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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 8.9 直线与圆锥曲线限时集训 理


限时集训(五十四)

直线与圆锥曲线

(限时:50 分钟 满分:106 分)

一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知直线 l:x+ky-3k=0,如果它与双曲线 - =1 只有一个公共点,则 k 的取 4 3 值个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

x2 y2

2.双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则直 线 l 与双曲线 C 的左,右两支都相交的充要条件是( A.k>- )

x2 y2 a b

b a b a

B.k<

b a b a b a
)

C.k> 或 k<-

b a

D.- <k<

3.直线 y=kx+1,当 k 变化时,此直线被椭圆 +y =1 截得的最大弦长等于( 4 A.4 C.2 4 3 B. 3 D.不能确定

x2

2

4.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为

x2 y2 a b

c,则椭圆的离心率为(
A. C. 3 2 2 2

) B. 3-1 D. 2-1
2

5.(2012·温州模拟)设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y =2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上 的一点,FA― →与 x 轴正方向的夹角为 60°,则|OA― →|为( A. C. 21p 4 13 p 6 B. 21p 2 )

13 D. p 36
2

6.(2012·清远模拟)过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,这样

1

的直线有( A.1 条 C.3 条

) B.2 条 D.4 条

7.设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C: + =1 相交于不同的两点 A,B,则使|AB|为整数 4 2 的直线 l 共有( A.4 条 C.6 条 ) B.5 条 D.7 条

x2 y2

8.(2013·绍兴模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0),M,N 是双曲线上关于原点对称 的两点,P 是双曲线上的动点,且直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2| 的最小值为 1,则双曲线的离心率为( A. 2 C. 3 2 ) B. 5 2

x 2 y2 a b

3 D. 2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 9.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y =1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为________. 4 10. 已知(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 所截得的线段的中点, l 的方程是________. 则 36 9 11.(2012·天津高三期末)一动圆过点 A(0,1),圆心在抛物线 x =4y 上,且恒与定直 线 l 相切,则直线 l 的方程为________.
2

x2

2

x2

y2

b x2 y2 12.设 P 为直线 y= x 与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)左支的交点,F1 是左焦点,PF1 3a a b
垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e=________.

13.已知过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 x-my+m=0 与抛物线 交于 A、B 两点,且△OAB(O 为坐标原点)的面积为 2 2,则 m +m 的值是 ________.
6 4

2

13 题图
2

25 2 14.过抛物线 y =2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|= ,|AF|<|BF|, 12 则|AF|=____________. 三、解答题(本大题共 3 个小题,每小题 14 分,共 42 分) 15.设 F1,F2 分别是椭圆 E:x + 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交 于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线 l 的斜率为 1,求 b 的值.
2

y2 b

16.(2013·株洲模拟)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,△ABC 的三个 顶点都在抛物线上, 且△ABC 的重心为抛物线的焦点, BC 所在直线 l 的方程为 4x+y-20 若 =0. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 O 是坐标原点,P,Q 是抛物线 C 上的两动点,且满足 PO⊥OQ,证明:直线 PQ 过 定点.

3

17.(2013·天津高考)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆 上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点. 1 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为- ,求椭圆的离心率; 2 (2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3.

x2 y2 a b

4

答 案 [限时集训(五十四)] 1.D 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B

?y=x+b ? 9.解析:设直线方程为 y=x+b,联立方程得?x2 2 ? 4 +y =1 ?
2

,消去 y 得 5x +8bx+4b

2

2

8b 4b -4 -4=0.所以 x1+x2=- , 1x2= x .则|AB|= 2·|x1-x2|= 2· ? 5 5 4 5-b = 2· ≤ 5 4 10 . 5 4 10 答案: 5 10.解析:设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 + =1,且 + =1, 36 9 36 9
2

x1+x2?

2

-4x1x2

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

两式相减得

y1-y2 x1+x2 =- . x1-x2 4? y1+y2?

又 x1+x2=8,y1+y2=4, 所以

y1-y2 1 1 =- ,故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. x1-x2 2 2

答案:x+2y-8=0 11.解析:由于 A(0,1)为抛物线的焦点,由抛物线定义可知,圆心到 A 点的距离等于 到准线的距离,故 l:y=-1.

5

答案:y=-1 12.解析:由 PF1⊥x 轴且 P 点在双曲线的左支上,可得 P?-c,- ?.又因为点 P 在直 a

? ?

b2?

?

