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解圆锥曲线问题多种常用方法


解圆锥曲线问题常用方法(一)
【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法: 1、定义法 (1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。

(2) 双曲线有两种定义。 第一定义中,r1 ? r 2 ? 2 a , r1>r2 时, 当 注意 r2 的最小值为 c-a: 第二定义中, 1=ed1, 2=ed2, r r 尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 (3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化 为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可 用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不 求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设 而不求”法,具体有: (1)
x a x a
2 2

?

y b y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有

x0 a
2

?

y0 b
2

k ? 0。

2 2

2 2

(2)

?

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有

x0 a
2

?

y0 b
2

k ? 0

(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 【典型例题】 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现,
H A Q P F B

。 当 A、 F 三点 P、

共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时, 解: (2, 2 ) (1)

距离和最小。

1

连 PF, A、 F 三点共线时,AP ? PH ? AP ? PF 最小, 当 P、 此时 AF 的方程为 y ? 代入 y2=4x 得 P(2,2 2 ), (注:另一交点为( (2) (
1 4 ,1 )
? QF ? BQ ? QR

4

2 ?0 3?1

( x ? 1) 即 y=2

2 (x-1),

1 2

,?

2 ),它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去)

过 Q 作 QR⊥l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时, BQ 得 x=
1 4

最小,此时 Q 点的纵坐标为 1,代入 y2=4x

,∴Q(

1 4

,1 )

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。 例 2、F 是椭圆
x
2

?

y

2

? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆
y P F

上一动点。

4

3
A F ′ 0 H x

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为

分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 P F ? 或准线作出来考虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?
PA ? PF ? PA ? 2 a ? P F ? ? 2 a ? ( P F ? ? PA ) ? 2 a ? A F ? ? 4 ? 5

当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= ∴ PF ?
1 2 PH , 即 2 PF ? PH 1 2



∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH
a
2

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

c

? xA ? 4 ?1 ? 3

例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。 分析:作图时,要注意相切时的“图形特征” :两个圆心与切点这三点共线(如图中的 A、 M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” (如图中的
MC ? MD ) 。

y C M D A 0 B 5 x

2

解:如图, MC ? MD , ∴ AC ? MA ? MB ? DB 即 6 ? MA ? MB ? 2 ∴ MA ? MB ? 8 (*)
x
2

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

?

y

2

?1

16

15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出
( x ? 1) ? y
2 2

?

( x ? 1) ? y
2

2

? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!

例 4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 5

sinA,求点 A 的轨迹方程。

分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系。 解:sinC-sinB=
3 5

sinA
3 5 BC

2RsinC-2RsinB=

3 5

?2RsinA

∴ AB ? AC ?

即 AB ? AC ? 6

(*)

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为
x
2

?

y

2

? 1 (x>3)

9

16

点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最短距离。 分析: (1)可直接利用抛物线设点,如设 A(x1,x12),B(x2,X22),又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得 出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。 (2)M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设 A(x1,x12),B(x2,x22),AB 中点 M(x0,y0)

3

? ( x1 ? x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) 则?x ? x ? 2x ? 1 2 0 ? 2 2 ? x1 ? x 2 ? 2 y 0
2 2 2

2

? 9

① ② ③

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9 即[(x1+x2)2-4x1x2]?[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代入④得 [(2x0)2-(8x02-4y0)]?[1+(2x0)2]=9

∴4 y0 ? 4 x0 ?
2

9 1 ? 4 x0
2



4 y0 ? 4 x0 ?
2

9 4 x0
2

? ( 4 x 0 ? 1) ?
2

9 4 x0 ? 1
2

?1

≥ 2 9 ? 1 ? 5,

y0 ?

5 4

当 4x02+1=3 即 x 0 ? ?

2 2

时, ( y 0 ) min ?

5 4

此时 M ( ?

2 2

,

5 4

)

法二:如图, 2 MM

2

? AA 2 ? BB

2

? AF ? BF ? AB ? 3
A

y M

B

∴ MM

2

?

3 2

, 即 MM

1

?

1 4

?

