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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题二 平面向量与复数练习 理

专题限时集训(二)[平面向量与复数]
(时间:5 分钟+30 分钟)

基础演练夯知识 1.已知(1+2i)z=3-i(i 为虚数单位),则复数 z 为( ) A.1-7i 1 7 B. - i 5 5 1 7 C.- + i 5 5 1 7 D. + i 5 5 2.若复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则在复平面内 z 对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.向量 a=(3,-4),向量|b|=2,若 a·b=-5,则向量 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 3 6 2π 3π C. D. 3 4 4.设向量 a=(2,-1),b=(3,4),则 a 在 b 方向上的投影为________. 5.已知平面向量 a,b,若|a|=3,|a-b|= 13,a·b=6,则|b|=________,向量 a,b 夹角的大小为________. 提升训练强能力 ?-? - 6.已知复数 z=3+4i, z 表示复数 z 的共轭复数,则? z ?=( ) ?i? A. 5 B.5 C. 6 D.6 2 7.在复平面内,复数 z=(1+2i) 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8. 已知复数 z1=(2-i)i, 复数 z2=a+3i(a∈R). 若复数 z2=kz1(k∈R), 则 a=( 3 A. B.1 2 1 C.2 D. 3

)

9.设 a,b 为非零向量,λ ∈R+,满足|a+b|=λ |a-b|,则“λ >1”是“a,b 的夹 角为锐角”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
1

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 → → → 10. 已知△ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5, P 为 AB 边上任意一点,则CP·(BA-BC) 的最大值为( ) A.8 B.9 C.12 D.15 11. 已知向量 a·(a+2b)=0, |a|=|b|=1, 且|c-a-2b|=1, 则|c|的最大值为( ) A.2 B.4 C. 5+1 D. 3+1 (1+ai)(1-i) 12.已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若 =2-i,则 a+bi=________. b+i 3 → → 13.在△ABC 中,AB=2,D 为 BC 的中点.若AD·BC=- ,则 AC=________. 2 → → → → → → 14.已知四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形,若DE=2EC,CF=2FB,则AE·AF的值为 ________. π 15.如图 2?1,设 α ∈(0,π ),且 α ≠ .当∠xOy=α 时,定义平面坐标系 xOy 为 2 α -仿射坐标系,在 α -仿射坐标系中,任意一点 P 的斜坐标这样定义:e1,e2 分别为与 x → → 轴、y 轴方向相同的单位向量,若OP=xe1+ye2,则记为OP=(x,y),那么在以下的结论中, 正确的有________.(填上所有正确结论的序号)

图 2?1 ①设 a=(m,n),b=(s,t),若 a=b,则 m=s,n=t; 2 2 ②设 a=(m,n),则|a|= m +n ; ③设 a=(m,n),b=(s,t),若 a∥b,则 mt-ns=0; ④设 a=(m,n),b=(s,t),若 a⊥b,则 ms+nt=0; π 2π ⑤设 a=(1,2),b=(2,1),若 a 与 b 的夹角为 ,则α = . 3 3

