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2018-2019学年高中数学人教A版必修3教学案:第一章1.3算法案例-含解析

数学 算法案例 预习课本 P34~45, 思考并完成以下问题 (1)如何求 a,b,c 的最大公约数? (2)如何求两个数的最小公倍数? [新知初探] 1.辗转相除法 (1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效 的算法. (2)辗转相除法的算法步骤: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则,返回第二步. 2.更相减损术 (1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公 约数的算法. (2)其基本过程是: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用 2 约简;若不是, 执行第二步. 第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小 数,继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就 是所求的最大公约数. [点睛] 数学 辗转相除法与更相减损术的区别与联系 两种方法 计算法则 终止条件 最大公约数的选取 计算特点 相同点 辗转相除法 除法 余数为 0 最后一步中的除数 步骤较少,运算复杂 更相减损术 减法 减数与差相等 最后一步中的减数 步骤较多,运算简单 同为求两个正整数最大公约数的方法,都是递归过程 3.秦九韶算法 把一个 n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn 1+…+a1x+a0 改写成如下形式:f(x)=(…((anx - +an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值, 即 v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2,v3=v2x+an -3 ,…,vn=vn-1x+a0,这种求 n 次多项式 f(x)的值的方法叫秦九韶算法. [小试身手] 1.用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数时,需做减法的次数为( A.4 C.6 B.5 D.7 ) 解析:选 C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴共进行 6 次减 法. 2.用“辗转相除法”求得 168 与 486 的最大公约数是( A.3 C.6 B.4 D.16 ) 解析:选 C 486=168×2+150,168=150×1+18,150=18×8+6,18=3×6,故 168 与 486 的最大公约数为 6. 3.有关辗转相除法下列说法正确的是( ) A.它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法 B.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=nq+r,直至 r<n 为止 C.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=nq+r(0≤r<n),反复进行, 直到 r=0 为止 D.以上说法皆错 数学 解析:选 C 辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法,故 A 错,而 C 中 0≤r<n 且除到 r=0 为止,C 对.B 错,故选 C. 1 4.已知多项式 f(x)=4x5+3x4+2x3-x2-x- ,用秦九韶算法求 f(-2)等于( 2 A.- 183 C. 2 197 2 197 B. 2 D.- 183 2 ) 1 197 解析:选 A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x- ,∴f(-2)=- . 2 2 求最大公约数 [典例] 求 228 与 1 995 的最大公约数. [解] 法一:(辗转相除法)1 995=8×228+171,228=1×171+57,171=3×57, 所以 228 与 1 995 的最大公约数为 57. 法二:(更相减损术)1 995-228=1 767,1 767-228=1 539, 1 539-228=1 311,1 311-228=1 083, 1 083-228=855,855-228=627, 627-228=399,399-228=171, 228-171=57,171-57=114, 114-57=57. 所以 228 与 1 995 的最大公约数为 57. 辗转相除法计算次数少,步骤简捷,更相减损术计算次数多,步骤复杂,但是更相减损 术每一步的计算都是减法, 比做除法运算要简单一些, 一般当数较小时可以考虑用更相减损 术,当数较大时可以考虑用辗转相除法. [活学活用] 用辗转相除法和更相减损术求 1 515 与 600 的最大公约数,需要运算的次数分别为 ( ) 数学 A.4,15 C.5,13 解析:选 B B.5,14 D.4,12 辗转相除法: 1 515=600×2+315;600=315×1+285,315=285×1+ 30,285=30×9+15,30=15×2,故最大公约数为 15,且需计算 5 次.用更相减损术:1 515 -600=915,915-600=315,600-315=285, 315-285=30,285-30=255,255-30=225, 225 -30=195,195-30=165,165-30=135,135-30=105,105-30=75,75-30=45,45-30= 15,30-15=15.故最大公约数为 15,且需计算 14 次. 秦九韶算法的应用 [典例] 用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当 x=2 时的值. [解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=8x7+5x6+0· x5+3· x4+0· x3+0· x2+2x+1=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+ 2)x+1. 而 x=2,所以有 v0=8, v1=8×2+5=21, v2=21×2+0=42, v3=42×2+3=87, v4=87×2+0=174, v5=1

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