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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 三角函数之同角、和差倍三角函数的应用 新人教A版


(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 三角函数之同角、和差倍 三角函数的应用 新人教 A 版

1~2 讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8 讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12 讲对数学 解题方法进行了探讨,从第 13 讲开始我们对高频考点进行探讨。 三角函数是高考数学的必考内容,从题型的角度,高考中三角函数问题主要有以下几种: 1. 同角、和差倍三角函数的应用; 2. 正弦定理和余弦定理的应用; 3. 三角函数的图象和性质; 4. 三角函数的综合问题; 5. 三角函数与其它知识的综合问题。 ,我们从以上五方面探讨三角函数问题的求解。 一、同角、和差倍三角函数的应用: 典型例题: 例 1.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? = A. ?

5 3

B. ?

5 9

3 ,则 cos 2? = 【 】 3 5 5 C. D. 9 3

【答案】A。 【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。 【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的 正 弦值和余弦值的问题: ∵ sin ? ? cos ? =

3 1 2 ,∴两边平方,得 1 ? sin 2? = ,即 sin 2? = ? 。 3 3 3

cos ? < 0 。 ∵ ? 为第二象限角,∴因此 sin ? > 0,
∴ cos ? ? sin ? = ?

? cos ? ? sin ? ?2 = ?

2 15 1 ? sin 2? = ? 1 ? = ? 3 3 。

∴ cos 2? =cos2 ? ? sin 2 ? = ? cos? ? sin ? ?? cos? ? sin ? ? = 例 2.已知 ? 为第二象限角,sin ? =

3 ? 15 ? 5 ?? ? = ? 。故选 A。 ? ? 3 ? 3 ? 3

3 ,则 sin2 ? =【 5



1

A. ?

24 25

B. ?

12 25

C.

12 25

D.

24 25

【答案】A。 【考点】同角三角函数和倍角三角函数的应用。 【解析】∵ ? 为第二象限角,∴ cos ? < 0 。又∵sin ? =

3 9 4 2 ,∴ cos ? = ? 1 ? sin ? = ? 1 ? =? 。 5 25 5

∴ sin 2? =2sin ? cos ? =2 ? ? ? ? ? = ?

3 ? 4? 5 ? 5?

24 。故选 A。 25


3 7 ?? ? ? 例 3.若 ? ? ? , ? , sin 2? = ,则 sin ? = 【 8 ?4 2?
A

3 5

B

5 4

C

7 4

D

3 4

【答案】D。 【考点】倍角三角函数公式的应用。 【解析】由 ? ? ? , ? 可得 2? ? [ , ? ] , 2 ?4 2? ∵ sin 2? =

?? ? ?

?

1 3 7 2 ,∴ cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 。 8 8

∴ sin ? ? 例 4.若 tan ? ? A.

1 ? cos2? 3 ? ,故选 D。 2 4
】 C.

1 5

1 ? 4 ,则 sin 2? ? 【 tan ? 1 B. 4

1 3

D.

1 2

【答案】D。 【考点】三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想。

1 sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 1 ? ? ? ? ? 4 ,∴ sin 2? ? 。故选 D。 【解析】∵ tan ? ? 1 2 tan ? cos ? sin ? sin ? cos ? sin 2? 2
例 5.若

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan 2? =【 sin ? ? cos ? 2 3 3 4 A. - B. C. - 4 4 3

】 D.

4 3

2

【答案】B。 【考点】二倍角的正切,同角三角函数间的基本关系。 【解析】将等式左边分子分母同 时除以 cos ? 得 ∴ tan 2? ?

tan ? ? 1 1 ? ,解得 tan ? ? ?3 。 tan ? ? 1 2

2 ? ? ?3? 3 2 tan ? ? ? 。故选 B。 2 1 ? tan ? 1 ? ? ?3?2 4


例 6.已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? =【 (A) ? 1 【答案】A。 (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

【考点】三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质。 【解析】∵ sin ? ? cos ? ? 2 ,∴ (sin ? ? cos ? )2 ? 2 。∴ sin 2? ? ?1 。 又∵ ? ? (0,? ) ,∴ 2? ? (0, 2? ) 。∴ 2? ? ∴ tan ? ? ?1 。故选 A。 另析: sin ? ? cos ? ?

