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湖北省武汉二中2014年5月高三全真模拟考试一理科数学试题_图文

湖北省武汉二中 2014 年 5 月高三全真模拟考试一理科数学试题 命题人:许建林 考试时间:2014 年 5 月 17 日 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知 z ?
2003 1? i ? z 2014 的虚部是( (i是虚数单位) , z是z 的共轭复数,则复数 z 1? i A. i B. ?i C. 1 D. -1

)

2. 下列说法正确的是( ) 2 A. 命题“ ?x0 ? R, 使得 x0 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”

1 ? 1 ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件 a C. “ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件
B. 若 a ? R, 则“ D. 若命题 p : “ ?x ? R, sin x ? cos x ? 2 ”,则 ?p 是真命题 3. 变速直线运动的物体的速度为 v(t ), t ? 0 时所在初始位置为 S0 ,则 t1 秒末它所在的位置为 ( ) A. ? t01 v(t )dt B. S0 ? ?t01 v(t )dt C. ?t01 v(t )dt ? S0 D. S0 ? ?t01 v(t )dt 4. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图均是腰长为 1 的等腰直 角三角形,则该几何体的外接球体积为( )

3 π B. 3π C. 2 3π D. 3 3π 2 5. 若将函数 f ( x) ? ( x ? 1)5 表示为 f ( x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x)2 ? ? a5 (1 ? x)5 , a3 ? ( 其中 a0 , a1 , a2 , , a 为实数,则 ) 5 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 6. 程序框图如图,如果程序运行的结果为 S ? 132 ,那么判断框中可填入( ) A. k ? 10 B. k ? 10 C. k ? 11 D. k ? 11 7. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合, 则称这些函数为“互为生成函数”。 给出下列函数: f ( x)? s i n x ? c oxs f ( x)? s i n x ① ② ③ f ( x)? 2 ( s ix ? n cx os )
A. ④ f ( x)? 2 ( s ix ? n 1) . 其中“互为生成函数” 的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 8. 设有一个正方形网格,其中每个最小正方形边长都等于 6cm,现用直径等于 2cm 的硬币投 掷到此网格上,则硬币落下后与格线有公共点的概率是( ) A.

4 9

B.

5 9

C.

1 3

D.

2 3

9. 设 F1 , F2 分别是双曲线

使 OP ? OF2 ? F2 P ? 0, O 为坐标原点,且 PF 1 ? 3 PF 2 , 则双曲线的离心率为( A.

?

?

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点, 若双曲线右支上存在一点 P , a2 b2
)

6? 2 2 ? f ( x), f ( x) ? K 10. 已知函数 f ( x) 的定义域为 (0, ?? ), 对于给定的正数 K ,定义函数 f k ( x) ? ? . ? K , f ( x) ? K

3 ?1

B.

3 ?1 2

C.

6? 2

D.

1n x ? 1 ) , 恒有 f k ( x) ? f ( x) ,则( ex 1 1 A. K 的最大值为 B. K 的最小值为 C. K 的最大值为 2 e e
若对于函数 f ( x) ?
1

D. K 的最小值为 2

二、填空题(本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

(一)必考题(11 14 题) 11. 已知 a , b, c 分别为 ?ABC 三个角 A, B, C 的对边, 2b cos c ? 2a ? c, 则 B ? 1 9( x ? y ) ? 12. 设正实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? z ? 1 ,则 的最小值为 x? y y?z 13. 对于各数互不相等的整数数组 (i1 , i2 , 为该数组的 “ 逆序数 ” 。若数组 (i1 , i2 , 为 . 14. 古埃及数学中有一个独特现象: 除

. .

, in )(n ? 3, n ? N? ), 对于任意的 p、q ??1,2, , in ) 的逆序数为 n ,则数组 (in , in?1 ,

, n?, 当

p ? q 时,有 i p ? iq , 则称 i p , iq 是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称

, i1 ) 的逆序数

2 用一个单独的符号表示以外, 其他分数都要写成若干 3 2 1 1 个单位分数和的形式。例如 ? ? ,可以这样来理解:假定有两个面包,要平均分给 5 3 15
1 1 1 1 1 1 1 不够,每人 余 ,再将这 分成 5 份,每人得 ,这样每人分得 ? . 2 15 3 3 3 3 15 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 形如 (n ? 5 , 7 , 9 , 1 1 的分数的分解: , ) ? ? , ? ? , ? ? , 按此规律, , n 5 3 15 7 4 28 9 5 45
个人,每人

5

则 (1)

2 ? 11

.

(2)

2 ? n

. (n ? 5,7,9,11,

,).

(二)选考题(15 16 题) 15. 如图,四边形 ABED 内接于 O, AB // DE , AC 切 O 于点 A ,交 ED 的 延长线于点 C .若 AD ? BE ? 2, CD ? 1, 则 AB ? . 16. 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若极坐

θ ? 的直线与曲线 4 标方程为 ρ c o s ?

2 ? ?x ? t ( t 为参数)相交于 A, B 两点, 则 AB ? 3 ? ?y ? t

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos φ ? cos x sin φ (其中 x ? R,0 ? φ ? π ),且函数 y ? f (2 x ? ) 的图象关于直线 x ? (1)求 φ 的值; (2)若 f (α ?

