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广东省珠海一中等六校2012届高三高考模拟试题数学文


珠海市第一中学 2012 年高考模拟考试 文科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 a , b ? R ,且 A.2 B.4
a ? bi 1? i ? 2 ? i ,则 a ? b ? (

)

C.-2

D.-4 )

2. 已知集合 A ? { 0 ,1, 2 , 3 , 4} ,集合 B ? { x | x ? 2 n , n ? A} ,则 A ? B ? ( A . { 0} B. { 0 , 4 }
?
6

C. { 2 , 4 } )

D. { 0 , 2 , 4 }

3.若 ? 是锐角,sin( ? - A.
2 6 ?1 6

)=

1 3

, 则 cos ? 的值等于( C.
2 3 ?1 4

B.

2 6 ?1 6

D.

2 3 ?1 3

??? ? 4.如图,正方形 A B C D 中,点 E , F 分别是 D C , B C 的中点,那么 E F = (

)
D E C F A B

? 1 ??? 1 ???? AB + AD 2 2 1 1 C. ? AB ? AD 2 2

A.

B. ?

AD 2 2 ? 1 ??? 1 ???? D. A B - A D 2 2

1

AB ?

1

5.设 a , b 是平面 ? 内两条不同的直线, l 是平面 ? 外的一条直线,则“ l ? a , l ? b ”是 “ l ? ? ”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 6. 如果 a ? b ,则下列各式正确的是( ) A. a ? lg x ? b ? lg x D. a ? 2 ? b ? 2
x x

B. ax ? bx
2

2

C. a ? b
2

2

7. 设正项等比数列 ?an ? , lg an ? 成等差数列, 公差 d ? lg 3 , ?lg an ? 的前三项和为 6 lg 3 , 且 ? 则 ?an ? 的通项为( A. n lg 3
?

) B. 3n
?

C. 3n
? ?

D. 3n?1

8. 已知向量 a ? (2 co s ? , 2 sin ? ), b ? (3 co s ? , 3 sin ? ), 若 a 与 b 的夹角为 1 2 0 ? , 则直线
2 x cos ? ? 2 y sin ? ? 1 ? 0 与 圆 ( x ? cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 的 位 置 关 系 是
2 2

(

) A.相交且不过圆心 B. 相交且过圆心 C.相切 D.相离 9.已知函数 f(x)=log2(x2 -ax+3a)在区间[2,+∞)上递增,则实数 a 的取值范围是

( ) A.(-∞,4) B.(-4,4] C.(-∞,-4)∪[2,+∞) D.[-4,2) 10. 若定义在正整数有序对集合上的二元函数 f 满足:①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(y,x) ③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则 f(12,16)的值是( ) A. 12 B. 16 C .24 D. 48

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
?x ? 0 ? x , y 满足不等式组 ? y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?

11. 设实数

,若 z ? x ? 3 y 的最大值为 12,则实

数 k 的值为

. .

12. 执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 p 的值是 13. 对于三次函数 f ( x ) ? ax ? bx
3 2

? cx ? d ( a ? 0 ) ,定义:设 f ?? ( x ) 是函数 y

=f(x)的导数 y= f ? ( x ) 的导数, 若方程 f ?? ( x ) =0 有实数解 x0, 则称点(x0, 0)) f(x 为函数 y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个 三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”
3 请你将这一发现为条件,函数 f ( x ) ? x ?

3 2

x ? 3x ?
2

1 4

,则它的对称中心

为 计算 f (
1 2013 )? f(


2 2013 )? f( 3 2013 ) ? ??? ? f ( 2012 2013 )=

.

(二) 选做题 (14-15 题, 考生只能从中选做一题. 两题都答的按第 14 题正误给分.) ? 14 . 极 坐 标 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 极 坐 标 系 下 , 圆 ? ? 2 co s(? ? ) 上 的 点 与 直 线 (
2

? sin (? ?

?
4

)?

