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第二章矩阵运算练习题


《线性代数》第二章练习题
一、填空题
? 1 2? ? 3 ? 2? 1、设 A ? ? ? ? 1 3 ? , B ? ? 2 1 ? ,则 3A+2B = ? ? ? ? ? ? ?
2、设矩阵 A ? ? ? ;BT ?

; AB =

? ? 1 5? ? 3 1? ?, ? ? ? , 3A ? B ? B ? 则 1 3? ? 2 0? ? ? ? ?

, ?1 B ? A



3、设 A 为三阶矩阵,且 A ? 2 ,则 2 A* ? A ?1 ? 4、设矩阵 A 为 3 阶方阵,且|A|=5,则|A*|=______,|2A|=_____
? 1 2 0? ? ? ? 2 3 ? 1? T 3、设 A ? ? 3 4 0 ? , B ? ? ? ? 2 4 0 ? ,则 AB = ? ? ? ? ?1 2 1? ? ? ? 1 1 1? ? ? 4、设 A ? ? 2 2 5 ? ,且 r ( A) ? 2 ,则 t ? ?1 1 t ? ? ?

?1 ? 0 5、若 A= ? ?0 ? ?0

2 3 3 ?1 6 ?2 0 0

3? ? 2? 则 r(A)=_____ 4? ? 0?

? 1 ? 1? ?1 2 6、设矩阵 A ? ? ? 2 3 ? , B ? A ? 3 A ? 2 I ,则 B ? ? ? ?
7、设 A 是方阵,已知 A2 ? 2 A ? 2 I ? O ,则 ( A ? I ) ?1 ? 8、设矩阵 A 满足 A 2 ? A ? 4 I ? O ,则 ( A ? I ) ?1 ?
? 1 0 2? ? ? 9、设 A 是 4 ? 3 矩阵且 r ( A) ? 2 , B ? ? 0 2 0 ? ,则 r ( AB ) ? ? ? 1 0 3? ? ?

? 1 0 0? ? ? 10、设 A ? ? 2 2 0 ? ,则 ( A? ) ?1 ? ? 3 4 5? ? ?

? 3 0 0? ? ? 11、设 A ? ? 1 4 0 ? ,则 ( A ? 2I ) ?1 ? ? 0 0 3? ? ?
?5 ? ?2 12、设 A ? ? 0 ? ?0 ? 2 1 0 0 0 0 ? ? 0 0 ? ?1 ? ,则 A ? 1 ?2 ? 1 1 ? ?
1 ,则 ( 3 A) ?1 ? 2 A ? ? 2

13、已知 A 为四阶方阵,且 A ?

?2 ? ? ? 14、设 A ? ? 3 ? , A 2 ? _________, A n =_________ ? 4? ? ?
? 1 0 0? ? ? 则 15、若 A ? ? 2 3 0 ? , A? ? ? 4 5 6? ? ?

, A ?1 =

二、单项选择题
1、若 A2 ? A ,则下列一定正确的是 (A) A ? ? (B) A ? ? (C) A ? ?或A ? ? ( )

(D)以上可能均不成立 ( )

2、设 A,B 为 n 阶矩阵,下列命题正确的是 (A) ( A ? B) 2 ? A2 ? 2 AB ? B 2 ; (C) A2 ? I ? ( A ? I )( A ? I ) ;

(B) ( A ? B)( A ? B) ? A2 ? B 2 ; (D) ( AB) 2 ? A2 B 2 。 )

3、设 A 是方阵,若 AB ? AC ,则必有 ( (A) A ? 0 时 B ? C ; (B) B ? C 时 A ? 0 ; (C) B ? C 时 A ? 0 ; 4、下 列 矩 阵为 初 等 矩 阵 的是
?0 0 1? ? ? (A)? 0 1 0 ? ?1 0 0? ? ?

