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上海市长宁区2013届高三一模数学试题(文科)答案


长宁区 2012 学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案(文科)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 3 1、 2、 (2,2) 3、 0.381 4、1 5、 ? 4 4 1 7、 bn ? n 8、 1? 2 9、 3 ? 3 10、①③④ 8 10 5 11、 6? 12、 6 13、 ( ? ,? ) 3 2
14、1 6、 ? 3i

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 A 16、 B 17、 C 18、 C 三、解答题 ?? ? 2 m ? n ? 0 得 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 …………3 分 19、解(1)由
即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ?
2

?
6

) ?1

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)? 0 ? x ?

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? .

…………6分

?
3

,?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? ? 1 ,因此 sin(2 x ? ) 的最小值为 ,…………9分 6 6 2

由 a ? f (x) 恒成立,得 a ? [ f ( x)] min ? 2 , 所以实数 a 的取值范围是 (??,2) . ………12分

20、解(1)连接 OM ,则 OM ? AB

? BC ? 3, ?ABC ? 30 0 ,? AC ? 1, AB ? 2 ,
设 OM ? r ,则

…………3 分

OB ? 2r ,又 OB ? 3 ? r ,所以 2r ? 3 ? r , r ?
所以,

3 ,…………6 分 3

4 S 球表 ? 4?r 2 ? ? . 3

…………8 分

(2) V ? V圆锥 ? V球 ?

1 4 5 3 ? ? AC2 ? BC ? ?r 3 ? ? . …………12 分 3 3 27

P( x) ?
21、解: (1)

12500 ? 40 ? 0.05 x x

………………………………………3 分

由基本不等式得 P( x) ? 2 12500 ? 0.05 ? 40 ? 90

12500 ? 0.05x 当且仅当 x ,即 x ? 500 时,等号成立 P( x) ?


……………………6 分

12500 ? 40 ? 0.05 x x ,成本的最小值为 90 元. ……………………7 分

(2)设总利润为 y 元,则

y ? xQ( x) ? xP( x) ? ?0.1x 2 ? 130 x ? 12500 ? ?0.1( x ? 650 ) 2 ? 29750
当 x ? 650 时,

……………10 分

ymax ? 29750

……………………………………………………13 分

答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元.… ……14 分

22、解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x ,不合题意;……………1 分

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ?? , ? 1? 上不可能单调递增;……………2 分

当 a ? 0 时,图像对称轴为 x ? ? 由条件得 ?

a ?1 ? ?1 ,得 a ? ?1. 2a

a ?1 , 2a
……………4 分

(2)设 h( x) ?

f ( x) 1 ? a( x ? ) ? a ? 1 , x x 1 5 ? [2, ] , x 2

……………5 分

当 x ? [1,2] 时, x ?

……………7 分

因为不等式 所以, ?

f ? x? x

所以 h(x ) 在 x ? [1,2] 时的最小值大于或等于 2, ? 2 在 x ? ?1, 2? 上恒成立,

? a?0 ? a?0 ? ? , ……………9 分 或? 5 a ? a ?1 ? 2 ?2a ? a ? 1 ? 2 ? 2 ? ?

解得 a ? 1。 (3) g ( x) ? ax 2 ?

……………10 分

1 ? a 在 ? 2 , 3? 上是增函数,设 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) , x

ax1 ?
2

x ? x2 1 1 2 ,……………12 分 ? a ? ax2 ? ? a , a( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 x 2 x1 x2

因为 2 ? x1 ? x2 ? 3 ,所以 a ?

1 , x1 x 2 ( x1 ? x 2 )

……………14 分



1 1 1 ?( , ) , x1 x 2 ( x1 ? x 2 ) 54 16

……………16 分

所以 a ?

1 . 16

……………18 分

23、解: (1)设数列 ?a n ?的公差为 d ,由 a3 ? a1 ? 2d ? 7 ,

a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12 .解得 a1 ? 1 , d =3 ,
∴ a n ? 3n ? 2
3 ∵ f ( x) ? x , ∴Sn= f

……………2 分 ……………4 分

?

3

an ?1 = a n?1 ? 3n ? 1 .

?

……………6 分

(2) bn ? a n S n ? (3n ? 2)(3n ? 1)



1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

……………8 分

∴ Tn ?

1 1 1 (1 ? )? 3 3n ? 1 3
n 3n ? 1
∴ T1 ?

……………10 分

(3)由(2)知, Tn ? 比数列.

1 m n , Tn ? ,∵ T1 , Tm , Tn 成等 , Tm ? 4 3m ? 1 3n ? 1
……………12 分

m 2 1 n ) ? 3m ? 1 4 3n ? 1 6m ? 1 3n ? 4 即 ? n m2
∴ (

3n ? 4 13 3n ? 4 , n =1,不合题意;当 m ? 2 时, , n =16,符合题意; ? n n 4 25 3n ? 4 19 3n ? 4 当 m ? 3 时, , n 无正整数解;当 m ? 4 时, , n 无正整数解; ? ? n 16 n 9 31 3n ? 4 37 3n ? 4 当 m ? 5 时, , n 无正整数解;当 m ? 6 时, , n 无正整数解; ? ? 25 n 36 n
当 m ? 1 时,7 ? ……………15 分 当 m ? 7 时,m ? 6m ? 1 ? (m ? 3) ? 10 ? 0 ,则
2 2

6m ? 1 3n ? 4 4 ? 1 ,而 ? 3 ? ? 3, 2 n n m

所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……………17 分

综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……………18 分

另解:

1 m n , Tn ? , Tm ? 4 3m ? 1 3n ? 1 m 2 1 n ∵ T1 , Tm , Tn 成等比数列. ∴ ( , ……………12 分 ) ? ? 3m ? 1 4 3n ? 1
(3)由(2)知, Tn ? ∴ T1 ? 取倒数再化简得

n 3n ? 1

6m ? 1 3n ? 4 ? n m2
……………14 分

当 m ? 2 时,

13 3n ? 4 , n =16,符合题意; ? n 4
2

m ? 3时, 0 ?

1 1 6m ? 1 6 1 ?1 19 ? ? , ? ? 2 ? ? ? 3? ? 9 ? ? 3, 2 m 3 m m m 9 ?m ?



3n ? 4 4 ? 3 ? ? 3, n n

所以,此时不存在正整数 m、n , 且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……………17 分

综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列. ……………18 分


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