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2013北京中考数学一模数学最后一题二次函数汇总

2013 北京中考数学一模数学最后一题二次函数 (西城)25.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l: y ? 交于点 A 和点 B(0,-1),抛物线 y ?

3 x ? m 与 x 轴、 y 轴分别 4

1 2 x ? bx ? c 经过点 B,且与直线 l 的另一个交点 2

为 C(4,n). (1) 求 n 的值和抛物线的解析式; (2) 点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 t(0< t <4) DE∥y 轴交直线 l 于点 E,点 F . 在直线 l 上,且四边形 DFEG 为矩形(如图 2) .若矩形 DFEG 的周长为 p,求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值; (3) M 是平面内一点,将△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°后,得到△A1O1B1,点 A、 O、B 的对应点分别是点 A1、O1、B1.若△A1O1B1 的两个顶点恰好落在抛物线上,请直 接写出点 A1 的横坐标. ...

图1

图2

(东城)25.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? 9 与 x 轴交于 A,B 两点 (点 A 在点 B 的左侧,且 OA<OB) ,与 y 轴的交点坐标为(0,-5).点 M 是线段 AB 上 的任意一点,过点 M(a,0)作直线 MC⊥x 轴,交抛物线于点 C,记点 C 关于抛物线对称 轴的对称点为 D(C,D 不重合) ,点 P 是线段 MC 上一点,连结 CD,BD,PD. (1)求此抛物线的解析式; (2)当 a ? 1 时,问点 P 在什么位置时,能使得 PD⊥BD; (3)若点 P 满足 MP ?

1 MC ,作 PE⊥PD 交 x 轴于点 E,问是否存在这样的点 E,使得 4

PE=PD,若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.

(海淀)

通州区 25.我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称 为“蛋圆” ,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点(半圆与二次函数图 象的连接点除外) ,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,二次函数

y C M A O B x

y ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 D,AB 为

D 半圆直径,半圆圆心为点 M,半圆与 y 轴的正半轴交于点 C. (1)求经过点 C 的“蛋圆”的切线的表达式; (2)求经过点 D 的“蛋圆”的切线的表达式; 第 25 题图 (3)已知点 E 是“蛋圆”上一点(不与点 A、点 B 重合) ,点 E 关于 x 轴的 对称点是 F,若点 F 也在“蛋圆”上,求点 E 的坐标. 房山区 25. 已知:半径为 1 的⊙O1 与 x 轴交 A 、 B 两 点, 圆心 O1 的坐标为 (2, 0), 二次函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象经过 A 、 B 两点,与 y 轴交于点 C (1)求这个二次函数的解析式; (2) 经过坐标原点 O 的直线 l 与⊙O1 相切, 求直线 l 的 解析式; (3)若 M 为二次函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象上一点, 且横坐标为 2,点 P 是 x 轴上的任意一点,分别联结 试判断 PC ? PM 与 BC ? BM 的大小关系, BC 、BM . 并说明理由. 平谷区 25. 如图 1, 在直角坐标系中, 已知直线 y ?
1 x ?1与 2

y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,以线段 AB 边向上作正方形 ABCD. (1)点 C 的坐标为( ) ,点 D 的坐标为( ) ;
(2)若抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 2(a ? 0) 经过 C、D 两点,求该抛 物线的解析式; (3)若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 BA 向上 平移, 直至正方形的顶点 C 落在 y 轴上时, 正方形停止运动. 在 图1 运动过

程中,设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 s ,求 s 关于平移时间 t (秒)的函数关 系式,并写出相应自变量 t 的取值范围.

延庆县 24. (本题满分 7 分) 如图,已知平面直角坐标系 xOy,抛物线 y= 2 -x +bx+c 过点 A(4,0)、B(1,3) . (1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对 称轴和顶点坐标; (2) 记该抛物线的对称轴为直线 l, 设抛物线上的 点 P(m,n)在第四象限,点 P 关于直线 l 的对称点 为 E, E 关于 y 轴的对称点为 F, 点 若四边形 OAPF 的面积为 20,求 m、n 的值.

