08+0.09)=0.68, 所以在[6,14)之间的频数为 1000×0.68 =680. 5.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差是 2,则 xy=________. 答案 96

解析 根据平均数及方差的计算公式,可得 9+10+11+x+y=10×5,即 x+y=20,因为 标准差为 2,方差为 2, 1 2 2 2 2 2 2 2 所以 [(9-10) +(10-10) +(11-10) +(x-10) +(y-10) ]=2,即(x-10) +(y-10) 5 =8, 解得 x=8,y=12 或 x=12,y=8,则 xy=96. 6.某班运动队由足球运动员 18 人、篮球运动员 12 人、乒乓球运动员 6 人组成(每人只参加 一项), 现从这些运动员中抽取一个容量为 n 的样本, 若分别采用系统抽样法和分层抽样法, 则都不用剔除个体;当样本容量为 n+1 时,若采用系统抽样法,则需要剔除 1 个个体,那 么样本容量 n 为________. 答案 6 36 解析 总体容量为 6+12+18=36.当样本容量为 n 时, 由题意可知, 系统抽样的抽样距为 ,

n

分层抽样的抽样比是 ,则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为 6× = ,篮球运 36 36 6 动员人数为 12× = ,足球运动员人数为 18× = ,可知 n 应是 6 的倍数,36 的约数, 36 3 36 2 故 n=6,12,18.当样本容量为 n+1 时,剔除 1 个个体,此时总体容量为 35,系统抽样的抽 样距为 35

n

n

n

n

n

n

n

n+1

,因为

35

n+1

必须是整数,所以 n 只能取 6,即样本容量 n 为 6.

7.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率 是________. 答案 1 6

解析 投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,记作(m,n),共有 6×6=36(种) 结果.(m+ni)(n-mi)=2mn+(n -m )i 为实数,应满足 m=n,有 6 种情况,所以所求概率 6 1 为 = . 36 6 8.一个袋子中有 5 个大小相同的球,其中 3 个白球,2 个黑球,现从袋中任意取出一个球, 取出后不放回,然后再从袋中任意取出一个球,则第一次为白球、第二次为黑球的概率为 ____________. 答案 3 10
2 2

解析 设 3 个白球分别为 a1,a2,a3,2 个黑球分别为 b1,b2,则先后从中取出 2 个球的所有 可能结果为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1), (a3,b2),(b1,b2),(a2,a1),(a3,a1),(b1,a1),(b2,a1),(a3,a2),(b1,a2),(b2,a2),

(b1,a3),(b2,a3),(b2,b1),共 20 种.其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1,

b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共 6 种,故所求概率为 = .

6 3 20 10

9.执行如图所示的流程图,则输出的结果是________.

答案 32 解析 由题意得 log2

n+1 =log2(n+1)-log2(n+2),由程序框图的计算公式,可得 n+2

S=(log22-log23)+(log23-log24)+?+[log2n-log2(n+1)]=1-log2(n+1),由 S<-
4,可得 1-log2(n+1)<-4? log2(n+1)>5,解得 n>31, 所以输出的 n 为 32. 10.有一底面半径为 1,高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机 取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 答案 2 3

2π 3 ×1 3 V半球 解析 设点 P 到点 O 的距离小于等于 1 的概率为 P1,由几何概型,得 P1= = = V圆柱 π ×12×2 1 1 2 ,故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率 P2=1- = . 3 3 3 11.在区间[-π ,π ]内随机取出两个数分别记为 a,b,则函数 f(x)=x +2ax-b +π 有零点的概率为________. π 答案 1- 4 解析 由函数 f(x)=x +2ax-b +π 有零点, 可得 Δ =(2a) -4(-b +π )≥0, 整理得 a +b ≥π . 如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点, 试验的全部结果构成的区域为 Ω ={(a,b)|-π ≤a≤π ,-π ≤b≤π },
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

其面积 SΩ =(2π ) =4π , 事件 A 表示函数 f(x)有零点, 所构成的区域为 M={(a,b)|a +b ≥π }, 即图中阴影部分,其面积为 SM=4π -π , 故 P(A)=
2 3 2 2 2

2

2

SM 4π 2-π 3 π = =1- . 2 SΩ 4π 4
2

12.对于非负实数 a,在区间[0,10]上任取一个数 a,使得不等式 2x -ax+8≥0 在(0,+ ∞)上恒成立的概率为________. 答案 4 5

? 4? ? ? 4?? 2 解析 由 2x -ax+8≥0,得 a≤2?x+ ?在(0,+∞)上恒成立,即 a≤?2?x+ ??min 在(0, ?
x?

? ?

x??

4 +∞)上恒成立.∵x+ ≥2

x

x· =4,当且仅当 x=2 时等号成立, x

4

∴0<a≤8.故所求概率 P=

8 4 = . 10 5


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