3 2



A1 A2

0 M1 M2

B1 B2

x

∴ MM

1

?

5 4

, 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。

∴M 到 x 轴的最短距离为

5 4

点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消 x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种“设而不求”的方法。 而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点 M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性, 简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出。
4

例 6、已知椭圆

x

2

?

y

2

m

m ?1

? 1 ( 2 ? m ? 5 ) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、B、C、

D、设 f(m)= AB ? CD ,(1)求 f(m),(2)求 f(m)的最值。

分析:此题初看很复杂,对 f(m)的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“不同系统” 在准线上,B 在椭圆上,同 ,A 样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到 x 轴上,立即可得防

f (m ) ? ( x B ? x A ) 2 ? ( x D ? xC ) 2 ?

2 (xB ? xA ) ? (xD ? X

C

)

?

2 ( x B ? xC ) ? ( x A ? x D )

y C

D

?

2 (xB ? X

C

)
B A

F1

0 F2

x

此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。

解: (1)椭圆

x

2

?

y

2

m

m ?1

? 1 中,a =m,b =m-1,c =1,左焦点 F1(-1,0)

2

2

2

则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 ∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
2m 2m ? 1

设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-

(2 ? m ? 5)

f ( m ) ? AB ? CD ?

?

2 (x B ? x A ) ? (x D ? xC ) 2 x1 ? x 2 ? 2 ? 2m 2m ? 1

2 ( x1 ? x 2 ) ? ( x A ? x C ) ?

(2) f ( m ) ?

2

2m ? 1 ? 1 2m ? 1

?

2 (1 ?

1 2m ? 1

)

∴当 m=5 时, f ( m ) min ?

10 9

2

5

当 m=2 时, f ( m ) max ?

4 3

2

点评:此题因最终需求 x B ? x C ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用“点差法”设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、C 坐
x0 m ? y0 m ?1 ? k ? 0 , y0=x0+1, 将 k=1 代入得 x0 m ? x0 ? 1 m ?1 ? 0 , x0 ? ? ∴
m 2m ? 1

标代入作差, 得

, 可见 x B ? x C ? ?

2m 2m ? 1

当然,解本题的关键在于对 f ( m ) ? AB ? CD 的认识,通过线段在 x 轴的“投影”发现 f ( m ) ? x B ? x C 是解此 题的要点。

【同步练习】 1、已知:F1,F2 是双曲线 的周长为( A、4a ) B、4a+m C、4a+2m D、4a-m ( )
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点,过 F1 作直线交双曲线左支于点 A、B,若 AB ? m ,△ABF2

2、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是 A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x

3、已知△ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且 AB ? AC ,点 B、C 的坐标分别为(-1,0),(1,0), 则顶点 A 的轨迹方程是( A、
x
2


x
2

?

y

2

?1

B、

?

y

2

? 1( x ? 0 )

4 x
2

3 y
2

4 x
2

3 y
2

C、

?

? 1( x ? 0 )

D、

?

? 1( x ? 0 且 y ? 0 )

4

3

4

3

4、过原点的椭圆的一个焦点为 F(1,0),其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是 A、 ( x ?
2





1 2

) ? y
2

2

? ?

9 4 9 4

( x ? ? 1) ( x ? ? 1)
2

B、 ( x ?
2

1 2

) ? y
2

2

? ?

9 4 9 4

( x ? ? 1) ( x ? ? 1)

C、 x ? ( y ?

1 2

)

2

D、 x ? ( y ?

1 2

)

2

5、已知双曲线

x

2

?

y

? 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是

9

16

6、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是
6

7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p(-2,0),则弦 AB 中点的轨迹方程是

8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k= 10、设点 P 是椭圆
x
2

?

y

2

25

9

? 1 上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,求 sin∠F1PF2 的最大值。

11、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点,且 AB 中点 M 为(-2,1), AB ? 4 3 ,求直线 l 的方程和椭圆方程。

12、 已知直线 l 和双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 及其渐近线的交点从左到右依次为 A、 C、 求证:AB ? CD 。 B、 D。

