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安徽省六安市第一中学2016-2017学年高一上学期周末检测数学试卷(二)Word版含答案

数学试卷(二)

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合 A ? {1, 2a} , B ? {a,b} ,若 A B ? {1},则 A B 为( ) 2

A.{?1, 1 ,1} B.{?1, 1} C.{1, 1} D.{1, 1 ,b}

2

2

2

2

2.已知集合 A ? {x | y ? 4 ? x2 }, B ? {x | a ? x ? a ?1},若 A B ? A ,则实数 a 的取

值范围为( )

A. (??, ?3] [2, ??) B.[?1, 2] C.[?2,1] D.[2, ??)

3.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示,则下
列说法正确的是( ) A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲乙两人的速度相同 D.甲比乙先到达终点

4.已知全集U ? R , N ? {x | x(x ? 3) ? 0}, M ? {x | x ? ?1} ,则图中阴影部分表示的集
合是( )
A.{x | ?3 ? x ? ?1} B.{x | ?3 ? x ? 0} C.{x | ?1 ? x ? 0} D.{x | x ? ?3}

5.下列函数中,与函数 y ? ?2x3 相同的是( ) A. y ? x ?2x B. y ? ? 2x3 C. y ? x2 ?2 D. y ? ?x ?2x
x

6.已知函数 y ? f (x) 的值域是[1, 4] ,则 y ? f (x ?1) 的值域是( )

A.[1, 4] B.[1,5] C.[0,3] D.[2,5]

7.若 x ? A,则 1 ? A ,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M ? {?1, 0, 1 , 1 ,1, 2,3, 4} 的所有非

x

32

空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )

A.15 B.16

C. 28

D. 25

8.设函数

f

(x)

?x2 ??

? 4x ? 6, x

? 0 ,则不等式

f

(x)

?

f

(1) 的解集是(



?x ? 6, x ? 0

A. (?3,1) (3, ??) B. (?3,1) (2, ??) C. (?1,1) (3, ??) D. (??, ?3) (1,3)

9.设集合 M ? {x | x ? 3n ?1, n ? Z} , N ? {y | y ? 3n ?1, n ? Z},若 x0 ? M , y0 ? N ,则

x0 y0 与 M , N 的关系是(



A. x0 y0 ? M B. x0 y0 ? N C. x0 y0 ? M N D. x0 y0 ? M N

10.用

C(

A)

表示非空集合

A

中的元素个数,定义

A*

B

?

?C( A) ??C(B)

? ?

C(B), C( A),

C( C(

A) A)

? ?

C( C(

B) B)

,若

A ? {1,2} ,B ? {x | (x2 ? ax)(x2 ? ax ? 2) ? 0},且 A* B ?1,设实数 a 的所有可能取值集

合是 S ,则 C(S) ? ( )

A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

11.已知函数 f (x) ? 1 的定义域为 M ,值域为 N ,则 M N ?

.

1? x

12.已知 f ( x ) ? x ,则 f (?1) ?

.

1? x

13.已知函数 f (4x ? 3) 的定义域是[1,5] ,则函数 f (x2 ?1) 的定义域为

.

14.对于函数 f (x) ? ax2 ? bx ,存在一个正数 b ,使得 f (x) 的定义域和值域相同,则非

零实数 a 的值为

.

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

15. (本小题满分 10 分)

已知不等式 ax2 ? 5x ? 2 ? 0 的解集是 M .
(1)若 2?M ,求 a 的取值范围; (2)若 M ? {x | 1 ? x ? 2} ,求不等式 ax2 ? 5x ? a2 ?1 ? 0 的解集.
2
16. (本小题满分 10 分)

已知函数

f

(x)

?

3? 1?

x2 x2

.

(1)计算 f (3), f (4), f (1) 及 f ( 1 ) 的值;

3

4

(2)由(1)的结果猜想一个普遍的结论,并加以证明;

(3)求值: f (1) ? f (2) ?
17. (本小题满分 10 分)

? f (2015) ? f (1) ? f (1) ? 23

? f( 1 ). 2015

设函数 f (x) ?|1? 1 | . x

(1)求满足 f (x) ? 2 的 x 值;

(2)是否存在实数 a, b 且 0 ? a ? b ?1,使得函数 y ? f (x) 在区间[a,b] 上的值域为

[a, 2b] ,若存在,求出 a, b 的值;若不存在,请说明理由.

