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2012高考数学名校专题训练 专题1 第1讲 集合与简易逻辑


专题一

第1讲

集合与简易逻辑

(限时 60 分钟,满分 100 分) 一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,共 36 分) 1.(精选考题· 北京宣武质检)设集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集 U=A∪B,则集合 ?U(A∩B)的元素个数为( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:A∩B={3,4},U=A∪B={1,2,3,4,5},?U(A∩B)={1,2,5},?U(A∩B)的元素个数 有 3 个. 答案:C 2.(精选考题· 广东高考)“x>0”是“ x2>0”成立的( A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件
3 3 3

)

B.必要非充分条件 D.充要条件

解析:当 x>0 时, x2>0 成立,但当 x2>0 时,得 x2>0,则 x>0 或 x<0,此时不 能得到 x>0. 答案:A 3. 在命题“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下, 则{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、 否命题与逆否命题中结论成立的是( A.都真 C.否命题真 ) B.都假 D.逆否命题真

解析:对于原命题“若抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0} ≠?”,这是一个真命题,所以其逆否命题也为真命题.但其逆命题“若{x|ax2+bx+c <0}≠?,则抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下”是一个假命题,因为当不等式 ax2+bx+c <0 的解集非空时,可以有 a>0,即抛物线 y=ax2+bx+c 的开口可以向上,因此否命题也 是假命题. 答案:D 4.已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素,(?UA)∪(?UB)中有 n 个元素.若 A∩B 非空,则 A∩B 的元素个数为( A.mn ) B.m+n C.n-m D.m-n

解析:如图,U=A∪B 中有 m 个元素, ∵(?UA)∪(?UB)=?U(A∩B)中有 n 个元素, ∴A∩B 中有 m-n 个元素.

答案:D 5.若集合 A={x|x2-x<0},B={x|(x-a)(x+1)<0},则“a>1”是“A∩B≠?”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:A={x|0<x<1}.若 a>1,则 B={x|-1<x<a},则 A∩B=(0,1),故“a>1”能推出 “A∩B≠?”;若 A∩B≠?,可得 a>0.因此“a>1”是“A∩B≠?”的充分不必要条件. 答案:A 6. 给出以下四个命题: ①若 x2-3x+2=0, x=1 或 x=2; 则 ②若 2≤x<3, 则(x-2)(x -3)≤0;③已知 x,y∈R,若 x=y=0,则 x2+y2=0;④若 x,y∈N,x+y 为奇数,则 x, y 中一个是奇数,一个是偶数.其中正确的是( A.①的否命题为真 C.③的逆命题为假 )

B.②的否命题为真 D.④的逆命题为假

解析:因为②的逆命题为假,故②的否命题为假,③④的逆命题可判断为真. 答案:A 二、填空题(本大题共 3 个小题,每小题 6 分,共 18 分) 7.(精选考题· 江苏高考)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的值为________. 解析:由题意知 a2+4>3,故 a+2=3,即 a=1, 经验证,a=1 符合题意, ∴a=1. 答案:1 1 2 8.(精选考题· 苏州六校联考)已知全集 U=R,集合 M={x|lgx<0},N={x|( )x≥ }, 2 2 则 (?UM)∩N=________. 解析:∵M={x|lgx<0}={x|0<x<1},

1 1 2 1 N={x|( )x≥ = ( ) 2 }={x|x≤ }, 2 2 2 2
(?UM)={x|x≥1 或 x≤0},(?UM)∩N={x|x≤0}. 答案:(-∞,0] 9.下列命题中为真命题的是________. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A ? B”;

1

②“若 x2+y2=0,则 x,y 全为 0”的否命题; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题. 解析:①A∩B=A?A?B 但不能得出 A ? B,∴①不正确; ②否命题为:“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为 0”,是真命题; ③逆命题为:“若两个三角形是相似三角形,则这两个三角形全等”,是假命题; ④原命题为真,而逆否命题与原命题是两个等价命题, ∴逆否命题也为真命题. 答案:②④ 三、解答题(本大题共 3 个小题,共 46 分) 1 3 10.(本小题满分 15 分)已知函数 f(x)= x3- x2-10x,且集合 A={x|f′(x)≤0},集合 3 2 B={x|p+1≤x≤2p-1}.若 A∪B=A,求 p 的取值范围. 1 3 解:由 f(x)= x3- x2-10x, 3 2 得 f′(x)=x2-3x-10. 由 f′(x)≤0,得-2≤x≤5. 由 A∪B=A,可知 B?A,

?p+1≤2p-1, ? 故(1)当 B≠?时,得?-2≤p+1, ?2p-1≤5, ?
解得 2≤p≤3. (2)当 B=?时,得 p+1>2p-1,解得 p<2. 由(1)(2)可得 p≤3,所以 p 的取值范围是 p≤3.
? 2 ?x -4x+3<0, 11.(本小题满分 15 分)已知命题 p:2x2-9x+a<0,命题 q:? 2 且非 p ?x -6x+8<0, ?