2

专题限时集训(二) 【基础演练】 3-i (3-i)=(1-2i) 1-7i 1 7 1.B [解析] z= = = - i. 1+2i 5 5 5 5 5 5(2+i) 2.A [解析] z= +3= +3=2+i+3=5+i,所以复数 z 对应 2-i (2-i)(2+i) 的点在复平面的第一象限. a·b -5 1 3.C [解析] 易知|a|=5,cos〈a,b〉= = =- ,即向量 a 与 b 的夹角 |a||b| 5×2 2 2π 为 . 3 2 a·b 6-4 2 4. [解析] a 在 b 方向上的投影为 = = . 5 |b| 5 5 5.4 60° [解析] 由|a-b|= 13,平方得 a -2a·b+b =13,代入已知条件得 b a·b 6 1 =16,得|b|=4,所以 cos〈a,b〉= = = ,所以〈a,b〉=60°. |a||b| 3×4 2 【提升训练】 ?-? ?3-4i? - 6.B [解析] z =3-4i,? z ?=? ?=|-4-3i|=5,也可利用模的性质计算: ?i? ? i ? ?- ? z- 5 ? z ?=|i|=1=5. ?i? 2 7.B [解析] z=(1+2i) =-3+4i,其对应的点的坐标为(-3,4),故其对应的点 在第二象限. ?a=k, ? 8.A [解析] 依题知 z1=1+2i,由 z2=kz1 得 a+3i=k(1+2i),即有? 故a ? ?3=2k, 3 = . 2 2 2 2 9.B [解析] 由|a+b|=λ |a-b|两边平方,得(1-λ )|a| +2(1+λ )a·b+(1- 2 2 λ )|b| =0.若“a,b 的夹角为锐角”,则 a·b>0,又由题设知 λ >0,故 λ >1;反之, 若 λ >1,则 a·b>0,但 a,b 的夹角不一定为锐角.选 B. 10.B [解析] 显然 AC⊥BC,以点 C 为坐标原点,射线 CA,CB 分别为 x 轴、y 轴的正 → → → 方向建立平面直角坐标系, 则 C(0, 0), A(3, 0), B(0, 4). 设CP=CA+λ AB=(3, 0)+λ (- → → → → → 3,4)=(3-3λ ,4λ ),其中 0≤λ ≤1,则CP·(BA-BC)=CP·CA=(3-3λ ,4λ )·(3, → → → 0)=9-9λ ≤9,故CP·(BA-BC)的最大值为 9. 1 11.D [解析] 由 a·(a+2b)=0 且|a|=1,得 a·b=- ,得〈a,b〉=120°.在平 2 3? ? 1 面直角坐标系中,设 a=(1,0),b=?- , ?,则 a+2b=(0, 3).设 c=(x,y),由 ? 2 2? |c-a-2b|=1 得 x +(y- 3) =1,即向量 c 的终点在圆 x +(y- 3) =1 上,所以|c|的 最大值为 3+1. (1+ai)(1-i) 12.2+i [解析] =2-i? (1+ai)(1-i)=(2-i)·(b+i)? 1 b+i ? ? ?1+a=2b+1, ?a=2, +a+(a-1)i=2b+1+(2-b)i,所以? 解得? ?a-1=2-b, ?b=1. ? ? 1 1 1 →2 3 → → → → → → →2 →2 13.1 [解析] AD·BC= (AC+AB)·(AC-AB)= (AC -AB )= (AC -4)=- ,解得 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2

3

→ |AC|=1.

14.9 [解析] 方法一:以点 A 为坐标原点,AB,AD 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立 → → 如图所示的平面直角坐标系 xAy,则 A(0,0),E(2,3),F(3,1),所以AE=(2,3),AF= → → (3,1),因此AE·AF=2×3+3×1=9.

→ → → → 2→ → 2→ → → → → 1→ → 1→ 方法二: 如图所示, AE=AD+DE=AD+ DC=AD+ AB, AF=AB+BF=AB+ BC=AB+ AD, 3 3 3 3 2 1 → → ? → →? ?→ →? 所以AE·AF=? AB+AD?·?AB+ AD?= 3 ? ?3 ? ? 2→2 11→ → 1→2 2 11 1 2 1 → → AB + AB·AD+ AD = ·|AB|2+ ×0+ ·|AD|2= ×32+ ×32=9. 3 9 3 3 9 3 3 3 π 2 2 15.①③⑤ [解析] 显然①正确;|a|=|me1+ne2|= m +n +2mncos α ,∵α ≠ , 2 所以②错误;由 a∥b 得 b=λ a(λ ∈R),所以 s=λ m,t=λ n,所以 mt-ns=0,故③正 确;∵a·b=(me1+ne2)·(se1+te2)=ms+nt+(mt+ns)cos α ≠ms+nt,所以④错误; 根据夹角公式 a·b=|a||b|cos〈a,b〉 ,又|a|=|b|= 5+4e1·e2,a·b=4+5e1·e2 得 4 π 1 1 2π +5e1·e2=(5+4e1·e2)cos , 故 e1·e2=- ,即 cos α =- ,∴α = ,⑤正确, 3 2 2 3 所以正确的是①③⑤.

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