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18版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2直线与圆的位置关系学案苏教版必修2

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2.2.2 直线与圆的位置关系

1.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法.(重点) 2.能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关系,解有关弦长的问题.(重 点) 3.理解一元二次方程根的判定及根与系数关系,并能利用它们解一些简单的直线与圆 的关系问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理 直线与圆的位置关系及判断方法

阅读教材 P112~P113 例 1 上面的部分,完成下列问题. 直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

两个

一个

零个

几何法:设圆心到直线

的距离 d= 判

|Aa+Bb+C|



A2+B2

方 代数法:由

法 错误!消元得到一元二

d<r Δ >0

d=r

d>r

Δ =0

Δ <0

次方程,判别式为 Δ

1

图形

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(×) (2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.(√) (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解.(√)

2.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是________.

【解析】

由题意知点在圆外,则 a2+b2>1,圆心到直线的距离 d=

1 a2+b2<1,故直线

与圆相交.

【答案】 相交 3.直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m(m>0)相切,则 m 的值为________.

【解析】 由直线与圆的距离 d=|m|= m,解得 m=2. 2

【答案】 2

4.设直线 y=x+2a 与圆 C:x2+y2-2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,则

圆 C 的面积为________. 【解析】 圆 C:x2+y2-2ay-2=0 化为标准方程是 C:x2+(y-a)2=a2+2,

所以圆心 C(0,a),半径 r= a2+2.|AB|=2 3,点 C 到直线 y=x+2a 即 x-y+2a=

0 的距离 d=|0-a+2 2a|,由勾股定理得???2 2 3???2+???|0-a+2 2a|???2=a2+2,解得 a2=2,

所以 r=2,所以圆 C 的面积为 π ×22=4π .

【答案】 4π

[小组合作型]
直线与圆的位置关系的判断 已知直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=4,试判断直线和圆的位置关系.
2

【精彩点拨】 法一:利用代数法;法二:利用几何法;法三:利用直线方程(此题直 线过定点(0,1)).
【自主解答】 法一:∵?????yx=2+2yx2+=14,, ∴5x2+4x-3=0. 判别式 Δ =42-4×5×(-3)=76>0. ∴直线与圆相交. 法二:∵x2+y2=4, ∴圆心为(0,0),半径 r=2. 又∵y=2x+1, ∴圆心到直线的距离 d=|2×02-2+01+2 1|= 55<2=r. ∴直线与圆相交. 法三:由题意知,直线过定点(0,1). 而 02+12=1<4. 所以点(0,1)在圆内,从而直线与圆相交.
直线与圆位置关系的判定方法
[再练一题] 1.已知直线方程 mx-y-m-1=0,圆的方程 x2+y2-4x-2y+1=0.当 m 为何值时,圆 与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点.
3

【解】 法一:将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程化简整理得, (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ =4m(3m+4), (1)当 Δ >0,即 m>0 或 m<-43时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; (2)当 Δ =0,即 m=0 或 m=-43时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; (3)当 Δ <0,即-43<m<0 时, 直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 法二:已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为 C(2,1),半径 r=2. 圆心 C(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d=|2m-11- +mm-2 1|=|m1-+2m|2. (1)当 d<2,即 m>0 或 m<-43时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; (2)当 d=2,即 m=0 或 m=-43时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; (3)当 d>2,即-43<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.
直线与圆的相交弦问题 (1)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实
数 a 的值是__________. (2)已知过点(2,5)的直线 l 被圆 C:x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方
程为__________. 【导学号:41292106】
【精彩点拨】 (1)将圆的一般方程化为标准方程,利用弦心距、半弦长和半径构成直 角三角形求解.(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜 率的方程求解,验证斜率不存在的情况.
【自主解答】 (1)将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(- 1,1),半径 r= 2-a,圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d=|-1+1+2|= 2,故 r2-d2=4,
2 即 2-a-2=4,所以 a=-4.
(2)当直线斜率不存在时,x-2=0 满足题意; 当直线斜率存在时,设方程为 y-5=k(x-2),
4

即 kx-y-2k+5=0. 圆 C:x2+y2-2x-4y=0 可化为(x-1)2+(y-2)2=5,因为直线 l 被圆 C:x2+y2-2x -4y=0 截得的弦长为 4, 所以 2 5-???|k-2- k2+2k1+5|???2=4,所以 k=43,所以直线 l 的方程为 4x-3y+7=0. 综上所述,直线 l 的方程为 x-2=0 或 4x-3y+7=0. 【答案】 (1)-4 (2)x-2=0 或 4x-3y+7=0
解决与圆有关的弦长问题时,多采用几何法,即在弦心距、半弦长和半径构成的直角三 角形中求解.
[再练一题] 2.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短的弦长为________. 【解析】 最短的弦为过点(3,1)且与圆心(2,2)和点(3,1)连线的垂直的弦, 弦长 l=2 4- - 2- - 2=2 2. 【答案】 2 2
[探究共研型]
圆的切线问题 探究 1 求过点 P(3,4)的圆 C:x2+y2=25 的切线方程. 【提示】 ∵点 P(3,4)在圆上,∴切点为 P,设切线斜率为 k. 则 k·kPC=-1,∴k=-34- -00=-34. 切线方程为 y-4=-34(x-3),即 3x+4y-25=0.
探究 2 求过点 Q???-5,25???的圆 x2+y2=25 的切线方程. 【提示】 ∵(-5)2+???52???2>25,∴点 Q 在圆外. 若所求直线斜率存在,设切线斜率为 k, 则切线方程为 y-52=k[x-(-5)],
5

即 kx-y+5k+52=0.

