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高中数学(理科)立体几何选择题的解法

立体几何选择题的解法
立体几何选择题有两种形式:一是线线、线面、面面关系的判断题,二是求角或距离. 一、线线、线面、面面关系 1. (江西,文 7)设直线 m 与平面α 相交但不垂直,则下列说法中正确的是: A.在平面α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直; B.过直线 m 有且只有一个平面与平面α 垂直; C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面α 平行; D.与直线 m 平行的平面不可能与平面α 垂直. 解析:①三种关系“线线、线面、面面”的判断题,以长方体为构图 框架;②条件中,有“平面、直线” ,一般地固定平面,移动直线,对 选择项逐一检验. 检验 A:显然,b⊥m,c⊥m,所以:A×. 检验 B:正确,B√. 检验 C:显然 d⊥m,d∥α ,故 C×. 检验 D:显然β ∥m,且β ⊥α ,所以:D×. 2. (天津,文 4)设 a、b 是两条直线,α 、β 是两个平面,则 a⊥ b 的一个充分条件是: A.a⊥α ,b∥β , a⊥β ; ? a⊥b】 【 B.a⊥α ,b⊥β , a∥β ; ? a⊥b】 【 C.a 在α 内,b⊥β ,a∥β ; ? a⊥b】 【 D.a 在α 内,b∥β , a⊥β . ? a⊥b】 【 解析:①三种关系“线线、线面、面面”的判断题,条件中出现: “a∥β ” ,在构图时,把 a、β 画为同一个平面;②若条件中出现: “b∥β ” ,在构图时,把 b 画在平面β 内;③本题选项的条件多,验 证选项时,从两个平面平行入手:故先检验 C.本题【C】 . 3. (安徽,理 4)已知 m,n 是两条不同直线,α 、β 、γ 是三个不同平面,下列命题中 正确的是 A.若 m//α ,n//α ,则 m//n; B.若 m⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ; C.若 m//α ,m∥β ,则α ∥β ; D.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m//n. 解析:①三种关系“线线、线面、面面”的判断题,若选项的结论中有“α ∥β ” ,则首 先检验: 条件是否足以保证两个平面不重合; 本题直接淘汰 B、 ②若选项的结论中有 C; “m//n” , 则首先检验:条件是否足以保证两条直线不相交;本题直接淘汰 A;故【D】 4. (浙江,文 9)对于两条不相交的空间直线 a 和 b,必定存在平面α ,使得 A.直线 a 在α 内,直线 b 也在α 内 B.直线 a 在α 内,b∥α C.a⊥α ,b⊥α D.直线 a 在α 内,b⊥α 解析:①存在性命题结构: “若 p?,必定存在?,使得 q?” ? “必定存在?,若 p?, 则 q?”“使得”=“ ? ”“必定存在?”是大前提. , , ②命题“两条不相交的空间直线 a 和 b” ? 命题“a∥b,或 a、b 异面” ; 求解方法是:构造命题,逐一验证. A: “必定存在平面α ,若 a∥b,或 a、b 异面,则直线 a 在α 内,直线 b 也在α 内” ,×; B: “必定存在平面α ,若 a∥b,或 a、b 异面,则直线 a 在α 内,b∥α ” ,√;

C: “必定存在平面α ,由 a∥b,或 a、b 异面 ? a⊥α ,b⊥α ” ,×; D: “必定存在平面α ,由 a∥b,或 a、b 异面 ? 直线 a 在α 内,b⊥α ” ,×. 评注:①存在性命题结构: “若 p?,必定存在?,使得 q?”的理解要到位; ②“两条不相交的空间直线 a 和 b” ? “a 在α 内,b∥α ” . 5. (海南,文 12)已知平面α ⊥平面β ,α ∩β =L,点 A∈α , A 不有直线 L 上,直线 AB∥L,直线 AC⊥L,直线 m∥α ,m∥β ,则 下列四种位置关系中,不一定成立的是 A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 解:根据条件和解题原则:①先画平面α 、β 和交线 L;②由解题 原则,把 m 画为与 L 重合;③由解题原则:若结论中有平行,则考 察条件是否能保证元素的不重合,所以首先淘汰 A、C;④在长方体 左侧面内,变动 AC,故【B】 . 6.已知 a、b 为异面直线,则:①经过直线 a,存在惟一平面α ,使 b∥α ;②经过直线 a,存在惟一平面α ,使 b⊥α ;③经过直线 a、b 外任意一点,存在平面α ,使 a∥α ,b ∥α ;上述命题中,真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 解: (1)构造长方体; (2)条件中的“异面直线” ,视为“相交直线” ,①√;②×;③×

