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安徽省六安市第一中学2016-2017学年高一上学期周末检测数学试题(七)Word版含答案

数学试卷(七)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.

1.下列函数中,既是偶函数又在 ?0,+?? 上单调递增的是( )

A. y ? x3 B. y ? 1 x

C. y ? ln x

D. y ? 1 x2

2.若 m ? n ? 0 ,则下列结论正确的是( )

A. 2m ? 2n B. m2 ? n2

C. log2 m ? log2 n

D. 1 ? 1 mn

3.若函数 y ? f ? x? 是函数 y ? ax ?a ? 0且a ?1? 的反函数,且 f ?2? ?1,则 f ? x? ?( )

A. 1 2x

B. 2x?2

C. log 1 x
2

D. log2 x

4.设 a ? 0, a ? 1 ,函数 y ? 2 ? loga ? x ? 2? 的图像恒过定点 P ,则 P 点的坐标是( )

A. ??1,2? B. ?2,?1? C. ?3,?2? D. ?3, 2?

? ? 5.不等式 log2 ?x2 ? x ? 2 ?1的解集为( )

A. ??2,0? B. ??1,1? C. ?0,1? D. ?1,2?

? ? 6.设幂函数

f

?

x

?

的图像经过点

? ??

1, 3

3

? ??

,设 0

?

a

? 1,则

f

?a?与

f

a?1

的大小关系是

()
A. f ?a?1 ? ? f ?a?

B. f ?a?1 ? ? f ?a? C. f ?a?1 ? ? f ?a?

D.不能确定

7.已知函数

f

?x?

?

??a ? 2? x, x

? ?? ????

1 2

?x ??

?1,

x

?2 ? 2 ,满足对任意的实数 x1

?

x2

,都有

f

? x1 ? ? f ? x2 ?
x1 ? x2

?0成

立,则实数 a 的取值范围为( )

A. ???, 2?

B.

? ??

??,

13 8

? ??

C. ???, 2?

D.

?13 ?? 8

,

2

? ??

? ? 8.已知函数 f ? x? ? loga 2x ? b ?1 ?a ? 0, a ? 1? 的图像如图所示,则 a, b 满足的关系是

()

A. 0 ? a?1 ? b ? 1 B. 0 ? b ? a?1 ? 1 C. 0 ? b?1 ? a ? 1 D. 0 ? a?1 ? b?1 ? 1

9.已知函数

f

?

x

?

?

? ?

log

1

?e

x2

?

1 e

? ? ?

?

x e

,则使得

f

?x ?1? ?

f

?2x ?1? 的 x 的范围是(



A. ?0, 2? B. ???,0? C. ???,0? ?2,??? D. ?2, ???

10.函数 f ? x? 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折,函数的图像都不能与函数 y ? log 1 x
2
的图像重合,则函数 f ? x? 可以是( )

A.

y

?

? ??

1 2

?x ??

B. y ? log2 ?2x?

C. y ? log2 ? x ?1?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

D. y ? 22x?1

11.已知幂函数

y

?

f

?x?

过点

? ??

2,

1 2

? ??

,则不等式

f

?x?

? 1的解集为___________.

12.某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度 x (单位: 0 C )满足函数关系 y ? ekx?b

( e ? 2.718 为自然对数的底数, k, b 为常数).若该食品在 00 C 的保鲜时间是 192 小时,

在 220 C 的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 330 C 的保鲜时间是___________小时.
? ? 13.若函数 f ? x? ? log2 ?x2 ? 2ax ? 3 在区间?1, 2?内具有单调性,则 a 的取值范围是
____________.
14.关于函数 f ? x? ? lg x2 ?1? x ? 0, x ? R?有下列命题:
x

①函数 y ? f ? x? 的图像关于 y 轴对称;
数;
③函数 f ? x? 的最小值为 lg 2 ;

②在区间 ???,0? 上,函数 y ? f ? x? 是减函 ④在区间 ?1, ???上,函数 f ? x? 是增函数.

其中是真命题的序号为____________.

三、解答题 :解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分 8 分)计算下列各式

已知函数 f ? x? ? log1 ?x2 ? 2x ? 8 ,
2

(1)求 f ? x? 的定义域:

(2)求 f ? x? 的值域.

16.(本小题满分 10 分)
已知幂函数 f ? x? ? xk2?2k?3 ?k ? Z ? 的图像关于 y 轴对称,且在区间 ?0, ??? 上是减函数,

(1)求函数 f ? x? 的解析式;(2)若 a ? k ,比较 ?ln a?0.7 与 ?ln a?0.6 的大小
17.(本小题满分 10 分)
已知函数 f ? x? ? loga ?3? ax? . (1)当 x ??0, 2?时,函数 f ? x? 恒有定义,求实数 a 的取值范围;

(2)是否存在这样的实数 a ,使得函数 f ? x? 在区间?1, 2?上为减函数,并且最大值为 1?如

果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由.
18.(本小题满分 10 分)
已知函数 f ? x? ? ? ? x?2m2?m?3 m ? Z 为偶函数,且 f ?3? ? f ?5? .

(1)求 m 的值,并确定 f ? x? 的解析式;

(2)若 g ? x? ? loga ?? f ?x? ? 2x?? ( a ? 0 且 a ?1),求 g ? x? 在 ?2,3? 上值域.