π 4

π 对称。 6

2π 2 )? , 求 sin 2α 的值. 3 4

18.(12 分)在等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4, 其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? n2 ? λn( λ ? R). (1)求实数 λ 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式;

?1 ? (2)若数列 ? ? bn ? 是首项为 λ 、公比为 2 λ 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ? Sn ?

19.(12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱 AA1 ? 底面 ABC , ?ACB ? 90 , E 是棱 CC1 上的动 点, F 是 AB 的中点, AC ? 1, BC ? 2, AA1 ? 4.
2

(1)当 E 是棱 CC1 的中点时,求证: CF //平面 AEB1 ; (2)在棱 CC1 上是否存在点 E , 使得二面角 A ? EB1 ? B 的余弦值是 的长,若不存在,请说明理由.

2 17 , 若存在, 求 CE 17

20.(12 分)备受关注的冯氏马年春晚落下了帷幕,从电影导演冯小刚接手春晚到结束,公众的 “吐槽”和期待一样满。开学后,某高中学生会就“2014 年央视春晚整体满意度”在该校师 生中抽取了 300 人进行问卷调查,调查结果如下: 很 好 所持态度 一般 不好看 看 人 数 (单 100 150 50 位:人) (1)若从这 300 人中按照分层抽样的方法随机抽取 6 人进行座谈,再从这 6 人中随机抽取 3 人颁发幸运礼品,求这 3 人中持“很好看”和“一般”态度的人数之和恰好为 2 的概率. (2)现从(1)所抽取的 6 人的问卷中每次抽取 1 份, 且不重复抽取, 直至确定出所有持“很好 看”态度的问卷为止,记所要抽取的次数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左、右焦点,抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 a 2 b2 F2 ,直线 y ? x ? 5 上到点 F1、F2 的距离之和最小的点 P 恰好在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点, 则 ?F2 AB 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在, 求其最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
21.(13 分)已知 F1、F2 是椭圆 C :

22.(14 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 1nx, 数列 ?an ? 的首项为 m(m 为大于 1 的常数), 且 an?1 ? f (an )(n ? N? ) . (1)设 F ( x) ? f ( x) ? x, 求函数 F ( x) 的单调区间; (2)求证: ?n ? N ? , an?1 ? an ? 1; (3)若当 t ? (??, e ? ) 时, an?1 ? t an 恒成立,求 m 的取值范围.

1 e

3

武汉二中 2014 届高三全真模拟考试一 数学 (理科)答案 一、选择题 A 卷 1-5 CBBAD 6-10 ACBAB B 卷 1-5 AACDD 6-10 ABDAA 二、填空题 n 2 ? 3n π 1 1 1 1 ? 11. 12. 7 13. 14. ? n ? 1 n ( n ? 1) 2 3 6 66
2 2

AD ? EB 15. ?2 CD
三、解答题

16. 16

4

19.

5

20.

6

21.

7

1 2x2 ? x ? 1 ? 1 ? ?0 22. (1) F ( x) ? x2 ? ln x ? x, 当 x ? 0 时, ……………3 ' x x ? F ( x )的增区间为(0,+?). F ?( x) ? 2 x ?
(2)①当 n ? 1 时, a2 ? a1 ? a12 ? ln a1 ? a1 ? F (a1 )

a1 ? m ?1 由 , (1 知 ) F 1 a ( ?) F (? 1) ? 0 2a ? 1a 成立 ? 1 ……………………5 ' ②假设 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时命题成立,即 ak ?1 ? ak ? 1. 则 n ? k ? 1 时,

ak ? 2 ? ak ?1 ? a 2 k ?1 ? ln ak ?1 ? ak ?1 ? F (ak ?1 ) ak ?1 ? ak ? 1 由(1)知F (ak ?1 ) ? F (ak ) ? F (1) ? 0, ? ak ? 2 ? ak ?1 ? 1 即n ? k ? 1 时,命题成立。 由①②知对 ?n ? N? , an?1 ? an ? 1,
2 ? ln an ? ta n (3)由 an ?1 ? ta n 得 an

………………………7 '

又an ? 1

? t ? an ?

ln an an

1 ? ln x x 2 ? 1 ? ln x ln x ? ( x ? 1) ,则 g ?( x) ? 1 ? x2 x2 x 2 1 2x ?1 记 φ( x) ? x2 ? 1 ? ln x,( x ? 1) 则 φ?( x) ? 2 x ? ? x x x ? 1 时 φ?( x) ? 0 ? φ( x) 为 (1, ??) 的增函数 ? φ( x) ? φ(1) ? 2 ? 0 ? g?( x) ? 0 ? g ( x) 为 (1, ??) 上的增函数 ………………………12 ' ln an ln m ?m? ? g (m) (当且仅当 n ? 1 时取等号) 由(2)知 an ? a1 ? m ? 1 ? an ? an m ln an 1 恒成立, t ? (??, e ? ) 时 t ? an ? an e 1 ………………………14 ' ? g (m) ? e ? ? g (e) ? m ? e,? m 的取值范围是 [e, ??) e
令 g ( x) ? x ?

8


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