二、求角或距离及球中的计算 1. (09、四川、理、15)已知正三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的各条棱长都相 等, M 是侧棱 C C 1 的中点,则异面直线 A B1和 B M 所成的角的大小是 _________________; 解:不妨设棱长为 2,补成直四棱柱.计算即得:90 度. 评注:补形可以减轻思维压力,降低计算难度.

2. (09、浙江、理 5)在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是 侧面 B B1C 1C 的中心,则 A D 与平面 A1 B 1 所成角的余弦值是________________; 解:设棱长为 2,则 DE=1,AE= 3 ? AD=2 ? cos ? 2 =
3 2

,又 cos ? 1 =

1 2


3 4 3 4

∵cosθ =cos ? 1 ·cos ? 2 =



∴ A D 与平面 A1 B 1 所成角的余弦值是

. 的

评注:在求角或距离时,三面角公式是不能省略 工具. 3. (09、 重庆) 在正四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 顶点 B1 到对角线 B D1 和到平面 A1 B C D 1 的距离分别为 h 和 d, 若 h>d,则
h d

中,

的取值范是______________;

解:设底边长为 1,侧棱长为λ ,在 R t ? B B1 D1 中,
B1 D 1 ? 2 , B1 D ?

? ? 2 ,由三角形面积关系得:
2

h= B1 H =
2?
2

2?

? ?2
2

.又 d=

? ? ?1
2



h d

?

? ?1
2

? ?2

?

2?

1?

1

? ?2
2



【分式型函数的值域的求解途径】 所以:当 ? ? 1 ,所以 ? ? 2 ? 3,
2

2 3

? 1?

1

? ?2
2

? 1 ,所以

h d

?(

2 3 3

,1) .

评注:点到直线、点到平面的距离,作垂线时的垂足位置的确定,是用三垂线定理或逆的 应用.其图形特征:一般存在垂面、垂线.作辅助线时,要注意寻找上述元素.

4. (09、四川、文理)在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点, ∠ABC=90 度,BC=BA,球心 O 到平面 ABC 的距离是
3 2 2

,则

B、 C 两点的球面距离是_________________;

解:①由题设知截面圆的半径 r=

3 2 2



②BC=

2 2

· 3 2 =3;
?
3

③球心角∠BOC=


?
3

④ B、 C 两点的球面距离=

·3=π .

评注:球面距离=球心角·球半径,求解程序:①求截面圆的半径;②求弦长;③求弦所 对的球心角;④求球心角所对的弧长. 5. (08、武汉市二月调考)从空间任意一点 O,引射线 OA、OB、OC、OD 两两所成的角都 等于θ ,则 cosθ =__________________; 解: ①构造正四面体 A-BCD, 则点 O 是正四面体 A-BCD 的中心; ②延长 AO 与底面 BCD 相交于 H,则 H 是△BCD 的中心; ③设正四面体 A-BCD 的棱长为 a,则正四面体的高 AH=
6 3 6 4 6 4 6 12

a

外接球的半径 R=AO=

a,内切球的半径 r=OH=

a;

④在△OCD 内,OC=OD=R=

a,CD=a,由余弦定理:

(

6 4

) ?(
2

6 4

) ?1
2

2

cosθ =

=-
6 4

1 3



2?

6 4

?