3? 3? ,即 ? ? 。 2 4

2 ? 2 sin(? ? ) ? 2 ? sin(? ? ) ? 1 , 4 4 3? ? ? (0,? ) ? ? ? ? tan ? ? ?1 。 4


?

?

例 7.已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? =【 (A) ? 1 【答案】A。 【考点】三角函数中的倍角公式。 (B) ?

2 2

(C)

2 2

(D) 1

2 【解析】∵ sin ? ? cos ? ? 2 ,∴ (sin ? ? cos ? ) ? 2 。∴ sin 2? ? ?1 。故选 A。

sin 47? ? sin17? cos 30? 例 8. =【 cos17?
(A) ?



1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

【答案】C。 【考点】两角和的正弦函数,特殊角的三角函数值。

3

【分析】将原式分子第一项中的度数 47°=17°+30°,然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后,合并 约分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值:

sin 47? ? sin17? cos30? sin(30? ? 17? ) ? sin17? cos30? ? cos17? cos17? sin 30? cos17? ? cos 30? sin17? ? sin17? cos 30? sin 30? cos17? 1 ? ? ? sin 30? ? 。 ? ? cos17 cos17 2
故选 C。

? ?? 4 ? 例 9.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为 ▲ . 6? 5 12 ?
【答案】

17 2。 50

【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? <

?
2

,∴

?
6

<? ?

?
6

<

?
2

?

?
6

=

2? 。 3

?? 4 ?? 3 ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 6? 5 6? 5 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?
3

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 4 3 4 3? 4 ? ? ?

=

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2。 25 2 25 2 50

例 10.已知函数 f ( x) ? A cos( x ? ? ), x ? R ,且 f ( ) ? 2 .

?

4

6

3

(1)求 A 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
2

], f (4? ?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 17 3 5

【答案】解: (1) f ?

? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 。 ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?
15 4 ? ? ?? ?? 30 ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? ,即 sin ? ? 17 3 ? 3 6? 2? 17 ? ?

(2) f ? 4? ?

? ?

4

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,即 cos ? ? 5 3 ? 6 6? 5 ? ?
∵ ? ? ? ? ?0,

8 3 ? ?? 2 2 ,∴ cos ? ? 1 ? sin ? ? , sin ? ? 1 ? cos ? ? 。 ? 17 5 ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 。 17 5 17 5 85

∵ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

【考点】特殊角三角函数值,诱导公式,同角三角函数关系式,两角和的余弦公式。 【解析】 (1)将 f ( ) ? 2 代入函数解析式,利用特殊角三角函数值即可解得 A 的值。

?

3

(2)先将 f (4? ?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? 代入函数解析式,利用诱导公式即可得 sin ? 、 3 17 3 5

cos ? 的值,再利用同角三角函数基本关系式,即可求得 cos? 、 sin ? 的值,最后利用两角和的余弦公式
计算所求值即可。 例 11.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: (1)sin 13°+cos 17°-sin13°cos17°; (2)sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°; (3)sin 18°+cos 12°-sin18°cos12°; (4)sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos48°; (5)sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos55°. (I)请从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (II)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 【答案】解:(I)选择(2)式,计算如下: 1 1 3 2 2 sin 15°+cos 15°-sin15°cos15°=1- sin30°=1- = 。 2 4 4 3 2 2 (II)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= 。证明如下: 4 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) 3 3 1 3 1 2 2 2 2 =sin α + cos α + sinα cosα + sin α - sinα cosα - sin α 4 2 4 2 2 3 3 3 2 2 = sin α + cos α = 。 4 4 4 【考点】同角函数关系式、倍角公式和差的余弦公式的应用。 【解析】 (I)选择(2)式,应用同角函数关系式和倍角公式即可得出结果。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

5

3 2 2 (II)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= 。应用差的余弦公式和同角 4 函数关系式即可证明。

6


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