7

参考答案 1、C
AF
2

? AF 1 ? 2 a , BF 2 ? BF 1 ? 2 a ,

∴ AF 2 ? BF 2 ? AB ? 4 a , AF 2 ? BF 2 ? AB ? 4 a ? 2 m , 选 C 2、C 3、D 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为 y2=16x,选 C ∵ AB ? AC ? 2 ? 2 ,且 AB ? AC

∵点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y≠0,故选 D。 4、A ∴(x ?
1 2 ) ? y
2 2

设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为 4 得1 ?
? 9 4

( 2 x ? 1) ? ( 2 y )
2

2

? 4,

①又 c<a,∴ ( x ? 1) ? y
2

2

? 2

∴(x-1)2+y2<4 ②,由①,②得 x≠-1,选 A
9 5 ) ? 29 5

5、

29 3

左准线为 x=1 2 (y ? 1 2 )

9 5

,M 到左准线距离为 d ? 4 ? ( ?

则 M 到左焦点的距离为 ed ?

5 3

?

29 5

?

29 3

6、 x ?

设弦为 AB,A(x1,y1),B(x2,y2)AB 中点为(x,y),则 y1=2x12,y2=2x22,y1-y2=2(x12-x22) ∴2=2?2x, x ?
1 2



y1 ? y 2 x1 ? x 2

? 2 ( x1 ? x 2 )

将x ?

1 2

代入 y=2x2 得 y ?

1 2

,轨迹方程是 x ?

1 2

(y>

1 2

)

7、y2=x+2(x>2)
2 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 M(x,y),则
2 2

y 1 ? 2 x 1 , y 2 ? 2 x 2 , y 1 ? y 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ),
y ?0 x? 2 y x? 2

y1 ? y 2 x1 ? x 2
2

? ( y1 ? y 2 ) ? 2

∵ k AB ? k MP ?

,∴

? 2 y ? 2 ,即 y =x+2

又弦中点在已知抛物线内 P,即 y2<2x,即 x+2<2x,∴x>2 8、4 9、 ? ①?
a
2

? b

2

? 4, c

2

? 8, c ? 2

2 ,令 x ? 2

2 代入方程得 8-y =4 ∴y =4,y=±2,弦长为 4

2

2

2或 ? 1
2

y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0

∴(1-k2)x2-2kx-2=0

?1 ? k

? 0

?? ? 0

得 4k2+8(1-k2)=0,k= ?

2

②1-k2=0 得 k=±1
y P

10、解:a2=25,b2=9,c2=16 设 F1、F2 为左、右焦点,则 F1(-4,0)F2(4,0) ① 设 PF 1 ? r1 , PF 2 ? r2 , ? F1 PF 2 ? ? ② 则 ? r1 ?
? r 2 ? 2?
2 2 2

F1

F2

x

? r1 ? r 2 ? 2 r1 r 2 cos ? ? ( 2 c )

8

①2-②得 2r1r2(1+cosθ )=4b2 ∴1+cosθ =
4b
2

?

2b

2

2 r1 r 2

r1 r 2

∵r1+r2 ? 2 r1 r 2 ,

∴r1r2 的最大值为 a2

∴1+cosθ 的最小值为
7 25

2b a
2

2

,即 1+cosθ ?
7 25

18 25

cosθ ? ?

, 0 ? ? ? ? ? arccos

则当 ? ?

?
2

时,sinθ 取值得最大值 1,

即 sin∠F1PF2 的最大值为 1。 11、设椭圆方程为
x a a
2 2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

由题意:C、2C、

a

2

? c 成等差数列,

c

∴ 4c ? c ?