6. (09、成都市调考)三棱锥 A-BCD 的侧棱两两相等且相互垂直, 若外接球的表面积 s=8π ,则侧棱的长 =__________________; 解: 补形为正方体. 则三棱锥 A-BCD 的外接球=正方体的外接球= 正四面体 E-BCD 的外接球.
2 设外接球的半径为 R, s=4π R =8π ? R= 2 ? 正方体的对 由

角线 AE=2 2 ;
2 6 3

设三棱锥 A-BCD 的侧棱的长=a,则 3 a = AE =8 ? a=
2

2



评注:三条侧棱两两相等且相互垂直的三棱锥、正四面体、正方体图形之间的依托关系, 数量关系. 【巩固练习】 (2010 浙江理数) (6)设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l / / ? , m ? ? ,则 l / / m (B)若 l ? ? , l / / m ,则 m ? ? (D)若 l / / ? , m // ? ,则 l / / m

解析:选 B,可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其 中的公理和判定定理,也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察,属中档题 (2010 全国卷 2 理数) (11)与正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的三条棱 A B 、 C C 1 、 A1 D 1 所在 直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (C)有且只有 3 个 【答案】D 【解析】直线 上取一点,分别作 垂直于 于 则 分别 作 线定理可得,PN⊥ PM⊥ ,垂足分别为 M,N,Q,连 PM,PN,PQ,由三垂 ;PQ⊥AB,由于正方体中各个表面、对等角全等,所以 ,∴PM=PN=PQ,即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的 距离相等所以有无穷多点满足条件,故选 D. (B)有且只有 2 个 (D)有无数个

(2010 全国卷 2 理数) (9)已知正四棱锥 S ? A B C D 中, S A ? 2 3 ,那么当该棱锥的体 积最大时,它的高为 (A)1 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积,考察告辞函数的最值问题. (B) 3 (C)2 (D)3

【解析】设底面边长为 a,则高

所以体积





,则

,当 y 取最值时,

,解得 a=0 或 a=4

时,体积最大,此时

,故选 C.

(2010 辽宁文数) (11)已知 S , A , B , C 是球 O 表面上的点, S A ? 平 面 A B C , A B ? B C ,
SA ? A B ? 1 , B C ?

2 ,则球 O 的表面积等于

(A)4 ?

(B)3 ?

(C)2 ?

(D) ?

解析:选 A.由已知,球 O 的直径为 2 R ? SC ? 2 ,? 表面积为 4 ? R 2 ? 4 ? . (2010 辽宁理数)(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条,若再选两根长都为 a 的直铁条, 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则 a 的取值范围是 (A)(0, 6 ? (C) ( 6 ?
2, 2) 6 ?

(B)(1, 2 2 )
2)

(D) (0, 2 2 )

【答案】A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】 根据条件, 四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架, 有以下两种情况: (1)地面是边长为 2 的正三角形,三条侧棱长为 2,a,a,如图,此时 a 可 以 取 最 大 值 , 可 知 AD=
a ?8?4 3 ? ( 6 ?
2 2

3 , SD= 6 ? 2

a ?1 , 则 有
2

a ? 1 <2+
2

3 ,即

2 ) ,即有 a<

(2)构成三棱锥的两条对角线长为 a,其他各边长为 2,如图所示,此时 a>0; 综上分析可知 a∈(0, 6 ?
2)

(2010 全国卷 2 文数) (11)与正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的 距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (B)有且只有 2 个 (C)有且只有 3 个 (D)有无数个

【解析】D:本题考查了空间想象能力 ∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上, ∴三个圆柱面有无数个交点, (2010 全国卷 2 文数) (8)已知三棱锥 S ? A B C 中,底面 A B C 为边长等于 2 的等边三角 形, S A 垂直于底面 A B C , S A =3,那么直线 A B 与平面 SB C 所成角的正弦值为 (A)
3 4 7 4

(B)

5 4
3 4

(C)

(D)

【解析】D:本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E,连结 SE,过 A 作 AF 垂直于 SE 交 S SE 于 F,连 BF,∵正三角形 ABC,∴ E 为 BC 中点,∵ BC⊥AE,SA ⊥BC,∴ BC⊥面 SAE,∴ BC⊥AF,AF⊥SE,∴ AF⊥面 SBC,∵∠ F ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角,由正三角形边长 3,∴ A E ? 3 , C E
3

B

AS=3,∴ SE= 2 3 ,AF= 2 ,∴

sin ? A B F ?