2 的最大距离是

.

15.(几何证明选讲选做题)如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,
C D ? A B 于点 D ,且 A D ? 4 D B ,设 ? C O D ? ? ,则 cos 2? =

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,数列 { S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列,a 2 是 a 1 和 a 3 的 等比中项.

(1)求数列 { a n } 的通项公式;

(2)求数列 { n ? a n } 的前 n 项和 T n .

17. (本小题满分 12 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车, 每类轿车均有 舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如表所 示(单位:辆),若按 A, B, C 三类用分层抽样的方 法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆, 则 A 类轿 车有 10 辆. (Ⅰ)求 z 的值; (Ⅱ)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆, 经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这 8 辆轿车的得分看作一个总体, 从中任取一 个分数 a .记这 8 辆轿车的得分的平均数为 x ,定义事件 E ? { a ? x ? 0 .5 ,且函数
f

轿车 A 舒适型 标准型 100 300

轿车 B 150 450

轿车 C z 600

? x? ?

a x ? a x ? 2 .3 1 没有零点},求事件 E 发生的概率.
2

18. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2 x ? 1, co s x ), n ? ( , co s x ) ,设函数 f ( x ) ? m ? n .
2 ?? ? 1
?? ?

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在 ? 0,
?

?

? ?

上的最大值; 2? ?
f (A?

(2)若△ABC 的角 A、B 所对的边分别为 a、 b ,A、B 为锐角,
B 2 ?

?
6

)?

3 5



f(

?
12

)?

10 10



又a?b ?

2 ? 1 ,求 a、 b

的值.

19.




0

1









A

B A ' BCC ' ? '





? ACB ? 90 , AA ' ? 平面 ABC , AC ? BC ? AA ' ? 2 , A ' ' , B ' ' , C ' ' 分 别 是 侧 棱

AA ' 、 BB ' 、 CC ' 的中点, D 、 E 分别是 A ' C ' 、 A ' B ' 的中点. 由截面 A ' ' DE 和截面 B ' ' C ' ' DE 截去两部分后得如图 2 的几何体.

(1)求证:平面 A ' ' DE ? 平面 B ' ' C ' ' DE ; (2) ? A ' ' DE 的面积为 S, A ' ' DE 在平面 A ' ' B ' ' C ' ' 上的正投影的面积为 S ' , S ' : S ; 设 求 ? (3)求图 2 中几何体的体积. D E D A' C'
E B' A'' B'' A B C C''

A'' B'' A B 图2

C''

C

20. 已知 b> ? 1 ,c>0,函数 f ( x ) ? x ? b 的图 像与函数 g ( x ) ? x ? b x ? c 的图像相切.
2

图1

(Ⅰ)设 b ? ? ( c ) ,求 ? ( c ) ;
g (x) f (x)

(Ⅱ)设 D ( x ) ?

(其中 x> ? b )在 [ ? 1, ? ? ) 上是增函数,求 c 的最小值;

(Ⅲ)是否存在常数 c,使得函数 H ( x ) ? f ( x ) g ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内有极值点?若存在, 求出 c 的取值范围;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分)
2 2 如图,已知抛物线 C : y ? 2 p x ? p ? 0 ? 和⊙ M : ( x ? 4 ) ? y ? 1 ,过抛物线 C 上
2

一点 H ( x 0 , y 0 )( y 0 ? 1) 作两条直线与⊙ M 相切于 A 、B 两点, 分别交抛物线于 E , F 两 点,圆心点 M 到抛物线准线的距离为
17 4



(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,求直线 EF 的斜率; (Ⅲ)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t ,求 t 的最小值.

