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高中数学概念、题型及方法总结


高中数学概念、题型及方法总结 —— 三角比
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形 成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的 起始位置称为始边,终止位置称为终边。 如时钟经过一小时,时针转过了 弧度。 (答: ?

?
6



2、象限角和轴线角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的 终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,此类 角称为轴线角。 如若 ? ? ?3 ,则角 ? 的终边在第 象限。 (答:三) 3、终边相同的角的表示: (1)? 终边与 ? 终边相同 ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) ,注:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. 如与角 ? 1825 终边相同,且绝对值最小的角度数是__,合__弧度。
?

(答: ?25 ; ?

(2) ? 终边与 ? 终边共线( ? 的终边在 ? 终边所在直线上) ? ? ? ? ? k? (k ? Z) . (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 ? ? ? ?? ? 2k? (k ? Z) . (4) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) . (5) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 ? ? ? ? ? ? ? 2k? (k ? Z) .

5 ?) 36

(6) ? 终边在 x 轴上的角可表示为: ? ? k? , k ? Z ; ? 终边在 y 轴上的角可表示为: ? ? k? ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? 如 1) ? 的终边与

?
2

, k ? Z ;?

? 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =____________。 6 2)若 ? 是第四象限角,则 ? ? ? 是第 象限角。 ? 4、 ? 与 的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定. 2 ? 如若 ? 是第二象限角,则 是第_____象限角 2

k? ,k ?Z . 2

(答: 2k? ? (答:三)

?
3

, k ?Z )

(答:一、三)

5、与角有关的集合问题:关键是弄清集合中含有哪些元素。方法有:一是将集合中表示角的式子化为同一结构 形式;二是用列举法把集合具体化;三是数形结合,即在坐标系中作这些角。
0 0 如已知集合 M ? ? ? ? (4k ? 1) ? 90 , k ? Z , N ? ? ? ? ( 2k ? 1) ? 90 , k ? Z ,则 M 与 N 的关系如何?

?

?

?

?

(答:相等)
2 6、弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R 2 2 ? ? ? 180? ? ? rad ? 0.01745 rad , 1rad ? ? 角度与弧度的转换:1?= ? ? 57.30 ? 57 18' 180 ? ? ?

如已知扇形的周长是 40cm,当它的半径和圆心角分别取何值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? (答:当半径为 10cm,圆心角为 2rad 时,扇形的面积最大,为 100 cm ) 7、任意角的三角函数的定义: 单位圆定义:设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) , 那么 sin ? ? y , cos? ? x , tan ? ?
2

坐标点定义:设 ? 是任意一个角,P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点(异于原点) , 它与原点的距离是 r ?

y ( x ? 0) . x

x 2 ? y 2 ? 0 ,那么 sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? , ? x ? 0 ? 。 r r x

如(1)已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为__。 (答: ? (2)设 ? 是第三、四象限角, sin ? ?

m?3 ,则 m 的取值范围是_______(答: (3,4) ) ; m?5

7 ) ; 13

8、三角函数线的特征是:正弦线 MP“站在 x 轴上(起点在 x 轴上)” 、余弦线 OM“躺在 x 轴上(起点是原点)” 、 正切线 AT“站在点 A(1, 0) 处(起点是 A )”. 如(1)若 ? (2)若 ?

?
8

? ? ? 0 ,则 sin ? ,cos ? , tan ? 的大小关系为_____

y B P α O M A x S T

(答: tan ? ? sin ? ? cos ? ); 为锐角,则 ? ,sin ? , tan ? 的大小关系为_______ (答: sin ? ? ? ? tan ? ) ;

9、特殊角的三角函数值: 0° 30° 45° 60° 90° 1 180° 0 270° -1

sin ?

0

1 2

2 2 2 2
1

3 2
1 2

cos?
tan ?

