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第三讲matlab在线性代数和高等数学中的应用-精选文档_图文

第三讲 Matlab在微积分和线性代 数中的应用 主要内容 ? 1. 高等数学微积分中的应用 ? 2. 线性代数中的应用 ? 3. 常微分方程的符号解 ? 4. 概率论分析中的应用 1、高等数学微积分中的应用 1.1 导数、极值和积分、Taylor公式 1. 极限运算 命 limit(f,x,a) 令 功 f ( x) 计算 lim x?a 能 limit(f,x,inf) limit(f,x,a, 'right') limit(f,x,a, 'left') f (x) 计算 lim x?? f (x) 计算单侧极限 xlim ?a? f (x) 计算单侧极限 xlim ?a? 注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时, MATLAB的默认状态是求右极限。 1.1 导数、极值和积分、Taylor公式 1. 极限运算 命 limit(f,x,a) 令 功 f ( x) 计算 lim x?a 能 limit(f,x,inf) limit(f,x,a, 'right') limit(f,x,a, 'left') f (x) 计算 lim x?? f (x) 计算单侧极限 xlim ?a? f (x) 计算单侧极限 xlim ?a? 注意:在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时, MATLAB的默认状态是求右极限。 例. 求极限 lim(1 ? 4 x) x ?0 1 x ex ?1 与极限 lim x? 0 x syms x; lim( x ?2 ) 例. 求极限 x ? 0? 1 ? x syms x; y=sqrt(x)-2^(-1/x); limit(y,x,0, 'right') y1=(1+4*x)^(1/x); y2=(exp(x)-1) /x; limit(y1,x,0) limit(y2,x,0) 2. 求导运算 (1)一元函数的求导 diff(f) diff(f,n) 例. x? 5 x? 1 求函数3 的二阶 3 例. 3 3 x ? 2 x? 1 设 y? ,求 y ' x ? 1 导数 syms x; f=3*x^3+5*x+1; syms x; y=3*x^2-2*x+1; B=diff(y),x=1; diff(f,2) eval(B) (2)多元函数的偏导数 diff(f,xi) diff(f,xi,n) 2 2y 关于x的偏导数。 例12. 求z ?x sin syms x y; z=x^2*sin(2*y); B=diff(z,x) 3. 积分运算 (1)一元函数的不定积分 int(f) 求函数f对默认变量的不定积分,用于函数只有一 个变量的情况 int(f,v) 求符号函数f对变量v的不定积分 例. 1 dx 计算 ? 2 例. 2 sin xcosx syms x ; y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2); int(y) pretty(int(y)) x dz 计算 ? 2 1? z syms x z; B=int(x/(1+z^2),z) (2)一元函数的定积分 int(f,x,a,b) 用微积分基本公式计算定积分 例. ? b a f ( x)dx x2 ?sinx 求 ? dx ?1 1? x2 syms x ; 1 y=(x^2+sin(x))/(1+x^2); int(y,x,-1,1) (3)多重积分运算 int(int(f,y),x) int(int(f,y,c,d),x,a,b) 例. 计算 计算不定积分 计算不定积分 ,y ) dy ?dx ?f(x ? dx ? a b d c f (x , y)dy ?? 0 1 x ? 1 x 2 2 ( x ? y ? 1 ) dxdy syms x y ; int(int(x^2+y^2+1,y,x,x+1),x,0,1) 4. 函数的Taylor展开 taylor(f) 将函数f展开成默认变量的6阶麦克劳林(Maclaurin)公式 taylor(f,n) 将函数f展开成默认变量的n阶麦克劳林(Maclaurin)公式 taylor(f,n,v,a) 将函数f(v)在v=a处展开成n阶Taylor公式 2 ( x ) ? x arctan x ? ln 1 ? x 例. 将函数 f 展开为x的6阶麦克劳林 (Maclaurin)公式 syms x ; f=x*atan(x)-log(sqrt(1+x^2)); taylor(f) 1 f ( x ) ? 例. 将函数 展开为关于(x-2)的最高次为4的幂级数 x2 syms x ; f=1/x^2; taylor(f,4,x,2); pretty(taylor(f,4,x,2)) 1.2 数值微分与数值积分在MATLAB中的实现 1. 数值微分 数值微分是用离散的方法近似地计算函数y=f(x)在某点 x=a处的导数值,通常仅当函数以离散数值形式给出时才 有这种必要。 diff(x) 1.2 数值微分与数值积分在MATLAB中的实现 2. 用数值方法计算定积分 (1)复合梯形公式 trapz(x,y) (2)复合辛普生公式 quad('fun',a,b,tol,trace) quadl('fun',a,b,tol,trace) 例. 用复合梯形公式和复合辛普生公式求 ? syms x ; x=2:0.1:5; y=log(x)./(x.^2); t=trapz(x,y);ff=inline('log(x)./(x.^2) ', 'x ' ); 5 2 ln x dx 2 x q=quad(ff,2,5); disp([blanks(3) '梯形法求积分' blanks(3) '辛普生法求积分']),[t,q] (3)用数值方法计算二重积分 dblquad('fun',xmin,xm