? c即 a

2

? 2c ,
2

∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2

c x
2 2

椭圆方程为

?

y b

2 2

2b
2

? 1 ,设 A(x1,y1),B(x2,y2)



x1 2b

2 2

?

y1 b

2

2

? 1①

x2 2b

2 2

?

y2 b

2

2

? 1②

①-②得

x1 ? x 2 2b
2

2

?

y1 ? y 2
2

2

b

2

? 0



xm 2b
2

?

ym b
2

?k ? 0



? 2 2

? k ? 0 ∴k=1

直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3, 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴3x2+12x+18-2b2=0,
AB ? x 1 ? x 2 1?1 ? 1 3 12
2

? 12 (18 ? 2 b )
2

2 ? 4 3

解得 b2=12, ∴椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1 ,直线 l 方程为 x-y+3=0

24

12

12、证明:设 A(x1,y1),D(x2,y2),AD 中点为 M(x0,y0)直线 l 的斜率为 k,则
2 ? x 12 y1 ? 2 ?1 ? 2 ?a b ? 2 2 y2 ? x2 ? 2 ?1 ?a2 b ?

① ② ④ ⑤

①-②得

2 x0 a
2

?

2 y0 b
2

?k ? 0 ③

? ? ? ? 设 B ( x 1? , y 1? ), C ( x 2 , y 2 ), BC 中点为 M ? ( x 0 , y 0 ) ,

12 ? x12 y1 1 ? 2 ? 2 ? 0 则? a b ? 2 1 12 x2 y2 ? ? 2 ? 0 ? 2 b ? a

④-⑤得

? 2 x1 a
2

?

2 y0 b
2

1

?k ? 0 ⑥

由③、⑥知 M、 M ? 均在直线 l ? :

2x a
2

?

2y b
2

? k ? 0 上,而 M、 M ? 又在直线 l 上 ,

若 l 过原点,则 B、C 重合于原点,命题成立 若 l 不过原点且与 x 轴不垂直,则 M 与 M ? 重合

若 l 与 x 轴垂直,则由对称性知命题成立 ∴ AB ? CD

9

解圆锥曲线问题常用方法(二)
【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法: 4、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分 利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构 图,用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y” ,令 2x+y=b,则 b 表示斜率为-2 的直线在 y 轴上的截距;如“x +y ”,令 x ? y
2

2

2

2

? d ,则 d 表示点 P

(x,y)到原点的距离;又如“ 5、参数法

y ?3 x? 2

” ,令

y ?3 x? 2

=k,则 k 表示点 P(x、y)与点 A(-2,3)这两点连线的斜率??

(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”,以此点为参数,依次求出其他相关量,再列式求解。如 x 轴 ) 上一动点 P,常设 P(t,0) ;直线 x-2y+1=0 上一动点 P。除设 P(x1,y1)外,也可直接设 P(2y,-1,y1) (2)斜率为参数 当直线过某一定点 P(x0,y0)时,常设此直线为 y-y0=k(x-x0),即以 k 为参数,再按命题要求依次列式求解等。 (3)角参数 当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。 6、代入法 这里所讲的“代入法” ,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题: “已知条件 P1,P2 求(或求证)目标 Q” , 方法 1 是将条件 P1 代入条件 P2,方法 2 可将条件 P2 代入条件 P1,方法 3 可将目标 Q 以待定的形式进行假设,代入 P1,P2, 这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。 【典型例题】 例 1:已知 P(a,b)是直线 x+2y-1=0 上任一点,求 S= a ? b ? 4 a ? 6 b ? 13 的最小值。
2 2

分析:由此根式结构联想到距离公式, 解:S= ( a ? 2 ) ? ( b ? 3 ) 设 Q(-2,3),
2 2

则 S=|PQ|,它的最小值即 Q 到此直线的距离 ∴Smin
| ?2 ? 2 ? 3 ? 1 | 5 ? 3 5 5

点评:此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注:可令根式内为 t 消元后,它是一个一元二次函数)
10

例 2:已知点 P(x,y)是圆 x +y -6x-4y+12=0 上一动点,求 解:设 O(0,0) ,则 y=kx,即 kx-y=0
y x

2

2

y x

的最值。
y x

表示直线 OP 的斜率,由图可知,当直线 OP 与圆相切时,

取得最值,设最值为 k,则切线:

圆(x-3) +(y-2) =1,由圆心(3,2)到直线 kx-y=0 的距离为 1 得

2

2

| 3k ? 2 | k
2

? 1,

?1

∴k ?