石景山 25.如图,把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△ECD 分别置于平面直角坐标系 xOy 中,使 点 E 与点 B 重合,直角边 OB、BC 在 y 轴上.已知点 D (4,2),过 A、D 两点的直线交 y 轴 于点 F. 若△ECD 沿 DA 方向以每秒 2 个单位长度的速度匀速平移, 设平移的时间为 t(秒) , 记△ECD 在平移过程中某时刻为△ E ' C ' D ' , E ' D ' 与 AB 交于点 M, y 轴交于点 N, C ' D ' 与 与 AB 交于点 Q,与 y 轴交于点 P(注:平移过程中,点 D ' 始终在线段 DA 上,且不与点 A 重 合). (1)求直线 AD 的函数解析式; (2)试探究在△ECD 平移过程中,四边形 MNPQ 的面积是否存在最大值?若存在,求出 这个最大值及 t 的取值;若不存在,请说明理由; (3)以 MN 为边,在 E ' D ' 的下方作正方形 MNRH,求正方形 MNRH 与坐标轴有两个公共点 时 t 的取值范围.

y B(E) J

C

D

O F

A

x

顺义区 25.如图,已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3 与 y 轴交于点 A ,且经过 B(1,0)、C (5,8) 两点,点 D
y C E A

E F 是抛物线顶点, 是对称轴与直线 AC 的交点, 与 E 关于点 D 对称. (1)求抛物线的解析式; (2)求证: ?AFE ? ?CFE ; (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P ,使 ?AFP 与 ?FDC 相似.若有,请求出所有符合条 件的点 P 的坐标;若没有,请说明理由.

B O D x

F

(西城)25.解: (1)∵直线 l: y ? ∴ m ? ?1 . ∴直线 l 的解析式为 y ? ∵直线 l: y ? ∴n ?

3 , x ? m 经过点 B(0, ?1 ) 4 3 x ? 1. 4

3 , x ? 1 经过点 C(4,n) 4

3 ??????????????????1 分 ? 4 ?1 ? 2 . 4 1 ∵抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 经过点 C(4,2)和点 B(0, ?1 ) , 2 1 2 ? ?2 ? ? 4 ? 4b ? c, ∴? 2 ??1 ? c. ?

5 ? b?? , 解得 ? 4 ? ?c ? ?1. ?
∴抛物线的解析式为 y ? (2)∵直线 l: y ?

1 2 5 x ? x ?1 . 2 4

??????????2 分

3 x ? 1 与 x 轴交于点 A, 4 4 ∴点 A 的坐标为( ,0). 3 4 ∴OA= . 3 在 Rt△OAB 中,OB=1,

y
l
C E F

4 5 ∴AB= OA ? OB = ( )2 ? 12 ? . 3 3
2 2

O A
B D

G

x

∵DE∥ y 轴,

∴∠OBA=∠FED. 图8 ∵矩形 DFEG 中,∠DFE=90°, ∴∠DFE=∠AOB=90°. ∴△OAB∽△FDE. OA OB AB ∴ . ? ? FD FE DE OA 4 ∴ FD ? ? DE ? DE , AB 5 OB 3 ????????????????4 分 FE ? ? DE ? DE . AB 5 4 3 14 ∴ p =2(FD+ FE)= 2 ? ( ? ) DE ? DE . 5 5 5 1 5 3 ∵D( t , t 2 ? t ? 1 ) E( t , t ? 1 ) , ,且 0 ? t ? 4 , 2 4 4