19.(本小题满分 12 分)

? ? 已知幂函数 f ? x? ? m2 ? m ?1 ? ? x?5m?3 在 0, ?? 上是增函数,又

g

?

x

?

?

loga

1? mx x ?1

?

a

?

1?



(1)求函数 g ? x? 的解析式;

(2)当 x ??t,a? 时, g ? x? 的值域为 ?1, ???,试求 a 与 t 的值.

参考答案

一、选择题

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 C

C

D

A

C

A

B

A

A

D

二、填空题

11. ?0,1?

12. 24

13.

? ??

1 4

,1???

?2, ???

14. ①③④

三、解答题

15.(1)∵ f ? x? ? log1 ?x2 ? 2x ? 8 ,∴ ?x2 ? 2x ? 8 ? 0 ,∴ ?x2 ? 2x ? 8 ? 0 ,
2
∴ x2 ? 2x ?8 ? ? x ? 4?? x ? 2? ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 4,∴ f ? x? 的定义域 ??2, 4? ;

16.(1)∵幂函数 f ? x? ? xk2?2k?3 ?k ? Z ? 在区间 ?0, ??? 上是减函数,
∴ k2 ? 2k ? 3 ? 0 , ?1 ? k ? 3 ,而 k ? Z ,∴ k 只能取 0,1 或 2,
又幂函数 f ? x? ? xk2?2k?3 ?k ? Z ? 的图象关于 y 轴对称,即 f ? x? 为偶函数, ∴ k ?1,故 f ? x? ? x?4 ;
(2)由(1)知, a ?1,
当1 ? a ? e 时, 0 ? ln a ?1,?ln ?a 0.7 ? ?ln ?a 0.6 ; 当 a ? e 时, ln a ? 1,?ln ?a 0.7 ? ?ln ?a 0.6 ;

当 a ? e 时, ln a ?1, ?ln a?0.7 ? ?ln a?0.6 .

17.(1)当 x ??0, 2?时,由函数 f ? x? 恒有定义知 3? ax ? 0 恒成立,即

?3? ax? ? 3? 2a ? 0 , min

∴ a ? 3 ,又 a ? 0 且 a ?1,∴实数 a 的取值范围为 ?0,1?
2

???1,

3 2

? ??



(2)假设存在符合题设条件的实数 a ,则函数 f ? x? 在区间?1, 2?上为减函数,且 t ? 3? ax 是

减函数,

∴ a ?1,又 t ? 3? ax 在?1, 2?上恒为正,则 a ? 3 ,故1 ? a ? 3 ,由 f ? x? 的最大值为

2

2

f

?1?

?

loga

?3?

a?

?1?

a

?

3 2

,与1

?

a

?

3 2

不符,故不存在符合题设条件的实数

a



18.(1)因为 f ?3? ? f ?5? ,所以由幂函数的性质得,?2m2 ? m ? 3 ? 0 ,解得 ?1 ? m ? 3 ,
2

因为 m?Z ,所以 m ? 0 或 m ? 1,

当 m ? 0时, f ? x? ? x3 它不是偶函数;

当 m ? 1时, f ? x? ? x2 是偶函数;

所以 m ? 1, f ? x? ? x2 ;

? ? (2)由(1)知 g ? x? ? loga x2 ? 2x ,
设 t ? x2 ? 2x, x??2,3? ,则 t ??0,3? ,此时 g ? x? 在 ?2,3? 上的值域,就是函数

y ? loga t,t ??0,3? 的值域; 当 a ?1时, y ? loga t 在区间 ?0,3? 上是增函数,所以 y ????,loga 3? ; 当 0 ? a ? 1时, y ? loga t 在区间 ?0,3? 上是减函数,所以 y ??loga 3, ??? ; 所以当 a ?1时,函数 g ? x? 的值域为 ???,loga 3?,当 0 ? a ?1时, g ? x? 的值域为 ?loga 3, ???. 19.(1) f ? x? 是幂函数,且在 ?0, ??? 上是增函数,



?m2 ?

?

m

?1

?

1

,解得

m

? ?5m ? 3 ? 0

?

?1,∴

g ? x?

?

loga

x ?1 . x ?1

(2)由 x ?1 ? 0 可解得 x ? ?1,或 x ?1, x ?1
∴ g ? x? 的定义域是 ???,?1? ?1,??? ,

又 a ?1, x ??t, a? 可得 t ?1,

设 x1, x2 ??1, ??? ,且 x1 ? x2 ,于是 x2 ? x1 ? 0, x1 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0 ,



x1 x1

?1 ?1

?

x2 x2

?1 ?1

?

?

2? x2 ? x1 ? x1 ?1?? x2 ?1?

?

0





x1 x1

?1 ?1

?

x2 x2

? ?

1 1

,由

a

?

1

,有

log

a

x1 x1

?1 ?1

?

log a

x2 x2

?1 , ?1

即 g ? x? 在 ?1, ???的值域是减函数,又 g ? x? 得值域是 ?1, ???,



? ??g

t ?1

?a

?

?

,得
1

g

?a?

?

loga

a a

?1 ?1

,可化为

a a

?1 ?1

?

a



解得 a ? 1? 2 ,

∵ a ?1,∴ a ? 1? 2 ,综上, a ? 1? 2, t ? 1.