3? 4

3

∴?

3? 3 ? y? 3? 3 ? y? ? ,? ? ? ? 4 4 ? x ? min ? x ? max

例 3:直线 l:ax+y+2=0 平分双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的斜率为 1 的弦,求 a 的取值范围.

16

9

分析:由题意,直线 l 恒过定点 P(0,-2),平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点 M 与点 P 的连线的斜率即-a 的范围。 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点,且 AB 的斜率为 1,AB 的中点为 M(x0,y0)
2 ? x 12 y1 ? ?1 ? ? 16 9 则: ? 2 2 y2 ? x2 ? ?1 ? 9 ? 16

① ②
y
2 1

①-②得

x

2 1

? x 16

2 2

?

? y 9

2 2

? 0,即

x0 16

?

y0 9

?1 ? 0

即 M(X0,y0)在直线 9x-16y=0 上。 由 9x-16y=0 得 C? ? ?
? ? 16 7 ,? ? 16 9 ? 9 ? ? ,D ? , ? ? ? ? 7 ? 7 ? ? 7

x

2

?

y

2

?1

16

9
16 7 7 16 7 7

∴点 M 的轨迹方程为 9x-16y=0(x<-

或 x>

)

11

?2?

9 7 ? 9?2 7 16 , k PD ?

?2? 0?

9 7 16 7 ? 9? 2 7 16

kPD=
0? 16

7

由图知,当动直线 l 的斜率 k∈ ?

?9? 2 7 9 ? ? 9 9? 2 7 ? ?? ? ? 时,l 过斜率为 1 的弦 AB 的中点 M,而 k=-a , , ? ? ? 16 ? 16 16 ? 16 ? ? ? ,? ? 9 ? 9 2 7 ?9? ? ? ?? ? , ? 16 ? 16 ? 16 ? ? ?

∴a 的取值范围为: ? ?
? ?

?

9? 2 16

7

点评:此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的,由图得知,弦 AB 中点轨迹并不是一条直线(9x-16y=0) , 而是这条直线上的两条射线(无端点) 。再利用图形中的特殊点(射线的端点 C、D)的属性(斜率)说明所求变量 a 的取值范围。 例 4:过 y =x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、C 两点。求证:直线 BC 的斜率是定值。 分析: (1)点 A 为定点,点 B、C 为动点,因直线 AB、AC 的倾斜角互补,所以 kAB 与 kAC 相反,故可用“k 参数”法, 设 AB 的斜率为 k,写出直线 AB 的方程,将 AB 的方程与抛物线方程联立,因 A 为已知交点,则方程有一根已知故用韦达 定理容易解出点 B 坐标,同理可得点 C 坐标,再求 BC 斜率。 (2) 因点 B、 在抛物线上移动, C 也可用 “点参数” 设 B 1,y1) 法, (x ,C(x2,y2),因 x1=y1 ,x2=y2 ,即可设 B 1 ,y1) (y ,C(y2 ,y2)。 再考虑 kAB=-kAC 得参数 y1,y2 的关系。 解法 1:设 AB 的斜率为 k,则 AC 的斜率为-k AB:y-2=k(x-4),与 y =x 联立得: y-2=k(y -4),即 ky -y-4k+2=0 ∵y=2 是此方程的一解, ∴2yB=
? 4k ? 2 k , yB ?
2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 ? 2k k

xB=yB =

2

1 ? 4k ? 4k k
2

,

∴B ? ?
?

? 1 ? 4k ? 4k k
2

2

,

1 ? 2k ? ? ? k ? ? 1 ? 4k ? 4k ? k
2 2

∵kAC=-k,以-k 代替 k 代入 B 点坐标得 C ? ?
1 ? 2k k 1 ? 4k ? 4k k
2 2

,

1 ? 2k ? ? ? k ? ?

?

? ?

1 ? 2k k
2

∴kBC=

1 ? 4k ? 4k k

? ?

1 4

为定值

12

解法 2:设 B(y1 ,y1),C(y2 ,y2),则 kBC=
y 2 ? y1 y 2 ? y1
2 2

2

2

?

