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人教版-高中数学选修4-5


一、二维形式的柯西不等式
定理1 (二维形式的柯西不等式 ) 若a , b, c , d都是 实数, 则 (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

证明: (a ? b )(c ? d ) ? a c ? b d ? a d ? b c ? (ac ? bd) ? (ad ? bc) ? (ac ? bd )
2 2 2

2

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (2) a ? b ? c ? d ? ac ? bd
2 2 2 2

定理 2 ( 柯西不等式的向量形式 ) 设? , ? 是两个向量, 则 ? ? ? ? ? ? . 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.

例1 已知a , b为实数, 证明( a ? b )(a ? b ) ? (a ? b )

4

4

2

2

3

3 2

1 1 例2 设a , b ? R? , a ? b ? 1, 求证 ? ? 4 a b

例3 求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x的最大值

复习:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a , b, c , d ? R) 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

( 2) a ? b ? c ? d ? ac ? bd (3) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
(4)柯西不等式的向量形式? ? ? ? ? ? . 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.

2

2

2

2

定理3 (二维形式的三角不等式 ) 设x1 , y1 , x2 , y 2 ? R,
2 2 那么 x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

2 2 2 2 2 证明 : ( x1 ? y1 ? x2 ? y2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2 x1 ? y1 x2 ? y2 ? x2 ? y2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? x2 ? y2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? x2 ? y2 2 2 2 ? x1 ? 2 x1 x2 ? x2 ? y1 ? 2 y1 y2 ? y 2 2

? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
2 2 ? x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

二维形式的三角不等式
2 2 x1 ? y1 ? 2 2 x2 ? y2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

2 2 2 2 2 2 三维形式的三角不等式 x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2
一般形式的三角不等式
2 2 2 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 2 2 2 y1 ? y2 ? ? ? yn

? ( x1 ? y1 ) 2 ? ( x 2 ? y2 ) 2 ? ? ( x n ? yn ) 2

a b 例1 已知x, y, a, b ? R? , 且 ? ? 1, 求x ? y的最小值 . x y a b 解 : ? x , y , a , b ? R? , ? ? 1, x y
? x ? y ? ( x) ? ( ?( a? 当且仅当 x ? b )2 b ? y y? b )2 a x ,即 ? x y a 时取等号. b

补充例题:

?

2

y)

2

?

?? ?? ?? ??

a x

? ? ? ?? ? ? ? ?

2

b y

? ? ? ? ? ? ?

2?

? ( x ? y )min ? ( a ?

若 2 x ? 3 y ? 1, 求 4 x 2 ? 9 y 2的最小值, 并求最小值点.
解 : 由柯西不等式(4 x 2 ? 9 y 2 )(12 ? 12 ) ? ( 2 x ? 3 y )2 ? 1, 1 2 2 ?4x ? 9 y ? . 2 当且仅当2 x ? 1 ? 3 y ? 1, 即2 x ? 3 y时取等号. ? x? ? ?2 x ? 3 y ? 由? 得? ?2 x ? 3 y ? 1 ? y ? ? ?
2 2

变式引申:

1 4 1 6

1 1 1 ? 4 x ? 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6

补充练习
1.若a , b ? R, 且a 2 ? b 2 ? 10, 则a ? b的取值范围是( A )

? C .??

A. - 2 5 ,2 5 10 ,

? 10 ?

? D.??

B . ? 2 10 ,2 10 5, 5

?

?

2.已知x ? y ? 1, 那么2 x 2 ? 3 y 2的最小值是( B ) 5 6 25 36 A. B. C. D. 6 5 36 25

3 3.函数 y ? 2 1 ? x ? 2 x ? 1的最大值为 ______
4.设实数x , y满足3 x 2 ? 2 y 2 ? 6, 则P ? 2 x ? y的最大
25 1 2 1 2 2 5.若a ? b ? 1, 则(a ? ) ? (b ? ) 的最小值是______ a b

值是 ______ 11

小结:
(1)二维形式的柯西不等式 (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (a , b, c , d ? R) 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.

( 2) a ? b ? c ? d ? ac ? bd (3) a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd
(4)柯西不等式的向量形式? ? ? ? ? ? . 当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.

2

2

2

2

(5)二 维 形 式 的 三 角 不 等 式
2 x1

?