1

3 2

0

-1

0

0

3 3

3

0

10、同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin
2

cos ? 2 2 sin ? 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan ? ? sec2 ?,1 ? cot ? ? csc ?? ? tan ?? , cot ( 2)商数关系: cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平 方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角 函数值时,一般可不用同角三角函数的基本关系式,而是利用三角函数定义直接求值。 如 1)已知 sin ? ?

m?3 4 ? 2m ? 5 ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____(答: ? ) , cos ? ? ; m?5 m?5 2 12 3 [ ?,?]) ; 4 4 5 13 (答: ? ; ) ; 3 5 ]

2)若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2 2x ? cos2x 成立的 x 取值范围是____(答: [0,

?

sin ? ? 3 cos ? tan ? ? ?1 ,则 = sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? 4)已知 sin 200 ? a ,则 tan160 等于
3)已知 A、 ?

2 ; sin ? ? sin ? cos? ? 2 =

(答:B) C、 ?

a

1? a2 1? a2 ? 5)已知 f (cosx) ? cos3x ,则 f (sin 30 ) 的值为______(答:-1) 。 k 11、三角函数诱导公式( ? ? ? )的本质是:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) ,符号看象限 2
(看原函数,同时可把 ? 看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值。

B、

a

1? a2 a

D、

1? a2 a

9? 7? 2 3 ? tan(? ) ? sin 21? 的值为________(答: ? ) ; 4 6 2 3 4 ? ? (2)已知 sin( 540 ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? 270 ) ? ______, 5 4 3 [sin( 180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 若 ? 为第二象限角,则 (答: ? ; ? ) ? ________。 ? 5 100 tan( 180 ? ? )
如(1) cos

12、和角与差角公式、二倍角公式、升降幂公式、半角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? sin ? sin ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ?1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 tan ? tan ?

tan 2? ?

2 tan? . 1 ? tan2 ?

sin

1 ? cos? 2 2 ? 1 ? cos? cos ? ? 2 2 ??
1 ? cos? tan ? ? 2 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? sin ?

?

?

1 ? cos ? ? 2 cos 2 cos 2 ? ?

?
2

, 1 ? cos ? ? 2 sin

2

?
2



1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? . 2 2

如(1)下列各式中,值为 A、 sin15 cos 15

1 的是 2
2

(答:C) ;

B、 cos

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

D、

1 ? cos 30 2

(2)已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? (3)

3 7 ,那么 cos 2 ? 的值为____(答: ) ; 5 25

1 3 的值是______(答:4) ; ? sin10 sin 80

13、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

? ? ? ? 2?

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等)

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____。 5 4 4 4 ? ? 1 ? 2 2)已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 值。 2 2 9 2 3 3 3)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ? x,cos ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? ,则 y 与 x 的函数关系为______ 5 3 239 3 4 3 1 ? x 2 ? x( ? x ? 1) ) (答:1) ;2) ? ;3) y ? ? 22 729 5 5 5
如 1)已知 tan(? ? ? ) ? (2)三角函数名互化(切化弦), 如 1)求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) 2)已知 (答:1) ; (答:

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值 1 ? cos 2? 3

1 ) 8

(3)公式变形使用。

如 1)已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____ 2)设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? (4)三角函数次数的降升

(答: ?

2 ) ; 2

3 ,则 ?ABC 是____三角形 4
(答:等边)

? 1 1 1 1 (答: sin ) ; ? ? cos 2? 为_____ 2 2 2 2 2 5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________ 2)函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? 2 ? 5? ,k? ? ]( k ? Z ) ) (答: [ k? ? 12 12
如 1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 如 1)求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin

2 ?

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2;
2)化简:

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?

sec2 x ? ? cos tan 2 x ? tan x ? cot x ? tan ? ? sin ? ? (6)常值变换主要指“1”的变换( 1 ? sin
2 2

2

2

2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4

?

?
4

1 2

(答:

1 cos 2 x ) 2

2

等) , (答:

2 2 如已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ?

sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 ,
如 1)若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ? __ (答: ?