1 y 2 ? y1 1 y1 ? 2 y2 ? 2 y2 ? 4
2

∵kAB=

y1 ? 2 y
2 1

? 4

?

, k AB ?

?

1 y2 ? 2

由题意,kAB=-kAC, ∴
1 4

1 y1 ? 2

? ?

1 y2 ? 2

, 则 y1 ? y 2 ? ? 4

则:kBC= ?

为定值。

点评:解法 1 运算量较大,但其方法是一种基本方法,因 k 的变化而造成了一系列的变化,最终求出 BC 的斜率为定 值;解法 2 利用点 B,C 在抛物线上设点,形成含两个参数 y1,y2 的问题,用整体思想解题,运算量较小。 例 5:在圆 x +y =4 上,有一定点 A(2,0)和两动点 B,C(A,B,C 按逆时针排列) ,当 B,C 两点保持∠BAC=
y
2 2

?
3

时,

求△ABC 的重心的轨迹。 分析:圆周角∠BAC=
?
3

可转化为圆心角∠BOC=
2? 3

2? 3

B

,选用“角参数” ,
0

令 B(2cosθ ,2sinθ )则 C(2cos(θ + 则重心可用θ 表示出来。 解:连 OB,OC,∵∠BAC=
?
3

),2sin(θ +

2? 3

))

A C

x

,∴∠BOC=
4? 3

2? 3 2? 3 2? 3

设 B(2cosθ ,2sinθ )(0<θ < 设重心 G(x,y) ,则: x= [ 2 ? 2 cos ? ? 2 cos( ? ?
3 1

),则 C(2cos(θ +

),2sin(θ +

))

2? 3 2? 3

)] )] 3 2 3 2 y ? sin( ? ? x ? 1 ? cos( ? ?

y= [ 0 ? 2 sin ? ? 2 sin( ? ?
3

1

即: x= [1 ? cos( ? ?
3

2 2 3

?
3

)]

?
3

)

y= θ + ∴(
?
3 3 2

sin( ? ? ,
2

?
3

)

?
3

)

?(

?
3

5? 3

) 3 2 y)
2

x ? 1) ? (

? 1。 (x<

1 2



13

即(x ?

2 3

) ? y
2

2

?

4 9

(x ?

1 2

)

点评:要注意参数θ 的范围,θ +

?
3

∈(
x a
2 2

?
3



5? 3

)它是一个旋转角,因此最终的轨迹是一 段圆弧,而不是一个圆。

例 6、求直线 3x-4y+10=0 与椭圆

? y

2

? 1 (a>0)有公共点时 a 的取值范围

分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0 可求得 a 的取值范围。 也可考虑另一代入 顺序,从椭圆方程出发设公共点 P(用参数形式) ,代入直线方程,转化为三角问题:asinx+bcosx=c 何时有解。 解 法 一 : 由 直 线 方 程
( 1 a
2

3x-4y+10=0

得 y ?

3 4

x?

5 2

代 入 椭 圆 方 程 得

1 a
2

x

2

?(

3 4

x?

5 2

)

2

?1



?

9 16

)x

2

?

15 4 15 4

x?

21 4

? 0

△≥0,得 (

) ? 4?
2

21 4

?(

1 a
2

?

9 16

) ? 0 解得 a

2

?

28 3

,又 a>0,∴ a ?

2 3

7

解法二:设有公共点为 P,因公共点 P 在椭圆上,利用椭圆方程设 P(acos ? ,sin ? )再代入直线方程得 3acos ? -4sin ? +10=0 4sin ? -3acos ? =10。
9a 4
2

sin ? ? ? 16

3a 9a
2

cos ? ?