(D) A ? 0 时 B ? C . ( )

?1 0 0? ? 3 1 2? ?1 0 0? ? ? ? ? ? ? (B) ? 0 1 2 ? (C)? 1 2 3 ? (D)? 0 0 0 ? ?0 0 1? ?0 1 2? ?2 3 1? ? ? ? ? ? ?

5、设 A 、 B 为同阶方阵,且 AB ? O ,则必有 (A) A ? O 或 B ? O ; (B) A ? B ? O ; (C) A ? O 或 B ? O ; (D) A ? B ? O 。





6、 A 、 B 为同阶方阵,则下列式子成立的是 (A) A ? B ? A ? B ; (C) AB ? BA ; (B) AB ? BA ; (D) ( A ? B) ?1 ? A?1 ? B ?1





7、 n 阶方阵 A 、B 、C 满足关系式 ABC ? I , 设 则有 (A) ACB ? I ; (B) CBA ? I ; (C) BAC ? I ; (D) BCA ? I 8、 A 为 n 阶方阵, A ? a ? 0 , A ? ? 设 且 则 (A) a ; (B)
1 ; a

( (

) )

(C) a n?1 ;

(D) a n
a12 a12 ? a32 a22 ? ? a13 ? a33 ? ,且 a23 ? ? a13

? a11 ? 9、设矩阵 A ? ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a11 ? ? a23 ? , B ? ? a11 ? a31 ? a a33 ? 21 ? ?

? 1 0 0? ? ? C ? ? 0 0 1? , ? 0 1 0? ? ?

? 1 0 0? ? ? D ? ? 0 1 0 ? ,则必有( ? 1 0 1? ? ?



(A)ACD ? B ACD ? B ; (B)ADC ? B ; (C)CDA ? B ; (D) DCA ? B .

三、解答题
1 1 ? ?1 1 ? ? 2 3? ?2 ? ? ? 1 1 ? 1 ? 1? ?1 1、求 A : (1) A ? ? 1 ? 1 0 ? ; (2) A ? ? 1 ? 1 1 ? 1? ? ?1 2 1? ? ? ? ? ?1 ? 1 ? 1 1 ? ? ?
?1 0 0? ?1 0? ? ? ? ? 2、若 AX = B,其中 A ? ? ? 1 1 0 ? , B ? ? 0 1 ? , 求(1)A-1; (2)X ? 1 2 ? 1? ? 2 0? ? ? ? ?

3、解矩阵方程

? 1 3? ? ? 2 1? ? ? ? ? 2 0 ? ,求 X ? ? X? ? 5 3? ? ? ? 3 1? ? ?
? 1 1 ? 1? ? ? 4、设 A ? ? 0 1 1 ? 且 A 2 ? AX ? I ,求矩阵 A ? 0 0 ? 1? ? ?

5、设 A 是 4 阶实矩阵,且 A* ? 8 ,求 A 6、设 A 为三阶方阵,且 A ? 2 ,求 ( 3 A) ?1 ? 2 A ?

四 证明题:
1、设 A 和 B 均为 n 阶可逆矩阵,其中 A? 是 A 的伴随矩阵, B ? 是 B 的伴随矩阵, 证明: ( AB)? ? B? A? ,其中 (AB)? 是 AB 的伴随矩阵 2、如果对称矩阵 A 为非奇异,试证: A ?1 也是对称矩阵 3、设 A,B,C 都是 n 阶方阵,且 C 可逆, C ?1 ? C ?1B ? E)A? , (
? 证明:A 可逆且 A?1 ? B ? C) 。 (

4、设 Ak ? 0 ,其中 k 为正整数,证明: ( E ? A) ?1 ? E ? A ? A2 ? ??? Ak ?1
? 5、设方阵 A 满足 A -A-2E=O,证明 A 及 A+2E 都可逆,并求 A?1及(A ? 2E)1
2

6、证明:若 A2 ? I ,且 A ? I ,则 A ? I 为奇异矩阵。


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