珠海市第一中学 2012 年高考模拟考试 文科数学试题答题卷
班级 学号 姓名

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分.
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11、 14、 12、 15、 13、

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.
16. (本小题满分 12 分) 解:

17. (本小题满分 12 分) 解:

18. (本小题满分 14 分) 解:

19. (本小题满分 14 分) 解:
A' E B' A'' B'' A B C C'' D C'

D E

A'' B'' A B 图2

C''

C

图1

20. (本小题满分 14 分) 解:

21. (本小题满分 14 分)

珠海一中 2012 年高三三模文数试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. A 2. D 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. B 9. B 10. D 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. ? 9 12. 3 13. ( ,1) ; 2012 14.
2 1

3 2 2

?1

15. ?

7 25

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解: (1)因为 { S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列 所以 S n ? 1 ? ( S 1 ? 1) ? 2
n ?1

? ( a 1 ? 1) ? 2

n ?1

, S n ? ( a 1 ? 1) ? 2

n ?1

?1

从而 a 2 ? S 2 ? S 1 ? a 1 ? 1 , a 3 ? S 3 ? S 2 ? 2 a 1 ? 2

因为 a 2 是 a 1 和 a 3 的等比中项 所以 ( a 1 ? 1) ? a 1 ? ( 2 a 1 ? 2 ) ,解得 a 1 ? 1 或 a 1 ? ? 1 ----------------4 分
2

当 a 1 ? ? 1 时, S 1 ? 1 ? 0 , { S n ? 1} 不是等比数列,所以 a 1 ? 1 ----------------5 分 所以 S n ? 2 ? 1
n

当 n ? 1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2

n ?1

当 n ? 1 时, a 1 ? 1 ,符合 a n ? 2
0 1 2

n ?1

,所以 n ? N , a n ? 2
*
n ?1

n ?1

----------------6 分

(2) T n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
1 2 3 n



2 T n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ②----------------8 分

①-②得
? Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 1 n ?1

? n?2

n

Tn ? ?(2 ? 2 ? ? ? 2
0 1

n ?1

)? n?2

n

? ?(

2 ( 2 ? 1)
0 n

2 ?1

) ? n ? 2 ? ( n ? 1) 2 ? 1 ----------------1
n n

2分 17. 解 : (Ⅰ) 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 :
z =2000-100-300-150-450-600=400

50 n

?

10 100 ? 300

, 所 以 n ? 2000 .

………………………………4 分 的 得 分 …6 分 的 平 均 数 为

(Ⅱ)
x? 1 8

8



轿



(9 .4 ? 8 .6 ? 9 .2 ? 9 .6 ? 8 .7 ? 9 .3 ? 9 .0 ? 8 .2 ) ? 9

把 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数 a 对应的基本事件的总数为 8 个, 由 a ? x ? 0 .5 ,且函数 f ? x ? ? a x ? a x ? 2 .3 1 没有零点
2

? a ? 9 ? 0 .5 ? ? ? 8 .5 ? a ? 9 .2 4 ………………………………………………10 分 2 ? ? ? a ? 9 .2 4 a ? 0
? E 发生当且仅当 a 的值为:8.6,
? p?E? ? 4 8 ? 1

9.2, 8.7, 9.0 共 4 个,

2 ?? ? 18. 解:(1) f ( x ) ? m ? n ?

………………………………………………………12 分
3 2 sin 2 x ? 1 2 ? co s x ? sin ( 2 x ?
2

?
6

)

∴T ?

2? 2

?? .

由0 ≤ ∴?
1 2

x≤

?
2

得:

?
6

≤ 2x ?

?
6



7? 6

≤ sin ( 2 x ?

?
6

)≤1



f ( x ) m ax ? 1
3 5

……………………………………7 分
A? 1 ? co s 2 A 2 ? 1 5

(2) ∵

f (A ?

?
6

)?

3 5

∴ co s 2 A
5 5

?

? sin

2

∵A 为锐角 由正弦定理知 分 19. 解: (1)

∴ sin A ?
a b ? sin A sin B ?


2 ? a ?

f(

B 2

?

?
12

)?

10 10

? sin B ?

10 10

2b

又a ?b

?