10 9a
2

? 16

? 16

令 sinα =

3a 9a
2

,cosα =
9a 10 9a
2

4
2


? 16

? 16

则 sin( ? -α )=


? 16
2

由 sin( ? ? ? ) ? 1
2 21 3

即 sin ( ? -α )≤1 得

100 9a
2

? 16

?1

∴9a ≥84,a ≥

2

2

28 3

(a>0)

∴a≥

点评:解法 1,2 给出了两种不同的条件代入顺序,其解法 1 的思路清晰,是常用方法,但运算量较大,对运算能力 提出较高的要求, 解法 2 先考虑椭圆, 设公共点再代入直线, 技巧性强, 但运算较易, 考虑一般关系: “设直线 l: Ax+By+C=0 与椭圆 x
a
2 2

?

y b

2 2

? 1 有公共点,求应满足的条件”此时,若用解法一则难于运算,而用解法二,设有公共点

P,利用椭圆,

设 P(acos ? ,bsin ? )代入直线方程得 Aacos ? +Bbsin ? =-C。 ∴
?C A a
2 2

? B b
2

2

? 1 时上式有解。 ∴C ≤A a +B b

2

2 2

2 2

因此,从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。

14

【同步练习】 1、若实数 x、y 满足 x +y -2x+4y=0,则 x-2y 的最大值是( A、5 B、10
2

2

2



C、9

D、5+2 5

2、若关于 x 的方程 1 ? x

? k ( x ? 2 ) 有两个不等实根,则实数 k 的取值范围是

( A、 ( ?
3 3 , 3 3
2



) B、 ( ? 3 ,

3 ) C、 ? ?
? ?

?

3 3

? ,0 ? ?

D、 ? ? ?
? ?

3 3

,?

?1 1? 3 ? ? ?? ? , 2? 2 3 ? ? ?

3、方程 ( x ? 3 ) ? ( y ? 1) ? x ? y ? 3 ? 0 表示的图形是(
2



A、椭圆

B、双曲线

C、抛物线

D、以上都不对 )

4、 已知 P、 分别在射线 y=x(x>0)和 y=-x(x>0)上, Q 且△POQ 的面积为 1,0 为原点)则线段 PQ 中点 M 的轨迹为 ( , ( A、双曲线 x -y =1 C、半圆 x +y =1(x<0)
2 2 2 2

B、双曲线 x -y =1 的右支 D、一段圆弧 x +y =1(x>
2 2 2

2

2

2 2

)

5、一个等边三角形有两个顶点在抛物线 y =20x 上,第三个顶点在原点,则这个三角形的面积为 6、设 P(a,b)是圆 x +y =1 上的动点,则动点 Q(a -b ,ab)的轨迹方程是 7、实数 x、y 满足 3x +2y =6x,则 x+y 的最大值为 8、已知直线 l:2x+4y+3=0,P 是 l 上的动点,O 为坐标原点,点 Q 分 OP 为 1:2,则点 Q 的轨迹方程为
x
2

2

2

2

2

2

2

9、椭圆

?

y

2

16

9

? 1 在第一象限上一动点 P,若 A(4,0),B(0,3),O(0,0),则 S 四边形
25 2

APBO

的最大值为

10、已知实数 x、y 满足 x+y=4,求证: ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ?
2 2

11、△ABC 中,A(3,0) BC ? 2 ,BC 在 y 轴上,且在[-3,3]间滑动,求△ABC 外心的轨迹方程。

12、设 A、B 是抛物线 y =2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°(O 为原点) 。求证:直线 AB 过定点。 参考答案

2

15

1、B

x-2y=b,圆(x-1) +(y+2) =5,由(1,2)到 x-2y-b=0 的距离等于 5 得

2

2

1? 4 ? b 5

?

5 ,∴b=0 或 b=10

则 b 的最大值为 10,选 B。

或用参数法,令 x ? 1 ?
5 5

5 cos ? , y ? ? 2 ?

5 sin ? 代入得

x ? 2y ? 5?

5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 5 ? 5 (

cos ? ?

2 5 5

sin ? ) ? 5 ? 5 sin( ? ? ? )

最大值为 10。选 B

2、C 作图,知当 k ? ? ?
? ?

?

? , 0 ? 时,直线 y=k(x-2)与半圆有两交点, 3 ? 3
2 2

选C

3、B

方程即 ( x ? 3 ) ? ( y ? 1) ?