因圆心 C(0,0)到切线的距离等于半径 5,

所以???5kk+ 2+521???=5,∴k=34.

故所求切线方程为34x-y+145+52=0,

即 3x-4y+25=0.

若所求直线斜率不存在.

则直线方程为 x=-5,圆心 C(0,0)到 x=-5 的距离为 5,符合题意.

综上,过点 Q 的切线方程为 x+5=0 或 3x-4y+25=0.

已知圆 C:(x-3)2+(y-1)2=1.

(1)过点 A(3,2),求圆的切线方程;

(2)过点 B(4,-3),求圆的切线方程.

【精彩点拨】 (1)直线和圆相切,则过圆心和切点的直线与切线垂直.(2)直线和圆相

切,则圆心到直线的距离等于半径. 【自主解答】 (1)∵(3-3)2+(2-1)2=1,

∴A 在圆上.

由题意知圆心 C(3,1),直线 CA 无斜率,

∴切线斜率为 0,

∴所求切线方程为 y=2. (2)∵(4-3)2+(-3-1)2=17>1,

∴点 B 在圆外.

①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k,

则切线方程为 y+3=k(x-4).

因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1,

|3k-1-3-4k|

所以

=1,解得

k2+1

k=-185.

所以切线方程为 y+3=-185(x-4),

即 15x+8y-36=0;

②若切线斜率不存在,圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离也为 1,这时直线与圆也相切,

所以另一条切线方程是 x=4.

综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4.

6

过一点的圆的切线方程的求法 1.当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点 斜式方程可求得圆的切线方程.对于填空题可以直接利用以下两个结论:(1)当点(x0,y0) 在圆 x2+y2=r2 上时,切线方程为 x0x+y0y=r2;(2)当点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上时,切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 2.若点在圆外时,过这点的切线将有两条,但在设斜率来解题时可能求出的切线只有 一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.

[再练一题]

3.已知圆的方程为 x2+y2=13,它与斜率为-23的直线相切,求该切线的方程.

【解】 设切线方程为 y=-23x+b,即 2x+3y-3b=0,

|2×0+3×0-3b|

依题意得:

22+32

= 13,

解得 b=±133.

∴切线方程为 2x+3y+13=0 或 2x+3y-13=0.

1.直线 3x+4y+12=0 与圆(x-1)2+(y+1)2=9 的位置关系是________. 【解析】 圆心(1,-1)到直线的距离为|3×1-45×1+12|=151<3,∴直线与圆相交. 【答案】 相交 2.由点 P(1,3)引圆 x2+y2=9 的切线的长是________. 【解析】 点 P 到原点 O 的距离为 PO= 10,∵r=3,∴切线长为 10-9=1. 【答案】 1 3.已知直线 l:x- 3y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂 线与 x 轴交于 C,D 两点,则|CD|=________. 【解析】 如图所示,∵直线 AB 的方程为 x- 3y+6=0,
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∴kAB= 33,∴∠BPD=30°, 从而∠BDP=60°. 在 Rt△BOD 中, ∵|OB|=2 3,∴|OD|=2. 取 AB 的中点 H,连接 OH,则 OH⊥AB, ∴OH 为直角梯形 ABDC 的中位线, ∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4. 【答案】 4

4.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆与直线 x+y+3=0 相切,

则圆 C 的方程为________.

【导学号:41292107】

【解析】 令 y=0,得 x=-1,

所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0),

即圆心 C(-1,0).

因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r=|-1+0+3|= 2, 2

所以圆 C 的方程为(x+1)2+y2=2.

【答案】 (x+1)2+y2=2

5.已知圆 x2+y2=8,定点 P(4,0),问过 P 点的直线的斜率在什么范围内取值时,这条

直线与已知圆:(1)相切,(2)相交,(3)相离?

【解】 设圆心到直线的距离为 d,过 P 点的直线斜率为 k,由题意,

知斜率 k 存在,则其方程为 y=k(x-4),

则 d=|k·0-0-4k|= 4|k| .

1+k2

1+k2

(1)d=r,即 4|k| = 8,∴k2=1,∴k=±1 时,直线与圆相切. 1+k2

(2)d<r,即

4|k| 1+k2<

8,∴k2<1,即-1<k<1 时, 直线与圆相交.

8

(3)d>r,即

4|k| 1+k2>

8,∴k2>1,即 k<-1 或 k>1 时,直线与圆相离.

9