2 ?1? a ?

2

,b

?1

.………14

AA ' ? 平面 ABC ? ? ? BC ? AA' BC ? 平面 ABC ?

? ? ? ? ? ? ? ? BC ? AC ? ? BC ? 平面 ACC ' A ' ? ? ? BC ? DA ' ' AC ? AA' ? A ? ? ? ? ? ? ? DA ' ' ? 平面 ACC ' A ' ? ?

B ' ' 、 C ' ' 分别为 BB ' 、 CC '中点 ? BC // B ' ' C ' ' ? ? ? DA ' ' ? B ' ' C ' ' BC ? DA ' ' ? ? A ' ' DC ' '中可得 A " C " ? A " D
2 2

? ? ? ? 2 ? C " D ? A " D ? C " D ? ? A " D ? 平面 B " C " DE C " D ? B ''C '' ? C " ? ? ? ? A " D ? 平面 A " DE

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 平面 A " DE ? 平面 B " C " DE

(2) (3)

2 2
D

V A " ? B "C " DE ? V ABC

1 3

S B "C " DE ? A " D ? 1 2

1 3

?

1 2

A'

D E B'

C'

E

( 2 ? 1) 2 ?

2 ?1
A''

A''
C''

C'' B''

? A " B "C "

? S ABC ? AA " ?

? 2 ? 2 ?1 ? 2
? A " B "C "

所求几何体体积为

V A " ? B "C " DE ? V ABC
2

?3

B'' A B C

A B

C

20. 解: 【方法一】由 f ( x ) ? g ( x ) ? x ? ( b ? 1) x ? c ? b ? 0 ,

图 1

图 2

依题设可知, ? ? ( b ? 1) 2 ? 4 c ? 0 . ∵b> ? 1 ,c>0, ∴ b ? 1 ? 2 c ,即 b
? ? (c ) ? 2 c ? 1 .
f ? ( x ) ? g ? ( x ) ,即 2 x ? b ? 1 ,

【方法二】依题设可知 ∴x
? 1? b 2

为切点横坐标,
) ? g( 1? b 2
? ? (c ) ? 2 c ? 1 .

于是

f(

1? b 2

) ,化简得 ( b ? 1) ? 4 c
2



同法一得 b

(Ⅱ)依题设 D ( x ) ?

x ? bx ? c
2

x?b

? x?

c x?b



∴ D ?( x ) ? 1 ?

c (x ? b)
2

? (1 ?

c x?b

)(1 ?

c x?b

)



∵ D ( x ) 在 [ ? 1, ? ? ) 上是增函数, ∴ (1 ?
c x?b )(1 ? c x?b ) ≥0

在 [ ? 1, ? ? ) 上恒成立,

又 x> ? b ,c>0,∴上式等价于 1 ?

c x?b

≥0 在 [ ? 1, ? ? ) 上恒成立,

即 c ≤ x ? b ,而由(Ⅰ)可知 c ≤ x ? 2 c ? 1 , ∴ c ≥1 ? x . 又函数 1 ? x 在 [ ? 1, ? ? ) 上的最大值为 2, ∴ c ≥2,解得 c≥4,即 c 的最小值为 4. (Ⅲ)由 H ( x ) ? ( x ? b )( x 2 ? bx ? c ) ? x 3 ? 2 bx 2 ? ( b 2 ? c ) x ? bc , 可得 H ?( x ) ? 3 x 2 ? 4 b x ? ( b 2 ? c ) . 令 3 x 2 ? 4 bx ? ( b 2 ? c ) ? 0 ,依题设欲使函数 H ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内有极值点, 则须满足 ?
? 4 ( b ? 3 c ) ? 4 ( c ? 4 c ? 1)
2

>0,

亦即 c ? 4 c ? 1 >0,解得 c < 2 ? 3 或 c > 2 ? 3 ,

又 c>0,∴0<c< 7 ? 4 3 或 c> 7 ? 4 3 . 故存在常数 c ? (0, 7 ? 4
3 ) ? (7 ? 4 3 , ? ? )

, 使得函数 H ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 内有极

值点. (注:若△≥0,则应扣 1 分. )
21. 解: (Ⅰ)∵点 M 到抛物线准线的距离为 4 ? ∴p ?
1 2
p 2 ?

