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2012高三数学一轮复习单元练习题:基本初等函数 2


2012 高三数学一轮复习单元练习题:基本初等函数
一、选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 1. 若 A ? {x | y ? x ? 1} , B ? { y | y ? x2 ? 1} ,则 A ? B ? ( A. [1, ??) B. (1, ??) C. [0, ??) A.1 B.2 C.3 D.4 ). ) D. (0, ??) )

2. 已知函数:① y ? sin 2 x ;② y ? x3 ? x ;③ y ? ? cos x ;④ y ? x5 ,其中偶函数的个数为( 3. 一次函数 g ( x) 满足 g ? g ( x)? ? 9x ? 8 , 则 g ( x) 是( A. g ( x) ? 9 x ? 8 C. g ( x) ? ?3x ? 4 4. 函数 y ? 2? x A. ( , ??)
2

B. g ( x) ? 3x ? 2 D. g ( x) ? 3x ? 2 或 g ( x) ? ?3x ? 4 的单调递增区间是( B. (??, ) ) C. (??,1) D. (1, ??)

? x ?1

1 2

1 2

5. 一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如图甲.乙所示. 某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如 图丙所示. (至少打开一个水口)

给出以下 3 个论断: ①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出水;③4 点到 6 点不进水不出水. 则一定能确定 正确的论断是( ) A.① B.①② C.①③ D.①②③ 二.填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分. 6. 函数 y ?

1 , x ?[3, 4] 的最大值为 x?2

. .

? x ? 1 ? 2, x ? 1, ? 7. 设函数 f ( x) ? ? 1 则 f ? f (1)? ? , x ? 1, ? 2 ?1 ? x

8. 函数 y ? m 2 ? m ? 1 x m

?

?

2

? 2 m ?3

是幂函数且在 (0, ??) 上单调递减,则实数 m 的值为 .

三.解答题:本大题共 3 小题,满分 40 分,第 9 小题 12 分,第 10.11 小题各 14 分. 解答须写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 9. 已知函数 f ( x) ? log2 (3 ? 2x ? x2 ) . (1) 求函数 f ( x ) 的定义域;(2) 求证 f ( x ) 在 x ? (1,3) 上是减 函数;(3) 求函数 f ( x) 的值域.

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2x ? 1 , (1)判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (2)求证: f ? x ? 在 R 为增函数; (3)求证: 2x ? 1 方程 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间 ?1,3? .
10. 已知函数 f ( x ) ?

11. 如 图 2 , 在 矩 形 ABCD 中 , 已 知 AB ? 2 , BC ? 1 , 在 AB . AD . CB . CD 上 , 分 别 截 取 AE ? AH ? CF ? CG ? x ? x ? 0? ,设四边形 EFGH 的面积为 y . (1) 写出四边形 EFGH 的面积 y 与 x 之间的函数关系式; (2)求当 x 为何值时 y 取得最大值,最大值是多少?

参考答案: 1~5 ACDBA 6. 1 7.

1 5

8. 2

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9. 解:(1) 由 3 ? 2 x ? x 2 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 , 函数 f ( x ) 的定义域是 ?x ?1 ? x ? 3? (2) 设 1 ? x1 ? x2 ? 3 , 则 3 ? 2x2 ? x22 ? (3 ? 2x1 ? x12 ) ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2? ,

?1 ? x1 ? x2 ? 3 , ? x1 ? x2 ? 0, x2 ? x1 ? 2, x1 ? x2 ? 2 ? 0,

?3 ? 2 x2 ? x22 ? (3 ? 2 x1 ? x12 ) ? 0 ,

?3 ? 2 x2 ? x22 ? 3 ? 2 x1 ? x12 ,

?log2 (3 ? 2 x2 ? x22 ) ? log2 (3 ? 2 x1 ? x12 ) . ? f ( x) 在 x ? (1,3) 上是减函数.
(3) 当 ?1 ? x ? 3 时, 有 0 ? 3 ? 2 x ? x 2 ? 4 . f (1) ? log 2 4 ? 2 , 所以函数 f ( x) 的值域是 (??, 2] .

2x ? 1 2 ?1? x , x 2 ?1 2 ?1 2 2 2 2 所以 f (? x) ? f ( x) ? (1 ? ? x ) ? (1 ? x ) ? 2 ? ( x ? ?x ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 x x 2 2?2 2(2 ? 1) ?2?( x ? )?2? x ?2?2?0. 2 ? 1 2x ? 1 2 ?1 即 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数.
10. 证明: (1)函数 f ? x ? 的定义域为 R,且 f ( x) ?

2 ? 2x1 ? 2x2 ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2) ? ? ? ? x1 ? x2 ? ?? ,有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x , ? ? 2 1 ? 1 2x2 ? 1 (2x1 ? 1)(2x2 ? 1)
? x1 ? x2 , 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 2 x1 ? 1 ? 0 , 2x2 ? 1 ? 0 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? .
所以,函数 f ? x ? 在 R 上是增函数. (3)令 g ? x ? ? f ? x ? ? ln x ?

2x ? 1 ? ln x , 2x ? 1 21 ? 1 1 23 ? 1 7 ? ln1 ? ? 0 , g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? ? ln 3 ? 0 , 因为 g ?1? ? 1 2 ?1 3 2 ?1 9 所以,方程 f ? x ? ? ln x ? 0 至少有一根在区间(1,3)上. 11. 解: (1)因为 ?AEH ? ?CFG , ?EBF ? ?HDG , 所以 y ? S矩形ABCD ? 2S?AEH ? 2S?EFB

1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? x2 ? 2 ? (2 ? x)(1 ? x) 2 2 2 ? ?x 2 ?x ( 0? . 1 ) 3 x ? 3 9 3 9 (2) y ? ?2 x2 ? 3x ? ?2( x ? )2 ? ,所以当 x ? 时, ymax ? . 8 4 8 4

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