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辽宁省鞍山市第一中学等六校2015-2016学年高二上学期期末考试(文)数学试题


大连市四十八中学 2015-2016 学年高二上学期期末考试 数学试卷(文科) 第Ⅰ卷 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? n2 ? 1 ,则 a5 ? ( A.7 B.9 C.11 D.12 2.已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 0 ,则(
2 A. ?p : ?x0 ? R, x0 ?0 2 C. ?p : ?x0 ? R, x0 ?0





2 B. ?p : ?x0 ? R, x0 ?0

D. ?p : ?x ? R, x ? 0
2

3.设 a ? b ,则下列不等式成立的是( A. a ? b ? ab
2 2


2 2

B.

b?a ?0 ab
a

C. a ? b

D. 2 ? 2
a

b

4.数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 bn ? 2 n (n ? N * ) ,则“数列 ?an ? 是等差数列”是“数列 ?bn ? 是等比 数列”的( ) B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件
2

A.充分但不必要条件

5.在直角坐标平面内,满足方程 ( y ? 2 x )(

x2 y 2 ? ) ? 0 的点 ( x, y ) 所构成的图形为( 16 9



A.抛物线及原点 B.双曲线及原点 C.抛物线、双曲线及原点 D.两条相交直线

x 7.函数 f ( x) ? x(e ?1) ? ln x 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程是(



A. y ? 2ex ? e ? 1

B. y ? 2ex ? e ? 1

C. y ? 2ex ? e ? 1

D. y ? 2ex ? e ? 1 )

8.若正实数 x , y 满足不等式 2 x ? y ? 4 ,则 x ? y 的取值范围是( A. ? ?4, 2? B. (?4, 2)
2

C. ? ?2, 2?

D. ? ?2, 2?

9.已知点 P 为抛物线 C : y ? 4x 上一点,记 P 到此抛物线准线 l 的距离为 d1 ,点 P 到圆

( x ? 2)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 上点的距离为 d2 ,则 d1 ? d2 的最小值为(
A.6 B.1 C.5 D.3 10.设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项之积为 Tn ,若 Tn ? 2n ( ) D. 2 3
2



?n

,则

an ? 12 的最小值为 2n

A.7 B.8 C. 4 3

11.已知 f ( x ) 的图像关于原点对称,且当 x ? (??, 0) 时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 (其中 f ?( x ) 是

f ( x) 的导函数) ,a ?
关系式正确的是( A. c ? a ? b 12.设双曲线

1 2 f (0.5?0.5 ), b ? (log3 ? ) f (log? 3) ,c ? (log9 ) f (log 1 9) ,则下列 3 2 3
) C. a ? c ? b D. a ? b ? c

B. b ? a ? c

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上, a 2 b2


且 PF 1 ? 3 PF 2 ,则此双曲线的离心率的取值范围为( A. (1, 2) B. ?1, 2? C. ? 0, 2? D. ? 2, ??? 第Ⅱ卷

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题卡的横线上) 13.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x ,且经过点 ( 2,1) ,则该双 a 2 b2

曲线的方程为________.
2 14.已知关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (??, ? ) , 则关于 x 的不等式 bx ? a ? 0 的解集

1 2

为________. 15.已知集合 A ? ( x, y ) | x ? y ? 4 , B ? ( x, y ) | y ? x ? 0 ,设集合 C ? A ? B ,则集合

?

?

?

?

C 所对应的平面区域的面积为________.
16.设 f ( x ) 是定义域 R 上的增函数, ?x, y ? R, f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1 ,且 f (3) ? 3 , 记 an ? f (n) (n ? N * ) ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分 10 分) 已知条件 p : ?m ???1,1? 使不等式 a ? 5a ? 5 ? m ? 2 成立; 条件 q : x2 ? ax ? 2 ? 0 有两个负
2

数根,若 p ? q 为真,且 p ? q 为假,求实数 a 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? a2 ln x (a ? R) . (1) 讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2) 求函数 f ( x ) 在 区间 ?1, a ? 上的最小值. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn ? 3an ?1 ,其中 n ? N .
*

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 设 anbn ? 对 n ? N 恒成立,求实数 c 的取值范围.
*

3n , 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 若 Tn ? c 2? c2 n2 ? n

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 G : x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 , 经过椭圆 过圆外一点 (m, 0) (m ? a) 倾斜角为 (1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,求 m 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上顶点 B , a 2 b2

3? 的直线 l 交椭圆于 C , D 两点. 4

a ln x ? b ( a , b 为常数,无理数 e ? 2.71828? 是自然对数的底数) ,曲线 ex 1 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? . e

(1)求 a , b 的值; (2)证明不等式 1 ? x ? x ln x ? 22.(本小题满分 12 分) 已知双曲线 C : x ?
2

ex (1 ? e?2 ) . x ?1

y2 ? 1 的左、右两个顶点分别为 A、B .曲线 M 是以 A、B 两点为短轴 2

端点,离心率为 一点 T .