2 y1

?

2 x2

?

2 y2

? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )

2

2

(6) ( x1 ? x3 )2 ? ( y1 ? y3 )2 ? ( x2 ? x3 )2 ? ( y2 ? y3 )2 ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

从 平 面 向 量 的 几 何 背能 景得 到 ? ? ? ? ?? , 将 平 面 向 量 的 坐 标 代, 入化 简 后 得 二 维 形 式

2 2 2 2 的 柯 西 不 等( 式 :1 a ? a2 ) ( b1 ? b2 ) ? ( a1b1 ? a2b2 ) 当且仅当 a1b2 ? a 2 b1时, 等 号 成 立 .

类似地 ,从 空 间 向 量 的 几 何 背也 景能 得 到

? ? ? ? ? ? ,将 空 间 向 量 的 坐 标 代, 入
化简后得
当且仅当 ? , ?共 线 时 , 即? ? 0, 或 存 在 一 个 数 k, 使 得a i ? kbi ( i ? 1,2,3)时, 等 号 成 立 .

2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? a3 ) (b1 ? b2 ? b3 ) ? (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )

猜想柯西不等式的一般形式
2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ?? an )(b1 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )2

2 2 2 分析: 设A ? a1 ? a2 ? ?? an,B ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn

C ? b ? b ? ?? b , 则不等式就是 AC ? B 2
2 1 2 2 2 n

构造二次函数

2 2 2 f ( x ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) x 2 ? 2(a1b1 ? a 2 b2 ? ? an bn ) x 2 2 ? (b12 ? b2 ? ? bn ) 又f ( x) ? (a1 x ? b1 )2 ? (a2 x ? b2 )2 ? ?? (an x ? bn )2 ? 0

? 二次函数f ( x )的判别式? ? 0, 即 4( a1b1 ? a2b2 ? ? anbn )
2 ? ( b1 2 ? b2 2 ? ? ? bn ) ? 2 2 ? 4( a1

2 ? a2

2 ? ? an )

0

定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 ) 式
2 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ?? an )(b1 ? b2 ? ?bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ?anbb )2

设a1 , a 2 , a 3 , ? , a n , b1 , b2 , b3 , ? , bn是 实 数 ,则

当且仅当 bi ? 0( i ? 1,2, ? , n)或 存 在 一 个 数 k , 使 得a i ? kbi ( i ? 1,2, ? , n)时, 等 号 成 立 。

例1 已 知a1 , a2 ,? , an都 是 实 数 ,求 证 1 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an n

证明 : (1 ? 1 ? ? ? 1 )( a ? a ? ? ? a )
2 2 2 2 1 2 2 2 n

? (1 ? a1 ? 1 ? a 2 ? ? ? 1 ? a n ) 2
2 2 2 ? n(a1 ? a2 ? ?? an ) ? (a1 ? a2 ? ?? an )2 1 2 2 2 2 ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ? a1 ? a2 ? ? ? an n

例2 已 知a , b, c , d是 不 全 相 等 的 正 数 ,证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da
证明 : (a ? ? c ? d )(b ? c ? d ? a ) ? (ab ? bc ? cd ? da )2 a b c d ? a , b, c , d是不全相等的正数,? ? ? ? 不成立 b c d a ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 )2 ? (ab ? bc ? cd ? da )2 即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da
2 2 2 2 2 2 2 2

例3 已知x ? 2 y ? 3z ? 1, 求x ? y ? z 的最小值
2 2 2

证 明: ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 2 2 ? 3 2 ) ? ( x ? 2 y ? 3 z ) 2 ? 1 1 2 2 2 ?x ? y ?z ? 14 x y z 1 1 3 当 且 仅 当 ? ? 即x ? , y ? , z ? 时 1 2 3 14 7 14 1 2 2 2 x ? y ? z 取最小值 14