3 1 5 1 ∴ DE ? ( t ? 1) ? ( t 2 ? t ? 1) ? ? t 2 ? 2t . 4 2 4 2 14 1 7 28 ∴ p ? ? (? t 2 ? 2t ) ? ? t 2 ? ??????????? 5 分 t. 5 2 5 5 7 28 7 ∵ p ? ? (t ? 2) 2 ? ,且 ? ? 0 , 5 5 5 28 ∴当 t ? 2 时, p 有最大值 . ?????????????? 6 分 5 3 7 (3)点 A1 的横坐标为 或 ? . ?????????????????8 分 4 12 说明:两种情况参看图 9 和图 10,其中 O1B1 与 x 轴平行,O1A1 与 y 轴平行.

y
l
C

y
l
C

O
B

A1

A B1

x

A1

O

A

x

O1

B O 1 B1 图 10

图9

(东城)25. (本小题满分 8 分)

(0,-5) 解: (1)? 抛物线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? 9 与 y 轴交点坐标为 ,
??5 ? m 2 ?9 . 解得 m ? ?2 .
(点 A 在点 B 的左侧, OA ? OB ) 且 , ? 抛物线 y ? x2 ? 2mx ? m2 ? 9 与 x 轴交于 A, B 两点

?m ? 2 .
? 抛物线的解析式为 y ? x2 ? 4x ? 5 . ???.. 2 分
(2)过 D 点作 DF ? x轴 于点 F ,

?CD / / MF , DF ? MF ,

? CD ? MF .
? PD ? BD ,
.??PDC ? ?BDF . 又? ?PCD ? ?BFD =90? , ??PCD∽?BFD .

?

CD PC ? . FD BF

(1,y) ? C (1, ?8), D(3, ?8), F (3,0), B(5,0) ,设 P ,

2 y ?8 15 ? = . 解得 y ? ? . 8 2 2 15 ? 当 P 的坐标为 (1, ? ) 时, 2 PD ? BD . ???.. 4 分
(3)假设 E 点存在,

? MC ? EM , CD ? MC , ??EMP ? ?PCD .
? PE ? PD ,

??EPM ? ?PDC .
? PE ? PD,

??EPM ≌?PDC .
? PM ? DC, EM ? PD .
设 C( x0 , y0 ) ,则 D(4 ? x0 , y0 ) , P( x0 ,

1 y0 ) . 4

1 y0 . 4 1 2 ? 2 x0 ? 4 ? ? ( x0 ? 4 x0 ? 5) . 4 ? 2 x0 ? 4 ? ?
解得 x0 ? 1 或 x0 ? 3 .

? P(1,-2)或P(3,-2) .
? PC ? 6 . ? ME ? PC ? 6 .
? E (7, 0) 或 E (-3,0) .
????????????????? 8 分 (海淀)
2 2 25.解: (1)? y ? x ? 2mx ? m ? m ? ? x ? m ? ? m ,????????1 分 2

∴顶点坐标为 C ( m, m ) .????????2 分 (2)①? y ? x ? 2 与抛物线 y ? x ? 2mx ? m ? m 交于 A 、 B 两点,
2 2

∴ x ? 2 ? x ? 2mx ? m ? m .
2 2

解方程,得 x1 ? m ? 1, x2 ? m ? 2 .????????4 分

?点A 在点 B 的左侧,
∴ A(m ? 1, m ? 1), B(m ? 2, m ? 4).

∴ AB ? 3 2. ????????5 分

? 直线 OC 的解析式为 y ? x ,直线 AB 的解析式为 y ? x ? 2 ,
∴ AB ∥ OC ,两直线 AB 、 OC 之间距离 h = ∴ S? APB ?

2.

1 1 AB ? h ? ? 3 2 ? 2 ? 3 .?????????6 分 2 2

②最小值为 10. ????????8 分 通州区 25.

, 0 -3 , 解: (1)由题意得: A ? ?1 0 ? , B ? 3,? , D ? 0, ? , M ?1 0 ? .
∴ AM ? BM ? CM ? 2 , ∴ OC ? CM ? OM
2 2

y C M AO D
第25题图

G

? 3,

B x

∴ C 0,3

?

