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甘肃省天一中学2013学年高二数学必修五第一章解三角形学案 正弦定理

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§1.1 正弦定理
主备人: 马琦 审核人: 王英志

学习目标
1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.

学习过程

一、复习回顾

回忆初中所学的三角形的知识,回答下列问题:

1、三角形的内角和 A? B?C =



2、三角形的三边之间的关系:



3、三角形的边、角之间的关系:



4、?ABC 的基本元素:



二、新课导学

※ 学习探究

探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边 的等式关系.

探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:(下面我们推导锐角三角形的情况)

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.(请你课后自己推导)

新知:正弦定理

在一个三角形中,各边和它所对角的 [理解定理]

的比相等,即 a ? b ? c . sin A sin B sin C

(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即

存在正数 k 使 a ? k sin A,

, c ? k sinC ;

(2) a ? b ? c 等价于 sin A sin B sin C
(3)正弦定理的基本作用为:

,c ?b,a? c . sin C sin B sin A sin C

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? bsin A ; b ?



sin B

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②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,

如 sin A ? a sin B ; sinC ?



b

(4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形.

※ 典例探究

类型一 已知两角及一边解三角形

例 1. 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , B ? 60 , a ? 42 cm,解三角形.

变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45 , C ? 60 , a ?12 cm,解三角形.

类型二 已知两边及一边的对角解三角形 例 2. 在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45 , a ? 2,求b和B,C .

变式:在 ?ABC中,b ? 3,B ? 60 ,c ?1, 求a和A,C .

类型三 判断三角形的形状 例 3 在 ?ABC 中,已知 a 2 tan B ? b2 tan A ,试判断三角形的形状。
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变式:已知在 ?ABC 中, b sin B ? c sinC ,且 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,试判断三角形的形状。

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 正弦定理: a ? b ? c sin A sin B sin C
2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义, 还有②等积法,③外接圆法,④向量法.
3.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边; ②已知两边和其中一边的对角.
※ 知识拓展

a ? b ? c ? 2R ,其中 2R 为外接圆直径. sin A sin B sin C
学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测

1、在 ?ABC 中,若 cos A ? b ,则 ?ABC 是(

).

cos B a

A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形

2、已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4,则 a∶b∶c 等于(

).

A.1∶1∶4

B.1∶1∶2

C.1∶1∶ 3

3、 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为(

).

A. A ? B

B. A ? B

C. A ≥ B

D. A 、 B 的大小关系不能确定

4、 已知 ? ABC 中, sin A:sin B:sin C ?1: 2:3 ,则 a : b : c =

D.2∶2∶ 3 .

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5、 已知 ? ABC 中, ? A ? 60? , a ? 3 ,则

a?b?c

=



sin A ? sin B ? sin C

课后作业

1、已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B=120? ,解此三角形.

2、已知△ABC 中, a ? 2 ,b=2,A= 30? ,解此三角形。

3、在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? 1 4
(I)求 sinC 的值;(Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 c 的长.

一、选择题

正弦定理练习题

1.在△ABC 中,若 C ? 90 0 , a ? 6, B ? 30 0 ,则 c ? b 等于( )

A.1 B. ?1 C. 2 3 D. ? 2 3

2.若 A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( )

A. sin A

B. cos A

C. tan A

D. 1 tan A

3.在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状是( )

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

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4.等腰三角形一腰上的高是 3 ,这条高与底边的夹角为 600 ,则底边长为( )

A. 2

B. 3 2

C. 3

D. 2 3

5.在△ ABC 中,若 b ? 2asin B ,则 A 等于( )

A. 300 或600 B. 450 或600

C.1200 或600 D. 300 或1500

6.在△ABC 中,若角 B 为钝角,则 sin B ? sin A 的值( )
A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不能确定
7.在△ABC 中,若 A ? 2B ,则 a 等于( ) A. 2bsin A B. 2bcosA C. 2bsin B D. 2bcosB
8.在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cosB ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( )

A.直角三角形 B.等边三角形
二、填空题

C.不能确定 D.等腰三角形

1.在 Rt △ABC 中, C ? 900 ,则 sin Asin B 的最大值是_______________。

2.在△ABC 中,若 a 2 ? b2 ? bc ? c2 ,则A ? _________。

3.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 30 0 ,C ? 135 0 ,则a ? _________。

4、在△ABC 中,若 b ? 5, B ? ? , sin A ? 1 ,则 a ?



4

3

三、简答题

1、设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2bsin A.求 B 的大小;

2、已知 ?ABC 中, a ? 10, A ? 30? , C ? 45? ,求角 B,边 b, c 。

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3、已知 ?ABC 中, a ? 1, b ? 3, A ? 30? ,解此三角形。

4、在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且

sin A ? 5 ,sin B ? 10

5

10

(I)求 A? B 的值; (II)若 a ? b ? 2 ?1,求 a、b、的c值。

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