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18版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.6点到直线的距离学案苏教版必修2

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2.1.6 点到直线的距离
学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线的距离公式,并能灵活应 用于求平行线间的距离等问题.
知识点一 点到直线的距离 思考 1 一般地,对于直线 l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)外一点 P(x0,y0),点 P 到直线的 距离为 d,过点 P 分别作 x 轴和 y 轴的平行线,交直线 l 于 R 和 S,则 d 同线段 PS,PR,RS 间存在什么关系?
思考 2 根据思考 1 的思路,点 P 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d 怎样用 A,B,C 及 x0,y0 表示?
思考 3 点到直线的距离公式对于 A=0 或 B=0 时的直线是否仍然适用?
梳理 (1)定义:点到直线的垂线段的长度.
1

(2)图示: (3)公式:d=________________. 知识点二 两条平行直线间的距离 思考 直线 l1:x+y-1=0 上有 A(1,0)、B(0,1)、C(-1,2)三点,直线 l2:x+y+1=0 与 直线 l1 平行,那么点 A、B、C 到直线 l2 的距离分别为多少?有什么规律吗?
梳理 (1)定义:夹在两平行线间的公垂线段的长.
(2)图示: (3)求法:转化为点到直线的距离. (4)公式:两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 之间的距离 d=|CA1-2+CB2|2.
类型一 点到直线的距离 例 1 (1)求点 P(2,-3)到下列直线的距离. ①y=43x+13;②3y=4;③x=3.
(2)求过点 M(-1,2),且与点 A(2,3),B(-4,5)距离相等的直线 l 的方程.
2

反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式. ②点 P 在直线 l 上时,点到直线的距离为 0,公式仍然适用. ③直线方程 Ax+By+C=0,当 A=0 或 B=0 时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标 轴垂直),故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意. 跟踪训练 1 (1)若点(4,a)到直线 4x-3y=0 的距离不大于 3,则 a 的取值范围是 ________________; (2)已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线 l 的方程为 _____________. 类型二 两平行线间的距离 例 2 (1)若两直线 3x+y-3=0 和 6x+my-1=0 平行,则它们之间的距离为____________. (2)已知直线 l 与两直线 l1:2x-y+3=0 和 l2:2x-y-1=0 的距离相等,则直线 l 的方程 为________________. 反思与感悟 求两平行线间的距离,一般是直接利用两平行线间的距离公式,当直线 l1:y =kx+b1,l2:y=kx+b2,且 b1≠b2 时,d=|b1k-2+b21|;当直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+ By+C2=0,且 C1≠C2 时,d=|CA1-2+CB2|2.但必须注意两直线方程中 x,y 的系数对应相等. 跟踪训练 2 (1)求与直线 l:5x-12y+6=0 平行且到 l 的距离为 2 的直线方程;
(2)两平行直线 l1,l2 分别过 P1(1,0),P2(0,5),若 l1 与 l2 的距离为 5,求两直线方程.
3

1.点 P(-1,2)到直线 3x-1=0 的距离为________. 2.若点(1,2)到直线 x-y+a=0 的距离为 22,则实数 a 的值为________. 3.已知点 P 为 x 轴上一点,且点 P 到直线 3x-4y+6=0 的距离为 6,则点 P 的坐标为 ____________. 4.到直线 3x-4y+1=0 的距离为 3,且与此直线平行的直线方程为________________. 5.若点 P 到直线 5x-12y+13=0 和直线 3x-4y+5=0 的距离相等,则点 P 的坐标应满足的 方程是__________. 1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值,利用点到直线的距离公式,解题 时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程,有时需结合图形,数形结合,使问题更清晰. 3.已知两平行直线,其距离可利用公式 d=|CA1-2+CB2|2求解,也可在已知直线上取一点,转化 为点到直线的距离.
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答案精析

问题导学

知识点一

思考 1 d=PRR·SPS.

思考 2 d=|Ax0+A2B+y0B+2 C|.

思考 3 仍然适用,①当 A=0,B≠0 时,直线 l 的方程为 By+C=0,

即 y=-CB,d=|y0+CB|=|By|0B+| C|,适合公式.

②当 B=0,A≠0 时,直线 l 的方程为 Ax+C=0,x=-CA,d=|x0+CA|=|Ax|0A+| C|,适合公

式. 梳理 (3)|Ax0+A2B+y0B+2 C|

知识点二

思考 点 A、B、C 到直线 l2 的距离分别为 2、 2、 2.规律是当两直线平行时,一条直线 上任一点到另一条直线的距离都相等.

题型探究

例 1 (1)①y=43x+13可化为 4x-3y+1=0,点 P(2,-3)到该直线的距离为

|4×2- - +1| 18

42+ - 2

=5.

②3y=4 可化为 3y-4=0,

由点到直线的距离公式得

|-3×3-4| 13 02+32 = 3 .

③x=3 可化为 x-3=0,

|2-3| 由点到直线的距离公式得 1 =1.

(2)解 当过点 M(-1,2)的直线 l 的斜率不存在时,

直线 l 的方程为 x=-1,

恰好与 A(2,3),B(-4,5)两点的距离相等,故 x=-1 满足题意.

当过点 M(-1,2)的直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y-2=k(x+1),

5

即 kx-y+k+2=0.

由点 A(2,3)与 B(-4,5)到直线 l 的距离相等,得

|2k-3+k+2| |-4k-5+k+2|

k2+1 =

k2+1



解得 k=-13,

此时 l 的方程为 y-2=-13(x+1),

即 x+3y-5=0.

综上所述,直线 l 的方程为 x=-1 或 x+3y-5=0.

1 31 跟踪训练 1 (1)[3, 3 ]

(2)2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0

例2

(1)

10 4

(2)2x-y+1=0

跟踪训练 2 解 (1)设所求直线方程为 5x-12y+C=0, 在直线 5x-12y+6=0 上取一点

P0???0,12???,

则点

P0 到直线

5x-12y+C=0

的距离为

|-12×12+C| |C-6|

52+ -


2

13



由题意,得|C- 136|=2,

所以 C=32 或 C=-20,

故所求直线方程为 5x-12y+32=0 或 5x-12y-20=0.

(2)依题意,两直线的斜率都存在,

设 l1:y=k(x-1),即 kx-y-k=0,

l2:y=kx+5,即 kx-y+5=0.

因为 l1 与 l2 的距离为 5,

|-k-5|

所以

=5,解得

k2+1

k=0

5 或12.

所以 l1 和 l2 的方程分别为 y=0 和 y=5 或 5x-12y-5=0 和 5x-12y+60=0. 当堂训练

4 1.3 2.0 或 2 3.(-12,0)或(8,0)

4.3x-4y+16=0 或 3x-4y-14=0

6

5.32x-56y+65=0 或 7x+4y=0
7