3 ). 5

2)若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。

2

t 2 ?1 ),特别提醒:这里 t ?[? 2, 2] ; 2 4? 7 (答: ? ) ; 3
(答: 1 ? k ) 。

3)已知

? ? sin 2? ? 2sin ? ? k ( ? ? ? ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos ? 的值 4 2 1 ? tan ?
2

14、辅助角公式(收缩代换)的应用: a sin x ? b cos x ? 号确定, ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? (其中? 角所在的象限由 a, b 的符

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a 如(1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.
(2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______ (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = (4)求值:
2

(答:[-2,2]) ; (答: ?

3 ); 2

(答:-2);

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________ (答:32) 2 sin 20? cos 20? 15、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:五点法:先取横坐 ? 3? , 2? 的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期 标分别为 0, , ? , 2 2
内的图象。

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 o

y=sinx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

16、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 R。 (2)值域(有界性) :都是 ??1,1? , 对于 y ? sin x ,当 x ? 2k? ?

?

2 对于 y ? cos x ,当 x ? 2k? ? k ? Z ? 时, y max
如 1)若函数 y ? a ? b sin(3 x ?

? k ? Z ? 时, ymax ? 1 ,当 x ? 2k? ?

3? ? k ? Z ? 时, ymin ? ?1 ; 2 ? 1 ,当 x ? 2k? ? ? ? k ? Z ? 时, ymin ? ?1 。

?
6

) 的最大值为

3 1 ,最小值为 ? ,则 a ? __, b ? _ 2 2
(答: a ?

2)函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ? [ ?

? ?

1 , b ? 1 或 b ? ?1 ) ; 2

3)若 2? ? ? ? ? ,则 y ? cos ? ? 6 sin ? 的最大值和最小值分别是____ 、_____ 4)函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ?

, ] )的值域是____ 2 2

(答:[-1, 2]) ; (答:7;-5) ;

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 的最小值是_____,此时 x =__________
(答:2; k? ?

5)己知 sin ? cos ? ? 6)若 sin
2

1 ,求 t ? sin ? cos? 的变化范围 2

(k ? Z ) ) ; 12 ? 1 1? (答: ?? , ? ) ; ? 2 2?

?

? ? 2 sin 2 ? ? 2 cos? ,求 y ? sin 2 ? ? sin 2 ? 的最大、最小值
(答: ymax ? 1 , ymin ? 2 2 ? 2 ) 。

特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你注意到正余弦函数的有界性了吗? (3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ; ② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是 T ? 如 1)若 f ( x ) ? sin

2? 。 |? |

?x
3

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ?

? f (2003) =___

(答:0) ; (答: ? ) ;

4 4 2) 函数 f ( x) ? cos x ?2sin x cos x ? sin x 的最小正周期为____

3) 设函数 f ( x) ? 2 sin(

?
2

x?

?
5

) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的最小值为
(答:2)

(4)奇偶性与对称性: 正弦函数 y ? sin x( x ? R) 是奇函数,对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? 余弦函数 y ? cos x( x ? R) 是偶函数,对称中心是 ? k? ?

?
2

?k ? Z ? ;

? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? 2 ? (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。 ? 5? ? 如 1)函数 y ? sin ? (答:偶函数) ; ? 2 x ? 的奇偶性是______ ? 2 ?

? ?

?

2)已知函数 f ( x ) ? ax ? b sin3 x ? 1( a,b 为常数) ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f ( ?5 ) ? ______ (答:-5) ; 3)函数 y ? 2 cos x(sin x ? cos x) 的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________ (答: (

k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z )) ; 2 8 2 8
(答: ? ? k? ?

4)已知 f ( x ) ? sin( x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ? 的值。 5)如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? (A)

?