3 4

A

(2010 江西理数) 10.过正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的顶点 A 作直线 L, 使 L 与棱 A B , A D , A A1 所成的角都相等,这样的直线 L 可以作 A.1 条 【答案】D 【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断,重点考查学生分类、 划归转化的能力。 第一类: 通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体 对角线 AC1,第二类:在图形外部和每条棱的外角和另 2 条棱夹角相等,有 3 条,合计 4 条。 (2010 重庆文数) (9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (B)恰有 3 个 (C)恰有 4 个 (D)有无穷多个 解析:放在正方体中研究,显然,线段 O O 1 、EF、FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等, 所以排除 A、B、C,选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等 (2010 山东文数)(4)在空间,下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.2 条 C.3 条 D.4 条

B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 答案:D

(2010 北京文数) (8)如图,正方体 A B C D -A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 2, 动点 E、F 在棱 A 1 B 1 上。点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上,若 EF=1,DP=x, A 1 E=y(x,y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积: (A)与 x,y 都有关; (C)与 x 有关,与 y 无关; 答案:C

(B)与 x,y 都无关; (D)与 y 有关,与 x 无关;

(2010 北京理数)(8)如图,正方体 ABCD- A1 B1C 1 D 1 的棱长为 2, 动点 E、F 在棱错误!不能通过编辑域代码创建对象。上,动点 P, Q 分别在棱 AD,CD 上,若 EF=1, A1 E=x,DQ=y,DP=z(x, y,z大于零) ,则四面体 PEFQ的体积 (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关 答案:D (2010 四川理数) (11)半径为 R 的球 O 的直径 A B 垂直于平面 ? ,垂足为 B , ? B C D 是平面 ? 内边长为 R 的正三角形,线段 A C 、 A D 分别 A 与球面交于点 M,N,那么 M、N 两点间的球面距离是 (A) R arcco s (C) ? R
3 1

17 25

(B) R arcco s (D)
4 15

18
w_w_w.k*s 5*u.c o*m

25

O
M

?R
1
w_w_w.k*s 5*u.c o*m

N D C

解析:由已知,AB=2R,BC=R,故 tan∠BAC=
2 5 5

2

?

B

cos∠BAC=

连结 OM,则△OAM 为等腰三角形 AM=2AOcos∠BAC=
4 5 5 R ,同理 AN= 4 5 5 R ,且 MN∥CD

w_w_w.k*s 5*u. c o*m

而 AC= 5 R,CD=R 故 MN:CD=AN:AC ? MN=
4 5 R,
w_w_w.k*s 5*u.c o*m

连结 OM、ON,有 OM=ON=R 于是 cos∠MON=
OM
2

? ON

2

? MN

2

2 O M ?O N

?

17 25

所以 M、N 两点间的球面距离是 R arcco s

17
w_w_w.k*s 5*u.c o*m

25

答案:A (2010 全国卷 1 文数) (12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)
2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为错误!不
能通过编辑域代码创建对象。,则有错误!不能通过编辑域代码创建对象。,当直径通过 AB 与 CD

的中点时,错误!不能通过编辑域代码创建对象。,故错误!不能通过编辑域代码创建对象。 (2010 全国卷 1 文数) (9)正方体 A B C D - A1 B1C 1 D 1 中, B B1 与平面 A C D 1 所成角的余弦 值为 (A)
2 3

(B)

3 3

(C)

2 3

(D)

6 3

9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法, 利用等体积转化求出 D 到平面 AC 错误!不能通过编辑域代码创建对象。 的距离是解决 本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现. 【解析 1】因为 BB1//DD1,所以 B 错误!不能通过编辑域代码创建对象。与平面D1 错误!不能 AC
通过编辑域代码创建对象。 所成角和 DD1 与平面