?

∵GC 是⊙M 的切线, ∴ ?GCM ? 90o ∴cos ?OMC ?

OM MC , ? MC MG

??????

1 分;

1 2 , ? 2 MG ∴ MG ? 4 ,


0 ∴ G ? ?3,? ,
∴直线 GC 的表达式为 y ?

3 x? 3 . 3

??????

2 分;

(2)设过点 D 的直线表达式为 y ? kx ? 3 ,

∴?

? y ? kx ? 3,
2 ? y ? x ? 2 x ? 3,

∴ x ? ? 2 ? k ? x ? 0 ,或 x1 ? 0,x2 ? 2 ? k
2

? ? [?(2 ? k )]2 ? 0 ,或 x1 ? x2 ,
∴ k ? ?2 , ∴ 过点 D 的“蛋圆”的切线的表达式为 y ? ?2 x ? 3 .

?????

3 分;

????

4 分;

? (3)假设点 E 在 x 轴上方的“蛋圆”上,设 E ? m,n ? ,则点 F 的坐标为 ? m, n ? .

EF 与 x 轴交于点 H,连接 EM.
∴ HM ? EH ? EM ,
2 2 2

y C
???? 5 分;

E

∴ ? m ? 1? ? n 2 ? 4 ,??①
2

∵点 F 在二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图象上,
2

A O MH B x F D
第25题图

∴ m ? 2m ? 3 ? ? n ,??②
2

解由①②组成的方程组得: ?

?m ? 1 ? 3 ?m ? 1 ? 3 ? ? ;? .( n ? 0 舍去) ?n ? 1 ?n ? 1 ? ?
????? 6 分;

由对称性可得: ?

?m ? 1 ? 3 ?m ? 1 ? 3 ? ? ;? . ?n ? ?1 ?n ? ?1 ? ?

?????? 7 分;

∴ E1 1 ? 3, , E2 1 ? 3, , E3 1 ? 3,- 1 , E4 1 ? 3,- 1 . 1 1 ????? 房山区 25.解: (1)由题意可知 A(1, 0), B(3, 0) 8 分.

?

?

?

?

?

?

?

?

------------------------- 1 分

因为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象经过点 A , B 两点 ∴?

?1 ? b ? c ?9 ? 3b ? c

解得: ?
2

?b ? 4 ?c ? ?3

Ww W.x kB 1.c Om

∴二次函数的解析式 y ? ? x ? 4 x ? 3 --------------------------2 分 (2)如图,设直线 l 与⊙O 相切于点 E,∴O1E⊥ l ∵O1O=2, O1E=1 ,∴ OE ? 3 过点 E 作 EH⊥ x 轴于点 H
H

3 3 ∴ EH ? , OH ? 2 2
∴ E( ,

3 3 3 x ) ,∴ l 的解析式为: y ? 3 2 2

----------------3 分 根据对称性,满足条件的另一条直线 l 的解析式为: y ? ?

3 x 3

-----4 分

∴所求直线 l 的解析式为: y ?

3 3 x或y?? x 3 3

(3)结论: PC ? PM ? BC ? BM -----5 分 理由:∵ M 为二次函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象上一点且横 坐标为 2, ∴ M (2,1) ① 当点 P与点B 重合时, 有 PC ? PM ? BC ? BM ---------------6 分 ②当 点P异于点B时 , ∵直线 BM 经过点 B(3, 0) 、 M (2,1) , ∴直线 BM 的解析式为 y ? ? x ? 3 ∵直线 BM 与 y 轴相交于点 F 的坐标为 F (0,3) ∴ F (0,3)与C (0, ?3) 关于 x 轴对称 联结结 PF , ∴ BC ? BF , PF ? PC -------------------7 分 ∴ BC ? BM ? BF ? BM ? MF , PF ? PM ? PC ? PM ∵在 ?FPM 中,有 PF ? PM ? FM ∴ PC ? PM ? BF ? BM 综上所述: PC ? PM ? BC ? BM ------------------------------------8 分 平 谷 区 25 . 解 : 1 ) C ( - 3 , 2 ) D ( - 1 , 3 ) ( , ?????????????????2 分 (2)抛物线经过(-1,3)(-3,2) 、 ,则
?9a ? 3b ? 2 ? 2 ?? ? ?a ? b ? 2 ? 3.