6

( k ?Z ))

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ? ? (D) 2

(答:C)

(5)单调性:

? 3? ? ? ?? ? ? y ? sin x在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上单调递增,在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 单调递减; 2 2? 2 2? ? ? y ? cos x 在 ?2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递减,在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。 特别提醒,别忘了 k ? Z !
如 1)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? , 则 f ( x ) 的单调递增区间是 2)下列关系式中正确的是 A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0

(答: [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z ) 3 6 (答:C) B. sin168 ? sin11 ? cos10
0 0 0 0 0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0 0

0

D. sin168 ? cos10 ? sin11
2 2

0

3)设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos

? x(? ? 0) 的最小正周期为

(Ⅰ) 求 ? 的值;(Ⅱ) 若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 的单调增区间. 17、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f ?

? 个单位长度得到, 求 y ? g ( x) 2 3 2 ? 2 7? ] (k ? Z ) ) (答: (Ⅰ) ; (Ⅱ) [ k? ? , k? ? 2 3 4 3 12

2? . 3

1 ―频率(周期的倒数) ; ? x ? ? ―相位; ? ―初相; T (2)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定:A 由最值确定; ? 由周期确定; ? 由特殊点确定。
如 1)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? 12

? ?? ?

(答:0)

2)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 的周期为 ? ,且图象上一个最低点为 M (

?
2



2? , ?2) . 3

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?

12

] ,求 f ( x) 的最值.
(答: (Ⅰ) f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

); (Ⅱ) 3 )

(3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:

① 五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =0,

?
2

,? ,

3? , 2? 2

求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象; ② 图象变换法:这是作函数简图常用方法。 (4)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的变换: 如 1)函数 y ? 2sin(2 x ?

?
4

) ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象?

(答:略) ; (答:左;

2) 要得到函数 y ? cos( ?

3)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 A. y ? cos 2 x

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4 ? B. y ? 2cos2 x C. y ? 1 ? sin( 2 x ? ) D. y ? 2sin2 x (答:B) ;

x ? x ) 图象,只需把函数 y ? sin 图象向__平移__个单位 2 4 2

? ) ; 2

4)若将函数 y ? tan( ?x ? 则 ? 的最小值为

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移

? ? 个单位长度后,与函数 y ? tan( ?x ? ) 的图像重合, 6 6
(答:

4

1 ) 2 ( 5 )研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质 ,只需将 y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x ,但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区间时,要特别注意 A 和 ? 的符号,通过诱导
公式先将 ? 化正。 如 1)函数 y ? sin( ?2 x ?

?
3

) 的递减区间是______
?
2 ?? ?

(答: [ k? ?

2)设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? A、 f ( x)的图象过点 (0, ) C、 f ( x)的图象的一个对称中心 是( 5? ,0) 3)对于函数 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?
12

?
2

) 的图象关于直线 x ?

1 2

B、 f ( x ) 在区间 [

5? 2? , ] 上是减函数 12 3

2? 对称,它的周期是 ? ,则 3

5 ? ? ,k? ? ]( k ? Z ) ) ; 12 12

D、 f ( x ) 的最大值是 A

(答:C) ;

? ? 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线 x ? 12 成轴 3? ? ? 对称;③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 个单位得到;④图像向左平移 个单位,即得到函数 12 3 y ? 2cos 2 x 的图像。其中正确结论是_______ (答:②④) ;
? ?
18、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1)定义域: {x | x ?

??

?
2

? k? , k ? Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数定义域了吗?

(2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ? 。 (4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ?

? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正切型函数的对称中心有两类: ? 2 ?

一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间 ? ? 单调性。如下图:

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有 2 ? 2 ?
三角函数图象几何性质 y= ωx +x φ yA ?tan( A tan( ? ?)? ) y
x

?sin( A sin( ? ? yy =A ωx +x φ )? ) y
O

三角函数图象几何性质

O

x

x3

x4
邻中心轴相距

x3

x4 x =x 1 x =x 2

x= Tx1
4

x =x 2
邻中心|x3-x4|= T/2

邻中心|x3-x4|=T/2

邻轴|x1-x2|=T/2

邻渐近线|x1-x2|=T

19、绝对值或平方对三角函数周期性的影响: 一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数 的函数自变量加绝对值, 其周期性不变, 其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x ? cos x 的 周期为