18. (本小题满分 10 分)

已知集合

A

? {x

|

(x

?

2)[x

? (3a

?1)]

?

0},集合

B

?

{x

|

x

x ? 2a ? (a2 ?1)

?

0}

.

(1)当 a ? 2 时,求 A B ; (2)当 a ? 1 时,若 A B ? A ,求实数 a 的取值范围.
3
19. (本小题满分 10 分)

已知函数 f (x) ? x2 ? 3x ? a .

(1)当 a ? ?2 时,求不等式 f (x) ? 2 的解集;

(2)若对任意的 x ?[1, ??) , f (x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

一、选择题

ACDCD AAABB

二、填空题
11. (0,1)
三、解答题

12. ? 1 2

参考答案

13. [?4, 4]

14.-4

15.(1)∵ 2?M ,∴ a ? 22 ? 5? 2 ? 2 ? 0 ,∴ a ? ?2

(2)∵ M ? {x | 1 ? x ? 2},∴ 1 , 2 是方程 ax2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个根,

2

2

∴由韦达定理得

?
?? ?
? ??

1 2 1 2

? ?

2 2

? ?

? ?

5 a 2 a

,解得

a

?

?2

∴不等式 ax2 ? 5x ? a2 ?1 ? 0 ,即为 ?2x2 ? 5x ? 3 ? 0

其解集为{x | ?3 ? x ? 1}. 2

16.(1)解得 f (3) ? ? 3 , f (4) ? ? 13 , f (1) ? 13 , f (1) ? 47 ,

5

17 3 5

4 17

(2)猜想: f (x) ? f (1) ? 2 ,证明如下: x

(3)∵ f (x) ? f (1) ? 2 x

∴ f (2) ? f (1) ? 2 , f (3) ? f (1) ? 2 ,…, f (2015) ? f ( 1 ) ? 2 ,

2

3

2015

且 f (1) ? f (1) ? 2 ,即 f (1) ? 1 1

∴ f (1) ? f (2) ? ? f (2015) ? f (1) ? f (1) ? ? f ( 1 ) ? 1? 2? 2014 ? 4029

23

2015

17.(1)由 f (x) ? 2 ,知|1? 1 |? 2 ,所以 1 ? ?1或 1 ? 3 ,于是 x ? ?1 或 x ? 1

x

x

x

3

(2)因为当 x ?(0,1) 时, f (x) ? 1? x ? 1 ?1 xx

易知 f (x) 在 (0,1) 上是减函数,又 0 ? a ? b ?1,y ? f (x) 在区间[a,b] 上的值域为[a, 2b]

所以

? ? ?

f f

(a) (b)

? ?

2b a

?

?1

?? ? ?

a 1

?? b

?1 ?1

? ?

2b a

?

?a ? ? ?b ?

? ?

2 ?1 2 2

18.(1)当 a ? 2 时, A ? (2, 7) , B ? (4,5) , A B ? (4,5) (2)当 a ? 1 时, A ? (2,3a ?1) , B ? (2a, a2 ?1)
3 因为 A B ? A ,即 B ? A , 2a ? 2 且 a2 ?1 ? 3a ?1,解得1? a ? 3

19.(1)当 a ? ?2 时,不等式 f (x) ? 2 可化为 x2 ? 3x ? 4 ? 0

解得{x | x ? ?4或x ? 1}

(2)若对任意的 x ?[1, ??) , f (x) ? 0 恒成立

即 a ? ?x2 ? 3x 在 x ?[1, ??) 恒成立

设 g(x) ? ?x2 ? 3x

则 g(x) 在区间 x ?[1, ??) 上为减函数,当 x ?1时, g(x) 取最大值为-4

∴ a 的取值范围是{a | a ? ?4}.


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