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代数式知识点、经典例题、习题及标准答案

1.2 代数式 【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系,求代数式的值。 【知识梳理】 1、 代数式:指含有字母的数学表达式。 2、 一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、 代数式的值:一般地,用数值代替代数式 里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式: (1)、数和表示数的字母相乘,或字母和字母相乘时,乘号可以省略不写,或用“.”来代替。 (2)、 当数和字母相乘,省略乘号时,要把数字写到前面,字母写后面。如:100a 或 100?a, na 或 n?a。 (3)、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如:( 5s )时 (4)、 除法运算写成分数形式 。 (5)、 带分数与字母相乘时,带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意: (1)语言叙述中关键词的意义,如“大” “小”“增加”“减少”。 “倍” “几分 之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。 (2)要理清运算顺序和正确使用括号,以防出现颠倒等错误,例如“积的和”与“和的积” “平方差”“差的平方”等等。 (3)在同一问题中,不同的数量必须用不 同的字母表示。 【经典例题】 【例 1】(2012 重庆,9,4 分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中 第①个图形一共有 2 个五角星,第②个图形一共有 8 个五角星,第③个图形一共有 18 个五 1/9 角星,…,则第⑥个图形中的五角星的个数为( ) 【解析】仔细观察图形的特点,它们都是轴对称图形,每一行的个数都是偶数,分别是 2, 4,6,…,6,4,2,故第⑥个图形中五角星的个数为 2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。 答案:D 【例 2】(2011 甘肃兰州,20,4 分)如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形, 再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去,已知第一个矩形的面积 为 1,则第 n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知,每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的 1 ,故 2 后一个矩形的面积是前一个矩形的 1 ,所以第 n 个矩形的面积是第一个矩形面积的 4 ? ?? 1 4 ?n?1 ?? ? ? ?? 1 2 ?2n?2 ?? ,已知第一个矩形面积为 1,则第 n 个矩形的面积为 ? ?? 1 2 ?2n?2 ?? 。 【例 3】按一定规律排列的一列数依次为 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , …,按此规律,第 7 个数 2 3 10 15 26 35 是。 【解析】先观察分子:都是 1;再观察分母:2,3,10,15,26,…与一些平方数 1,4,9,16,…都 差 1,2=12+1,3=22-1,10=32+1,15=42-1,26=52+1,…,这样第 7 个数为 1 ? 1 。 72 ?1 50 答案: 1 50 【例4】已知: 1 ? 1 ? 4 ,则 a ? 2ab ? b 的值为( ) ab 2a ? 2b ? 7ab A.6 B.--6 C. ? 2 15 D. ? 2 7 【解析】由已知 1 ? 1 ? 4 ,得 b ? a ? 4 , ab ab 2/9 ?b ? a ? 4ab, a ? b ? ?4ab, ∴ ? a ? 2ab ? b ? (a ? b) ? 2ab ? ?4ab ? 2ab ? 6.答案:A 2a ? 2b ? 7ab 2(a ? b) ? 7ab ?8ab ? 7ab 【课堂练习】 1、(2012 湖北武汉,9,3 分)一列数 a1,a2,a3,…,其中 a1= 1 2 , an ? 1 1 ? an?1 (n 为不 小于 2 的整数),则 a4 ? ( ) A. 5 8 B. 13 8 C. D. 8 5 8 13 2、(2012 四川宜宾,5,3 分)将代数式 x2 ? 6x ? 2化成(x ? p)2 ? q 的形式为( ) 3、(2012 安徽 5,4 分)某企业今年 3 月份产值为 a 万元,4 月份比 3 月份减少了 10%,5 月份比 4 月份增加了 15%,则 5 月份的产值是( ) 4、(2012 浙江丽水,10,3 分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律。图 1 中棋子围成 三角形,其颗数为 3,6,9,12,…称为三角形数,类似的,图 2 中的 4,8,12,16…称为正方 形数。下列数中既是三角形数也是正方形数的是( ) A.2010 B. 2012 C. 2014 D. 2016 5、(2012 四川成都,21,4 分)已知当 x=1 时,2ax2 ? bx的值为3,则当x ? 2时,ax2 ? bx 的值为 。 6、(2012 河北,17,3 分)某数学活动小组的 20 位同学站成一列做报数游戏,规则是:从 前面第一位同学开始,每位同学依次报自己顺序数的倒数加 1,第 1 位同学报 ? ?? 1 1 ? 1???, 3/9 第2位同学报 ? ?? 1 2 ? 1??? ,第3位同学报 ? ?? 1 3 ? 1??? …这样得到的 20 个数的积为 。 7、(2012 辽宁沈阳,15,4 分)有一组多项式: a ? b2 , a2 ? b4 ?, a3 ? b6 , a4 ? b8 ,…,请 观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第 10 个多项式为 。 8、(2012 山西,16,3 分)如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规 律的图案,则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是 (用含 n 的代数式表示)。 9、(2012 河北,18,3 分)用 4 个全等的