是非 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 解:解 q 得:Q={x|2<x<3}, ∵非 p 是非 q 的充分条件, ∴非 p?非 q 即 q?p. 设函数 f(x)=2x2-9x+a,则命题 p 为“f(x)<0”. ∴q?p,利用数形结合,
2 ? ? ? ?f?2?≤0, ?2×2 -9×2+a≤0, ?a≤10, 应有? 即? 解得? 2 ? ? ? ?f?3?≤0, ?2×3 -9×3+a≤0, ?a≤9,

∴a≤9.

故实数 a 的取值范围是{a|a≤9}. 3 12. (本小题满分 16 分)设命题 p: 函数 f(x)=(a- )x 是 R 上的减函数, 命题 q: 函数 f(x) 2 =x2-4x+3 在[0,a]上的值域为[-1,3],若“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,求 a 的取值范围. 3 3 5 解:由 0<a- <1 得 <a< , 2 2 2 ∵f(x)=(x-2)2-1 在[0,a]上的值域为[-1,3], 则 2≤a≤4, ∵p 且 q 为假,p 或 q 为真, ∴p、q 为一真一假, 3 若 p 真 q 假,得 <a<2, 2 5 若 p 假 q 真,得 ≤a≤4, 2 3 5 综上可知:a 的取值范围是 <a<2 或 ≤a≤4. 2 2

1.(精选考题· 北京高考)集合 P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x2≤9},则 P∩M=( A.{1,2} C.{1,2,3} B.{0,1,2} D.{0,1,2,3}

)

解析:集合 P={0,1,2},集合 M={-3,-2,-1,0,1,2,3},所以 P∩M={0,1,2}. 答案:B 2. 给定集合 A、 定义 A※B={x|x=m-n, B, m∈A, n∈B}. A={4,5,6}, 若 B={1,2,3}, 则集合 A※B 中的所有元素之和为( A.15 B.14 ) C.27 D.-14

解析:A※B={1,2,3,4,5},其元素之和为 15. 答案:A 3.(精选考题· 皖南八校联考(二))下列有关命题的说法正确的是( A.f(x)=ax-2(a>0 且 a≠1)的图象恒过点(0,-2) B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是“若一个数是正数,则 它的平方不是正数” D.“a>1”是“f(x)=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件 解析:函数 f(x)=ax-2(a>0,且 a≠1)的图象恒过点(0,-1),所以 A 错.“x=-1” )

是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故 B 错.C 选项中命题的否定是:“若一个数不 是负数,则它的平方不是正数”. 答案:D 4.A={x|(x-1)2<3x-7},则 A∩Z 的元素的个数为________. 解析:由(x-1)2<3x-7,得 x2-5x+8<0, ∵Δ<0,∴集合 A 为?, 因此 A∩Z=?. 答案:0 5.已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)· (x-3a)<0}. (1)若 A∪B=B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的值. 解:A={x|2<x<4}, (1)∵A∪B=B,∴A?B,a>0 时,B={x|a<x<3a},
? ?a≤2 4 ∴应满足? ? ≤a≤2. 3 ?3a≥4 ?

a<0 时,B={x|3a<x<a},显然 A ? B. a=0 时,B=?,显然不符合条件. 4 4 ∴ ≤a≤2 时,A?B,即 A∪B=B 时,a∈[ ,2]. 3 3 (2)要满足 A∩B={x|3<x<4}, 显然 a>0,a=3 时成立. ∵此时 B={x|3<x<9},A∩B={x|3<x<4}, 故所求的 a 值为 3. 6.已知命题 p:方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足 不等式 x2+2ax+2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 解:由 a2x2+ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0, 2 1 显然 a≠0,∴x=- 或 x= . a a 2 1 ∵x∈[-1,1],故|a|≤1 或|a|≤1,∴|a|≥1. “只有一个实数 x 满足 x2+2ax+2a≤0”, 即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 2, ∴命题“p 或 q”为真命题时,|a|≥1 或 a=0. ∵命题“p 或 q”为假命题,

∴a 的取值范围为{a|-1<a<0 或 0<a<1}.


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