C1

AC 错误!不能通过编

A1 D A O

B1

辑域代码创建对象。 所成角相等,设 DO⊥平面 AC 错误!不能通过编辑域 代码创建对象。 ,由等体积法得错误!不能通过编辑域代码创建对象。,

C B

即错误!不能通过编辑域代码创建对象。.设 DD1=a, 则错误!不能通过编辑域代码创建对象。,错误!不能通过编辑域代码创建对象。. 所以错误!不能通过编辑域代码创建对象。,记 DD1 与平面

AC

错误!不能通过编辑域代码创建

对象。 所成角为错误!不能通过编辑域代码创建对象。,则错误!不能通过编辑域代码创建对象。,

所以错误!不能通过编辑域代码创建对象。.
O 【解析 2】 设上下底面的中心分别为 O 1 , O ; 1 O 与平面 AC D 1 所成角就是 B B1 与平面 AC D 1

所成角, co s ? O 1 O D 1 ?

O1O O D1

? 1/

3 2

?

6 3

(2010 全国卷 1 文数) (6)直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中, ? B A C ? 90 ? ,A B ? A C ? A A1 , 若 则异面直线
B A1 与 A C 1 所成的角等于

(A)30°

(B)45°(C)60° (D)90°

6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 的性质、异面直线所成的角、异面 直线所成的角的求法. 【解析】延长 CA 到 D,使得 A D ? A C ,则 A D A1C 1 为平行四边形, ? D A1 B 就是异面直线
B A1 与 A C 1 所成的角,又三角形 A1 D B 为等边三角形,? ? D A1 B ? 6 0
0

(2010 全国卷 1 理数) (12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)
2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

(2010 全国卷 1 理数) (7)正方体 ABCD- A1 B1C 1 D 1 中,B B1 与平面 AC D 1 所成角的余弦值为
2 3 3 3
2 3

(A)

(B)

(C)

(D)

6 3

(2010 四川文数) (12) 半径为 R 的球 O 的直径 A B 垂直于平面 a , 垂足为 B ,? B C D 是平面 a 内边长为 R 的正三角形,线段 A C 、 A D 分别 与球面交于点 M 、 N ,那么 M 、 N 两点间的球面距 离是高^考#资*源^网 (A) R arcco s (C) ? R
3 1 17 25

(B) R arcco s (D)
4 15

18 25

?R
1 2

解析:由已知,AB=2R,BC=R,故 tan∠BAC=
2 5
w_w w. k#s5_u. c o* m

cos∠BAC=

5

连结 OM,则△OAM 为等腰三角形 AM=2AOcos∠BAC=
4 5 5 R ,同理 AN= 4 5 5 R ,且 MN∥CD

而 AC= 5 R,CD=R 故 MN:CD=AN:AC ? MN=
4 5 R,

连结 OM、ON,有 OM=ON=R 于是 cos∠MON=
OM
2

? ON

2

? MN

2

2 O M ?O N

?

17 25

所以 M、N 两点间的球面距离是 R arcco s 答案:A

17 25

(2010 湖北文数)4.用 a 、 b 、 c 表示三条不同的直线, y 表示平面,给出下列命题: ①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a ⊥ b , b ⊥ c ,则 a ⊥ c ; ③若 a ∥ y , b ∥ y ,则 a ∥ b ;④若 a ⊥ y , b ⊥ y ,则 a ∥ b . A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④

(2010 山东理数)(3)在空间,下列命题正确的是 (A)平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行 (C)垂直于同一平面的两个平面平行 (D)垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。 【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质,属基础题。 2. (2010 福建理数)

所以 E H ∥ F G ,故 E H ∥ F G ∥ B1 C 1 ,所以选项 A、C 正确;因为 A1 D 1 ? 平面 A B B1 A1 ,
E H ∥ A1 D 1 ,所以 E H ? 平面 A B B1 A1 ,又 E F ? 平面 A B B1 A1 , 故 E H ? E F ,所以选

项 B 也正确,故选 D。 【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质,考查同学们的空间想象 能力和逻辑推理能力。