解得

1 ? ?a ? ? 2 ? ? ? ?b ? ? 3 . ? ? 2



1 3 y ? ? x 2 ? x ? 2 ??????.?3 分 2 2

1 (3)①当点 D 运动到 y 轴上时,t= . ????..?4 分 2

?当 0<t≤

1 时,如图 1?设 D′A′交 y 轴于点 E. 2
OB =2,又∵∠BAO=∠EAA′ OA
EA ' =2 AA '

?∵?tan∠BAO=

?∴?tan∠EAA′=2, 即

图1

?∵AA′= 5t , ∴EA’= 2 5t . ∴S△EA’A?=

1 1 5 t× 2 5 t=5 t2???5 分 AA′·EA′= 2 2

?当点 B 运动到点 A 时,t=1.???????????????????6 分 当

1 <t≤1 时,如图 2 2
图2

?设 D′C′交 y 轴于点 G,过 G 作 GH⊥A′B′于 H.

?在 Rt△AOB 中,AB= 22 ? 12 ? 5 ?∴ GH= 5 ,AH=

1 5 GH= 2 2

?∵ AA′= 5 t,∴HA′= 5 t-

5 5 ,GD′= 5 t- . 2 2
5 5 =5t- ???????????7 分 4

?∴S 梯形 AA′D′G?=

1 5 ( 5 t- + 5 t) 2 2

?当点 C 运动到 y 轴上时,t= ?当 1<t≤

3 . 2

3 时,如右图所示 2

?设 C′D′、C′B′分别交 y 轴于点 M、N ?∵AA′= 5 t,A′B′= 5 , ∴AB′= 5 t- 5 ,?∴B′N=2AB′= 2 5 t- 2 5 ∵B′C′= 5 ,∴C′N=B′C′-B′N= 3 5 - 2 5 t

1 1 C′N= ( 3 5 - 2 5 t) 2 2 1 1 45 2 ?∴ S ?C ' MN = ( 3 5 - 2 5 t)· ( 3 5 - 2 5 t)=5t -15t+ 2 2 4
?∴ C ' M = ?∴S 五边形 B′A′D′MN?=S 正方形 B′A′D′C′?-S△MNC′?= ( 5 ) 2 ? (5t -15t+
2

45 25 2 )=-5t +15t- 4 4

?综上所述,S 与 x 的函数关系式为:当 0<t≤ 当

1 2 时, S=5 t 2

1 5 <t≤1 时,S=5t ? 4 2 3 25 2 当 1<t≤ 时,S=-5t +15t ? ??????????????????..8 分 4 2
延庆县 24. 解: (1)将 A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得:

