当前位置:首页 >> >>

2.1.1指数与指数幂的运算(二)课件ppt_图文

§2.1.1指数与指数幂的运算

(4)(5) (6) (7) 【1】下列说法中正确的序号是____________. (1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个; (3)a的n次方根就是 n a ; (4) ? 4 81 ? ?3; 3 3 (5) ( ? 5) ? ?5;
(6) ( ? 81) ? 81;
4 4

(7) ( ?8) ? ?8. 【2】计算 (a ? b)2 ? | b ? a | ? | 3 a 3 ? 3 b3 | , (a ? b ? 0). 答案 : 3a ? b.
3 3

§2.1.1指数与指数幂的运算

?根式是如何定义的?有那些性质? 1.根式定义 2.n次方根的性质
(1) 奇次方根有以下性质: 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质: 正数的偶次方根有两个且是相反数, 负数没有偶次方根, 零的偶次方根是零.

§2.1.1指数与指数幂的运算

3.三个公式 (1)

? a?
n

n

? a;

(2) n a n ? a;

(3) a ?| a | .
n n

4.如果xn=a,那么
?n a, n为奇数, ? ? n x ? ? ? a , n为偶数, a ≥ 0, ?不存在, n为偶数, a ? 0. ? ?

§2.1.1指数与指数幂的运算

?整数指数幂是如何定义的?有何规定?

a ? a ? a ?? ? a ( n ? N ) ? ? ?? ?
n n个a

?

a ? 1 ( a ? 0)
0

a

?n

? 1 ? n ( a ? 0, n ? N ) a

§2.1.1指数与指数幂的运算

?整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)

(1) a ? a ? a
m n

m?n

( m , n ? Z)

(2) (a ) ? a
m n

m?n

( m, n ? Z)

(3) ( ab) n ? a nb n ( m, n ? Z)

(4) a ? a ? a
m n

m?n

(a ? 0 , m, n ? Z, 且m ? n)
m ?n

a ?a ? a ?a
m n

?a

m?( ? n )

n n a a (5) ( ) ? n (b ? 0, n ? Z) b b n n ? 1 n n ? n ( a ) ? (a ? b ) ? a ? b ? an b b

§2.1.1指数与指数幂的运算

(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)

2 ? (2 ) ? 2 ? 2 ;
10 5 2 5 3

10 2

3 ? 3 (3 ) ? 3 ? 3 ;
12 4 3

4
3

12 3

4

a

12

? 4 (a ) ? a ? a ;
3 4

12 4

5

a 10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a

10 5

结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.

§2.1.1指数与指数幂的运算

(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5 3

3 ? 7 ; 7 2 3 2 ? a3; a
5

4 ? 45 ;
3

3 5

类比

7

a ?a .
9

9 7

总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.

§2.1.1指数与指数幂的运算

1.正数的正分数指数幂的意义:

a ? a
n

m n

m

(a ? 0, m, n ? N , 且n ? 1)

?

2.正数的负分数指数幂的意义:

1 (a ? 0, m , n ? N? , 且n ? 1) ? 1 ? m n m n a a 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指 数幂没有意义. a

?m n

§2.1.1指数与指数幂的运算

【1】用根式表示下列各式:(a>0)

1 1 3 4 3 5 3 a a a2 【2】用分数指数幂表示下列各式:
4 3

a a

1 2

a

3 4

a

?3 5

a

?2 3

(a ? b)3 (a ? b ? 0) ( a ? b ) ( m ? n)2 ( m ? n )4 ( m ? n ) p ? q ( p ? 0)
6 5

3 4

( m ? n)

2 3

( m ? n)
p ?q
3 5 2

2

§2.1.1指数与指数幂的运算

4.有理指数幂的运算性质 (1) a m ? a n ? a m ? n ( m , n ? Z)

(2) (a m )n ? a m? n (m , n ? Z) n n n (3) (ab ) ? a b ( m , n ? Z) 指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.

(1) a a ? a
r s
r s r

r? s
rs

(a ? 0, r , s ? Q);

(2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q); (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q).
r r

§2.1.1指数与指数幂的运算

【1】求下列各式的值.
(1) 8 ,
2 3

(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
2 3

?
2 3

1 2

1 ?5 2

16 ? 81

3 4

解 : (1) 8

? (2 ) ? 2
3 ?
1 2

3? 2 3

? 2 ? 4;
2
) 2? ( ? 1 2

1; ? 5 ? (2)25 ? (5 ) ? 5 5 1 ?5 (3) ( 2 ) ? ( 2?1 )?5 ? 25 ? 32;
2 ?1 2

?1

(4) ( ) ? [( ) ] ? ( )

16 ? 81

3 4

2 4 ? 3

3 4

3) ? ( ? 4 2 4 3

?( ) ?
2 ?3 3

27 8

.

