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知识讲解


空间点线面的位置关系 编稿:孙永钊 【考纲要求】 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据的公理和定理; (3)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】 审稿: 平面 三个公理、三个推论 平行直 线 异面直 线 相交直 线 直线在平面内 公理 4 及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 空 间 点 线 面 位 置 关 系 空间两条直 线 空间直 线 与平面 空间两 个平面 概念 垂 直 斜 交 三垂线定理 直线与平面所成的角 直线与平面平行 直线与平面相交 两个平面平行 两个平面相交 【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 (1)公理 1:可用来证明点在平面内或直线在平面内; (2)公理 2:可用来确定一个平面,为平面化作准备或用来证明点线共面; (3)公理 3:可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线,三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理 2 的推论: (1)经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; (2)经过两条相交直线,有且只有一个平面; (3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 (1)点共线问题 证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上。 (2)线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题 转化为证明点在直线上。 要点诠释:证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内; ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α ,再证明其余元素确定平面β ,最后证 明平面α 、β 重合。 考点二、直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ? ?相交直线 ?共面直线 ? ? ?平行直线 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a ∥a,b ∥b,把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) ②范围: ? 0, ? 2 ’ ’ ’ ’ ? ? ?? ? 要点诠释:证明两直线为异面直线的方法: 1、定义法(不易操作) 2、反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发, 经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经 常用到。 3、客观题中,也可用下述结论: 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图: 考点三、直线和平面、两个平面的位置关系 1、直线和平面的位置关系 位置关 直线 a 在平面α 内 系 公共点 符号表 示 图形表 示 2、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平 行 有无数个公共 斜交 两平面相 交 垂直 图示 表示法 公共点个数 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 直线 a 与平面α 相交 直线 a 与平面α 平行 a ?? a ??A a // ? ? // ? 0 ? ? ?a 点在一条直线 上 ? ?? 有无数个公共 点在一条直线 ? ? ?a 上 考点四、平行公理、等角定理 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可 能平行,可能相交,也可能异面) 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么

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