17 4



,即抛物线 C 的方程为 y

2

? x.

………………3 分

(Ⅱ)法一:∵当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时,点 H ( 4 , 2 ) ,∴ k H E ? ? k H F , 设 E ( x1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 ) , ∴
y H ? y1 x H ? x1 ? ? yH ? y2 xH ? x2

,∴

y H ? y1 y H ? y1
2 2

? ?

yH ? y2 yH ? y2
2 2



∴ y1 ? y 2 ? ? 2 y H ? ? 4 .
k EF ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? y 2 ? y1 y 2 ? y1
2 2

………………………………6 分
1 y 2 ? y1 ? ? 1 4

?



………………8 分

法二:∵ 当 ? AHB 的角平分线垂直 x 轴时 ,点 H ( 4 , 2 ) ,∴ ? AHB ? 60 ,可得
k HA ? 3 , k HB ? ? 3 ,∴直线 HA 的方程为 y ?
?y ? ? 3x ? 4 3 ? 2 y
2
2

?

3x ? 4 3 ? 2 ,

联立方程组 ?

? x

,得 3 y ? y ? 4 3 ? 2 ? 0 ,

∴ yE ?

3 ?6 3

, xE ?
? 3 ?6 3

13 ? 4 3 3



………………………………6 分

同理可得 y F ?

, xF ?

13 ? 4 3 3

,∴ k EF ? ?
y1 x1 ? 4

1 4



………………8 分
4 ? x1 y1

(Ⅲ)法一:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,∵ k MA ?

,∴ k HA ?



可得,直线 HA 的方程为 ( 4 ? x 1 ) x ? y 1 y ? 4 x 1 ? 15 ? 0 , ………………9 分 同理,直线 HB 的方程为 ( 4 ? x 2 ) x ? y 2 y ? 4 x 2 ? 15 ? 0 , ∴ ( 4 ? x 1 ) y 0 ? y 1 y 0 ? 4 x 1 ? 15 ? 0 ,
2

( 4 ? x 2 ) y 0 ? y 2 y 0 ? 4 x 2 ? 15 ? 0 ,
2

2

………………11 分

∴直线 AB 的方程为 ( 4 ? x ) y 0 ? yy 0 ? 4 x ? 15 ? 0 , ………………12 分 令 x ? 0 ,可得 t ? 4 y 0 ?
15 y0 ( y 0 ? 1) ,

………………………………13 分

∵ t 关于 y 0 的函数在 [1, ?? ) 单调递增, ∴ t min ? ? 11 . 法
2

………………14 分 设
2


4





H(

2

m ,

?m )

(, m

H1 M

2

? ) m ? 7 m ? 16
4 2



H A ? m ? 7 m ? 15 . ……………9 分

以 H 为圆心, H A 为半径的圆方程为 ( x ? m ) ? ( y ? m ) ? m ? 7 m ? 1 5 ,
2 2 2 4 2



⊙ M 方程: ( x ? 4 ) ? y ? 1 .
2 2



……………………11 分

①-②得: 直
( x?
2

线
2 m ?

AB
2


4 ?m )


4


2


)m ? (

? ( y . ……………………12 4 ? m 分
( m ? 1) ,

当 x ? 0 时,直线 A B 在 y 轴上的截距 t ? 4 m ? ∵t ' ? 4 ?
15 m
2

15 m

………………13 分

? 0 ,∴ t 关于 m 的函数在 [1, ?? ) 上单调递增,

∴当 m ? 1 时, t min ? ? 11 . ·············································· 分 ············································· 14


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