2?

x? y?3 2
PF PH

令 F(-3,1) P(x,y), l: x-y+3=0, PH⊥l 于 H 则

?

2 ,由双曲线第二定义知选 B。

4、B

用“点参数”法,设 P(x1,x1)(x1>0),Q(x2,-x2)(x2>0) 则 2x=x1+x2,2y=x1-x2,∴(2x) -(2y) =4x1x2 5、1200 3 。
2 2


2 2

1 2

2 x1 ?

2 x 2 ? 1 ,∴x1x2=1,设 M(x,y),

2

2

则 x -y =1(x>0)。选 B

2 2 2 2 设此三角形为△OAB,设 A(x1,y1),B(x2,y2)由 OA ? OB 得 x 1 ? y 1 ? x 2 ? y 2 ,

∴ x 1 ? 20 x 1 ? x 2 ? 20 x 2

(x1-x2)(x1+x2+20)=0,∵x1>0,x2>0 ∴x1=x2
3 3

则 y 1 ? y 2 ,y1=-y2,∴A、B 关于 x 轴对称,A、B 在 y= ?
2 2

x上

将y ?

3 3

x 代入 y =20x 得 A(60,20

2

3 ),∴B(60,-20

3)

边长为 40 3 面积为

3 4

( 40

3)

2

? 1200
1 2

3

6、x +4y =1
2 2

2

2

令 a=cosθ ,bsinθ ,则 Q(cos2θ ,
10 2

sin2θ ),设 Q(x,y)
2 3

则 x +4y =1
3 2 3 2

7、

+1

3(x-1) +2y =3, (x-1) +

2

2

2

y

2

?1

令 x-1=cos ? , y=

sin ? , x+y=cos ? + 则

sin ? +1

最大值为 1 ?

3 2

?1?

10 2

?1

16

0?

1

8、2x+4y+1=0

设 Q(x,y),P(x1,y1),则 x ?
1?

2 1

x1 ,y ?

0?

1 2

y1 1 2

1?

2

∴x1=3x,y1=3y , ∵2x1+4y1+3=0 9、 6 2
S 四边形

∴2?3x+4?3y+3=0 即 2x+4y+1=0
?
2

设 P(4cos ? ,3sin ? )(0< ? <
1 2 ? 4 ? 3 sin ? ? 1 2

)
2 sn (? ?

APBO

? S ? OAP ? S ? OBP ?

? 3 ? 4 cos ? ? 6 (sin ? ? cos ? ) ? 6

?
4

)

当? =

?
4

时, S 四边形

APBO

的最大值为 6 2 10、证明:设 P(x,y),A(-2,1)则 ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? PA
2 2 2

过 A 作 AH⊥l 交于 H,其中 l:x+y=4 则 AH ?
? 2 ?1? 4 2
1 7 , )时取等号 2 2

?

5 2

∴ PA ? AH ?

5 2

,则 PA

2

?

25 2

当 P 在 H(

∴ ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2

11、解:设 C 在 B 的上方,设 B(0,t),

则 C(0,t+2),-3≤t≤1

设外心为 M(x,y),因 BC 的中垂线为 y=t+1 ① AB 中点为 ( , ) , k AB ? ?
2 2 3 t t 3 4 3

AB 的中垂线为 y ?

t 2

?

3 t

(x ?

3 2

)



由①、②消去 t 得 y

2

? 6( x ?
2

)( ? 2 ? y ? 2 ) 这就是点 M 的轨迹方程。
2 2

12、解:设 OA:y=kx,代入 y =2px 得 k x =2px 则 x ? 同理由 OB:y=2p k AB k ? 2p k
2

2p k
2

,y ?

2p k

∴ A(

2p 2p , ) 2 k k

1 k

x

可得 B(2pk ,-2pk)
1 k ? 1 k
2

2

? 2 pk ? 2 pk
2

? k ? ?k
2

1 1 k
2

?

k 1? k
2

?k

∴ AB : y 2 pk ?

k 1? k
2

( x ? 2 pk

)

令 x=2p 得 y=0,说明 AB 恒过定点(2p,0)

17


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