§2.1.1指数与指数幂的运算

课堂练习: 课本P82 A组第一题

§2.1.1指数与指数幂的运算

【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. 例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).

(1) a ? a ;
2 3 2

(2) a a .
2 2 3

3

解:

(1) a ? a ? a ? a ? a
2 3 2

2? 2 3

?a ;
2 3

8 3

(2)

a 3 a ? (a ? a

1 1 3 2

) ? (a ) ? a .

4 1 3 2

§2.1.1指数与指数幂的运算

【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1) a a a

解:原式 ? = a ?a ?a ? a
(2) a a?
2 3

1 2

1 4

1 8

1?1?1 2 4 8

?a

7 8

a2
1 2

.

解:原式 =

a

2 2 3

a ?a

?a

1 2 2? ? 2 3

?a

5 6

§2.1.1指数与指数幂的运算

【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.

(1) (2a b )( ?6a b ) ? ( ?3a b );
解:原式 = [2 ? ( ?6) ? ( ?3)]a
2? 1?1 3 2 6

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

b

1?1?5 2 3 6

? 4ab ? 4a;
0

(2) (a b )(?4a b) ? (12a b c )
? ( ?4) ? 12a ?1 1 ? ? 3 ac .
?2 ? 1 ? 4

?2 ?3

?1

?4 ?2

b

?3 ? 1 ? 2 ?1

c

§2.1.1指数与指数幂的运算

(3) ( ?2 x y )(3 x
? 24 y.

1 4

?

1 3

?

1 2

y )( ?4 x y );
1 1 1 ? ? 4 2 4

2 3

1 4

2 3

解:原式 ? ( ?2) ? 3 ? (?4) x
1 4 3 ?8 8 1 4

y

2 2 ?1 ? ? 3 3 3

(4) ( m n ) ? ( m ) ( n ) ? m n .
8

3 ?8 8

2

?3

12.计算: 3 0 1 ?2 0.5 (1)(2 ) ? 2 ?(2 ) ? (0.01) 5 4 2 1 2 ?1 1 ?2 10 ? 3 (2)( ) ?(2 ) ? (2 ) 3 4 27
1 2

§2.1.1指数与指数幂的运算

【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.

例4.求下列各式的值: (1) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12
2 3 ? 2 ? 3 ? ( ) ? (2 ? 3) 2 1 2 1 3 1 6
1 6 1 2 1 3 ?1 3 2? 1 6

? 2? 3 ? 3 2
1? 1 ? 2? 1 3 6

?2

?3

?2 ?3 ? 2 ? 3 ? 6.

1 ?1 ?1 2 3 6

§2.1.1指数与指数幂的运算

【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
2 3 3 2 1 4

(2)( 25 ? 125) ? 5 ? (5 ? 5 ) ? 5
3 4

? 5 ?5 ?5 ?5

2 3

1 4

3 2

1 4

?5

2 1 ? 3 4

? 5 ?5

5 12

?5
5 4

3 1 ? 2 4

?

12

5 ? 5 4 5.
5

§2.1.1指数与指数幂的运算

【题型4】分数指数幂 a

m n

的求值.
9 2 5

例2.计算下列各式(式中字母都是正数).
(1) [( 8) ? (2 )
?1 ?2 3

? ( 10 ) ] ? 10 .
3 2 2 9 3 2 5 2 5 2

3 ?2 3 2

? (10 ) ] ? 10
3
1 2

? 2 ? 10 ? 10
? 1 ? 10 2
3? 5 2
?3 4

(2) ( 81 ) ? [( ?3)?2 ]2 625 3 3 ? ?3 ?3 4 ? 2 ? [( 3 ) ] 4 ? (3 ) 2 ? ( 3 ) ? 3 ? 125 ? 1 5 27 27 5

? 1 ? 10 ? 2 . 2 2 3

? 124 . 27

§2.1.1指数与指数幂的运算

1.分数指数概念
(1) a
m n

?

n

am ;

(a>0,m,n∈N*, n>1)
n

(2) a

?m n

? 1 ? m an

1 ; am

(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理指数幂运算性质

(1) a a ? a (a ? 0, r , s ? Q); r s rs (2) ( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q); r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q).
r s

r ?s

§2.1.1指数与指数幂的运算

(1)课本P59

A 组 第4题(1)(2)(3)(4)