线 y= x 上,所以- = ×(-c),整理得 c=3b,根据 c =a +b 得 a=2 3a a 3a 曲线的离心率 e= = 3 2 答案: 4

b

b2

b

2

2

2

2b,所以双

c 3b 3 2 = . a 2 2b 4

13.解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知, =-m,将 x=my-m 代入抛物线方 2 程 y =2px 中,整理得 y -2pmy+2pm=0,由根与系数的关系,得 y1+y2=2pm,y1y2=2pm, 1 p 2 2 2 4 2 ∴(y1-y2) =(y1+y2) -4y1y2=(2pm) -8pm=16m +16m ,又△OAB 的面积 S= × |y1-y2| 2 2 1 4 2 6 4 = ×(-m)×4 m +m =2 2,两边平方即可得 m +m =2. 2 答案:2 14.解析:设过抛物线焦点的直线为
2 2

p

?y =2x, ?x-1?,联立得? y=k? ? ? ? 1? ? 2? ?y=k?x-2?, ? ? ?
1 2 2 2 2 整理得 k x -(k +2)x+ k =0, 4

2

k2+2 1 x1+x2= 2 ,x1x2= . k 4 k2+2 25 2 |AB|=x1+x2+1= 2 +1= ,得 k =24, k 12
1 2 2 2 2 2 代入 k x -(k +2)x+ k =0 得 12x -13x+3=0, 4 1 3 解得 x1= ,x2= . 3 4 又|AF|<|BF|, 1 5 故|AF|=x1+ = . 2 6 5 答案: 6 15.解:(1)由椭圆定义知 |AF2|+|AB|+|BF2|=4,
6

又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得 4 |AB|= . 3 (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b .
2

?y=x+c, ? 设 A(x1, 1), (x2, 2), A, 两点坐标满足方程组? 2 y2 y B y 则 B ?x +b2=1, ?
+2cx+1-2b =0. -2c 1-2b 则 x1+x2= 2,x1x2= 2 . 1+b 1+b 因为直线 AB 的斜率为 1, 4 所以|AB|= 2|x2-x1|,即 = 3 2|x2-x1|. 8 4? 1-b? 2 则 =(x1+x2) -4x1x2= 2 9 ? 1+b ? 解得 b= 2 . 2
2 2 2

化简得(1+b )x

2

2

4? 2-

2

1-2b ? 8b = 2 2 1+b ? 1+b ?

2

4

2



16.解:(1)设抛物线 C 的方程为 y =2mx,
?4x+y-20=0, ? 由? 2 ? ?y =2mx,

得 2y +my-20m=0. ∵Δ >0,∴m>0 或 m<-160. 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 y1+y2= - , 2 ∴x1+x2=?5- ?+?5- ?= ? 4? ? 4? 10+ . 8

2

m

?

y1? ?

y2?

m

? ? 再设 A(x3,y3),由于△ABC 的重心为 F? ,0?, ?2 ?
m

?x +x +x =m, ? 3 2 则? y +y +y ? ? 3 =0,
1 2 3 1 2 3

7

?x =11m-10, ? 8 解得? m ?y =2. ?
3 3

?m?2 ?11m ? ∵点 A 在抛物线上,∴? ? =2m? -10?. ?2? ? 8 ?
∴m=8,抛物线 C 的方程为 y =16x. (2)证明:当 PQ 的斜率存在时, PQ 的方程为 y=kx+b, 设 显然 k≠0,b≠0, PO⊥OQ, ∵ ∴kPOkOQ=-1,设 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∴xPxQ+yPyQ=0. 将直线 y=kx+b 代入抛物线方程,得 ky -16y+16b=0, 16b yPyQ b ∴yPyQ= .从而 xPxQ= 2 = 2, k 16 k
2 2 2 2 2

b 16b ∴ 2+ =0.∵k≠0,b≠0. k k
∴直线 PQ 的方程为 y=kx-16k,PQ 过点(16,0); 当 PQ 的斜率不存在时,显然 PQ⊥x 轴,又 PO⊥OQ, ∴△POQ 为等腰三角形.由?
? ?y=|x|, ? ?y =16x,
2

2

得 P(16,16),Q(16,-16),此时直线 PQ 过点(16,0), ∴直线 PQ 恒过定点(16,0). 17.解:(1)设点 P 的坐标为(x0,y0).由题意,有 2+ 2=1.① 由 A(-a,0),B(a,0)得

x2 y2 0 0 a b

y0 y0 kAP= ,kBP= . x0+a x0-a
1 2 2 2 2 2 2 由 kAP·kBP=- ,可得 x0=a -2y0,代入①并整理得(a -2b )y0=0. 2

a2-b2 1 2 由于 y0≠0,故 a =2b .于是 e = 2 = ,所以椭圆的离心率 e= . a 2 2
2 2 2

(2)证明:依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为(x0,y0).

?y0=kx0, ? 由条件得?x2 y2 0 0 ?a2+b2=1. ?
消去 y0 并整理得 x0=
2

a2b2 .② k2a2+b2

由|AP|=|OA|,A(-a,0)及 y0=kx0,

8

得(x0+a) +k x0=a .整理得(1+k )x0+2ax0=0. -2a 而 x0≠0,于是 x0= 2,代入②, 1+k 整理得(1+k ) =4k ? ? +4. b
2 2 2

2

2 2

2

2

2

?a?2 ? ?

由 a>b>0,故(1+k ) >4k +4, 即 k +1>4,因此 k >3,所以|k|> 3.
2 2

2 2

2

9


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