P 41 6. 设x1 , x 2 ,?xn ? R ? , 且x1 ? x 2 ? ? ? xn ? 1,
2 2 2 x1 x2 xn 1 求 证: ? ? ?? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1
2 2 2 x1 x2 xn 证 明: ( n ? 1) ? ( ? ? ?? ) 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn 2 2 x1 x2 ? (1 ? x1 ? 1 ? x2 ? ? ? 1 ? xn ) ? ( ? ? 1 ? x1 1 ? x2 2 xn x1 x2 ?? ) ? ( 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? 1 ? xn 1 ? x1 1 ? x2

xn ? ? ? 1 ? xn ? )2 ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn )2 ? 1 1 ? xn 2 2 2 x1 x2 xn 1 ? ? ? ?? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? xn n ? 1

(1)设c1 , c2 ,?, cn 是数组b1 , b2 ,?, bn的任何一个排列 , 则 S ? a1c1 ? a2c2 ? ?? ancn叫做数组(a1 , a2 ,?, an ) 和(b1 , b2 ,?, bn )的 乱序和
( 2)将数组(a1 , a2 ,?, an )和(b1 , b2 ,?, bn )按相反顺序相乘 所得的和

S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? a3bn? 2 ? ?? anb1

称为 反序和 ( 3)将数组(a1 , a2 ,?, an )和(b1 , b2 ,?, bn )按相同顺序相乘 所得的和 称为 顺序和

S2 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?? anbn

反序和? 乱序和? 顺序和 即 S1 ? S ? S2

定理 ( 排序不等式或称排序原 理) 设a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn为两组实数, c1 , c2 ,?, cn 是b1 , b2 ,?, bn的任一排列, 那么 a1bn ? a2bn ?1 ? ? ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 当且仅当a1 ? a2 ? ? ? an或b1 ? b2 ? ? ? bn时, 反序和等于顺序和 .

?

排序不等式的应用
例3 设 a,b,c∈R+,

a b c 3 求证: + + ≥ . b+c a+c a+b 2

【思路】在证明不等式的过程中,往往需将“n个互 不相等的正整数”进行排序,这是证明中常常使用的一 个技巧.本题的难点在于如何构造新的排列,这需要充 分利用问题的条件,挖掘条件后的内涵.

【解答】不妨设 a≥b≥c>0,① 则 0<b+c≤c+a≤a+b,从而有 1 1 1 ≥ ≥ >0.② b+c c+a a+b 对①②应用排序原理,得 a b c a c b + + ≥ + + ,③ b+c c+a a+b a+b c+a b+c a b c b a c + + ≥ + + .④ b+c c+a a+b a+b c+a b+c

③+④,得
? a ? ? c b c ? b ? a ? ? ? ? a ? ? ? 2 ?b+c+c+a+a+b? ≥ ?a+b+a+b? + ?c+a+c+a? + ? ? ? ? ? ? ? b c ? ? ? + ?b+c b+c?=3. ? ?

a b c 3 ∴ + + ≥ ( 当且仅当 a= b = c 时等号成 b+c a+c a+b 2 立 ).

【点评】本题是排序不等式的简单应用,应用排序不 等式需要正确使用“反序和≤乱序和≤顺序和”,把问题化归 为反序和、乱序和、顺序和问题求解.下面设计一变式训 练.

变式题

设 a、b、c 都是正数,

a2 b2 c2 a+b+c 证明: + + ≥ . 2 b+c c+a a+b

【思路】 在本题中对 a、b、c 进行排序后,观察所证 a b c 的不等式,可以构造新的排序 , , ,从而解 b+c a+c a+b 决问题.

【解答】不妨设 a≥b≥c>0,① 1 1 1 则 a+b≥a+c≥b+c>0,即 ≥ ≥ >0. b+c a+c a+b a b c 从而有 ≥ ≥ >0.② b+c a+c a+b 对①②应用排序原理,得 a2 b2 c2 ab bc ca + + ≥ + + ,③ b+c c+a a+b b+c c+a a+b a2 b2 c2 ac ba cb + + ≥ + + .④ b+c c+a a+b b+c c+a a+b

2 2 ? ? ? a2 ac ? b c ? ? ? ab ③ + ④ , 得 2 ?b+c+c+a+a+b? ≥ ?b+c+b+c? ?+ ? ? ? ? ? bc ? ab ? cb ? ? ? ? ca ? + + + ?c+a c+a? ?a+b a+b?=a+b+c, ? ? ? ?

a2 b2 c2 a+b+c ∴ + + ≥ (当且仅当 a=b=c 时 2 b+c c+a a+b 等号成立).


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