? ? 1 ? ,而 y ?| 2sin(3 x ? ) ? |, y ?| 2sin(3 x ? ) ? 2 | , y ?| tan x | 的周期不变; 6 2 6 2

20、解三角形 (一)三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形内角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和与第 三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正 值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方.

a ? b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径).注意: sin A sin B sin C ①正弦定理的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; a b c ? ii ? sin A ? ,sin B ? ,sin C ? ; ?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ; 2R 2R 2R
(2)正弦定理: ② 已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. (3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常用余弦定理鉴定三角形形状.
2 2 2

2bc 1 1 1 (4)面积公式: S ? aha ? ab sin C ? r (a ? b ? c) 等等(其中 r 为三角形内切圆半径). 2 2 2 a ? b ? cos C ? c ? cos B ; b ? c ? cos A ? a ? cos C ; c ? a ? cos B ? b ? cos A . (5)三角形中的射影公式: 特 别 提 醒 : ① 求 解 三 角 形 中 的 问 题 时 , 一 定 要 注 意 A? B ?C ?? 这 个 特 殊 性 : A? B C A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin ? cos ; 2 2
② 求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 (二)常见三角形的基本类型及解法: (1)已知两角和一边(如: A, B, c ) (2)已知两边和夹角(如: a, b, C ) 解法: c ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC ;由 cos A ? (3)已知三边(如: a, b, c ) 解法: C ? ? ? ( A ? B) ; a ?

c ? sin A c ? sin B ;b ? . sin C sin C

b2 ? c2 ? a2 求 A ; B ? ? ? ( A ? C) . 2bc

a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 A 解法:由 cos A ? 求 ;由 cos B ? 求 B ; C ? ? ? ( A ? B) . 2bc 2ac (4)已知两边和其中一边对角(如: a, b, A ) (注意讨论解的情况)
解法 1: c ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC ;由余弦定理推论求 B ; C ? ? ? ( A ? B) .

b ? sin C a ? sin C 求 B ; C ? ? ? ( A ? B) ; c ? . c sin A 如 1)在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件(答:充要) ;
解法 2:由 sin B ?

1 ) ; 2 3)在 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B ,则 ?C =
2)在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 ,则 log2 sinC =_____(答: ?

(答: 60 ) ; 4)在 ?ABC 中,若其面积 S ?

a ?b ?c ,则 ?C =____ 4 3
2 2 2

(答: 30 ) ;

5)在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是____(答: 6)在△ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a ?

1 B?C 3, cos A ? , 则 cos 2 = 3 2

2 39 ) ; 3

, b ? c 的最大值为
2 2

(答: ; 7)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是

1 9 ) ; 3 2

(答: 0 ? C ?

?

6

) ;

8 ) 设 O 是 锐 角 三 角 形 ABC 的 外 心 , 若 ?C ? 75 , 且 ?AOB, ?BOC, ?COA 的 面 积 满 足 关 系 式

S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A
2 2 2 2 2

(答: 45 ) .

9) ?ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ?ABC 的形状(答:直角三角形) 。 10)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 2 cos A

, AC 的取值范围为 ( 2, 3) .

o 11)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b ? (答:2) ;

cos C ? 3cos sin A ,C 12)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且 sin A 求b (答:4) ;
2 2

13)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. 解的情况为:

A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5
(答:2; 2 5 ) ;

B C 21、 在 ?A

B C 中,已知 a, b, A ,则 ?A

A 为锐角

A 为钝角或直角

图 形

关系式

a ? b ? sin A

b ? sin A ? a ? b

a?b

a?b

解的 一解 两解 一解 一解 个数 (注:上表中, A 为锐角时,若 a ? b ? sin A ,无解; A 为钝角或直角时,若 a ? b ,无解.) 如 ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 (答:C) ;


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