??42 ? 4b ? c ? 0 ? ??????????1 分 ? 2 ??1 ? b ? c ? 3 ?
解之得:b=4,c=0 ???????2 分

所以抛物线的解析式为: y ? ? x2 ? 4x ??3 分 将抛物线的表达式配方得: y ? ? x 2 ? 4 x ? ? ? x ? 2 ? ? 4
2

所以对称轴为 x=2,顶点坐标为(2,4)???????4 分

(2)点 p(m,n)关于直线 x=2 的对称点坐标为点 E(4-m,n) ,则点 E 关于 y 轴对称点为 点 F 坐标为(4-m,-n) ,??????????????5 分 则四边形的面积 OAPF= 4 n =20 所以 n =5,因为点 P 为第四象限的点,所以 n<0,所以 n= -5 ???6 分 代入抛物线方程得 m=5 ???????????????????7 分 石景山 25.解: (1)由题意 A(2.0) ??????????????????????1 分 由 D(4,2), 可得直线 AD 解析式: y ? x ? 2 ???????????????????2 分 1 由 B(0, 可得直线 AB 解析式:y ? ?2 x ? 4 , 4), 直线 BD 解析式:y ? ? x ? 4 , 1, ) J 2 . ( 2 3 2 (2)在△ECD 平移 t 秒时,由∠CDF=45°,可得 D’( 4 ? t, ? t ) N( 0,? t ) , 4 2 1 3 设直线 E’D’解析式为: y ? ? x ? 4 ? t 2 2 可得 M( t , 4 ? 2t ),???????????????????3 分 3 3? t S?MQD' t?2 2 Q( , ,由△MQ D’∽△BJD,得 ? ( 2 )2 ,可得 ,? t ) P( 0,? t ) 2 S?BJD 3 2

1 S△MQD’ ? 3(1 ? t )2 ???????????????????4 分 2 1 1 1 S 梯形 E’C’ PN ? t (2 ? 2 ? t ) ? ? t 2 ? 2t ???????????????5 分 2 2 4 S 四边形 MNPQ= S△E’C’D’― S△MQD’― S 梯形 E’C’ PN 1 ? ? t2 ? t ? 1 2 1 3 ? ? (t ? 1) 2 ? 2 2 3 ∴当 t ? 1 时,S 最大= ???????????????????6 分 2 (3)当点 H 在 x 轴上时,有 M( t , 4 ? 2t )横纵坐标相等 4 即 t ? 4 ? 2t ,∴ t ? 3 4 ∴ 0 ? t ? .???????????????????8 分 3
顺义区 25.解: (1)将点 B(1,0)、C (5,8) 代入 y ? ax ? bx ? 3 得
2

?a ? b ? 3 ? 0 ? ?25a ? 5b ? 3 ? 8
解之得 ?

????????1 分

?a ? 1 , ?b ? ?4
2

所以抛物线的解析式为 y ? x ? 4x ? 3 (2)由(1)可得抛物线顶点 D(2, ?1) [来源:学*科*网]??3 分

直线 AC 的解析式为 y ? x ? 3 由 E 是对称轴与直线 AC 的交点,则 E (2,5) 由 F 与 E 关于点 D 对称 ,则 F (2, ?7) ????????4 分 证法一:从点 A, C 分别向对称轴作垂线 AM , CN ,交对称轴于 M , N 在 Rt ?FAM 和 Rt ?FCN 中 ?AMF ? ?CNF ? 90 ,
0

AM 2 1 3 CN ? ? ? ? MF 10 5 15 NF
?????????????5 分

所以 Rt ?FAM ∽ Rt ?FCN 所以 ?AFE ? ?CFE

证法二:直线 AF 的解析式为 y ? ?5x ? 3 点 C (5,8) 关于对称轴的对称点是

Q(?1,8) 将点 Q(?1,8) 代入 y ? ?5x ? 3 可知点 Q 在直线 AF 所以 ?AFE ? ?CFE
(3)在 ?FDC 中,三内角不等,且 ?CDF 为钝角 0 1 若点 P 在点 F 下方时, 在 ?AFP 中, ?AFP 为钝角 因为 ?AFE ? ?CFE , ?AFE ? ?AFP ? 1800 , ?CFE ? ?CDF ? 1800 所以 ?AFP 和 ?CDF 不相等 所以,点 P 在点 F 下方时,两三角形不能相似 ???????? 6 分 若点 P 在点 F 上方时, 由 ?AFE ? ?CFE ,要使 ?AFP 与 ?FDC 相似

2

0

只需

AF PF AF PF ? ? (点 P 在 DF 之间)或 (点 P 在 FD 的延长线上) CF DF DF CF
???????????????8 分

解得点 P 的坐标为 (2, ?3) 或 (2,19)


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