2 的椭圆.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆 M 相交于另 2

(1)设点 P、T 的横坐标分别为 x1、x2 ,证明: x1 x2 ? 1 ;

A B (2) 设 ?T
的最大值.

与 ?POB(其中 O 为坐标原点) 的面积分别为 S1 与 S2 , 且P AP B ?

?? ? ? ?

求 S1 ?S2 ? 9,

参考答案 一、选择题: 1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.D 10.A 11.A 12.B 二、填空题: 13. x 2 ? y 2 ? 1 14. (? 2, 2) 15.16 16. S n ?

n(n ? 4) 3

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解:∵ p ? q 为真, p ? q 为假,∴ p, q 一真一假. 由题设知,对于条件 p , ∵ m ?? ?1,1? ,∴ m ? 2 ??1,3? , ∵不等式 a ? 5a ? 5 ? 1成立,
2

∴?

? ? ? a2 ? 8 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?a ? 0

,∴ a ? 2 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

若 p 真 q 假,则 a ? 1 ;若 p 假 q 真,则 2 2 ? a ? 4 , ∴ a 的取值范围是: a ? 1 或 2 2 ? a ? 4 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 18. 解: (1)定义域为 (0, ??) ,∵ f ?( x) ? 2 x ? a ? 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 2 ( x ? a)(2 x ? a) ? , x x

a a ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . 2 2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 2 x ? 0 恒成立,所以 f ( x ) 只有增区间 (0, ??) . 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?a ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? ? a , . . . . . . . . . . .6

分 综上:当 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 ( , ??) ;减区间为 (0, ) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 只有增区间 (0, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x ) 的增区间为 (?a, ??) ; 减区间为 (0, ?a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 (2)∵ f ?( x) ? ∵ a ? 1 ,∴ 当0 ?

a 2

a 2

( x ? a)(2 x ? a) a ,∴ f ?( x) ? 0 时,解得 x ? . x 2

a ? a ,由(1)可知 2

a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在区间 ?1, a? 上单调递增. 2

∴ f ( x)min ? f (1) ? a ? 1 ; ②当

a ? a? ?a ? ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) 在区间 ?1, ? 上单调递减,在区间 ? , a ? 上单调递增. 2 ? 2? ?2 ? a 2
2

∴ f ( x) min ? f ( ) ? a ( ? ln ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分

3 4

a 2

综上:∴ f ( x) min

? a ? 1, 0 ? a ? 2 ? ?? 2 3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 a a ( ? ln ) , a ? 2 ? ? 4 2
3 1 an ? (n ? N * ) , 2 2


19.解: (1)∵ S n ? 当 n ? 1, S1 ?

3 1 a1 ? ,∴ a1 ? 1 , 2 2 3 1 当 n ? 2 ,∵ S n ?1 ? an ?1 ? , 2 2
① 分



an ? -②:

3 3 an ? an ?1 , 即:an ? 3an?1 (n ? 2) 2 2

. . . . . . . . . . . . . . 4

又∵ a1 ? 1 ,∴ ∴ an ? 3
n?1

an ?1 ? 3 对 n ? N * 都成立,所以 ?an ? 是等比数列, an

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 (n ? N * ) .

(2)∵ anbn ? ∴ Tn ? 3(1 ? 分 ∵ 分

3 1 1 1 1 1 3n ), ,∴ bn ? 2 ,∴ Tn ? 3(1 ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?n 2 2 3 n n ?1 n ?n

1 3 ) ? 3? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 n ?1 n ?1

3 * ? 0, ∴ Tn ? 3 对 n ? N 都 成立. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 n ?1

∴ 3 ? c ? 2c ,∴ c ? 3 或 c ? ?1 ,
2

∴实数 c 的取值范围为 ? ??, ?1? ??3, ??? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

20.解: (1)∵圆 G : x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 经过点 F , B . ∴ F (1,0), B(0, 3) , ∴ c ? 1, b ? 3 ,∴ a ? 4 .
2

故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 4 3
(2)设直线 l 的方程为 y ? ?( x ? m) (m ? 2) .

? x2 y 2 ? ?1 ? 2 2 由? 4 消去 y 得 7 x ? 8mx ? (4m ?12) ? 0 , 3 ? y ? ?( x ? m) ?
设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则

8m 4m2 ? 12 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 7 7
∴ y1 y2 ? ??( x1 ? m)?? ??(x2 ? m)? ? x1x2 ? m(x1 ? x2 ) ? m .
2



??? ? ??? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FC ? ( x1 ?1, y1 ), FD ? ( x2 ?1, y2 ) .
. . . .8 分 ∴

??? ? ??? ? FC?FD ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1? y1 y2 ? 2x1x2 ? (m ?1)(x1 ? x2 ) ?1? m2

?

7m2 ? 8m ? 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 7

∵点 F 在圆 G 的内部,∴ FC ?FD ? 0 ,即

??? ? ??? ?

7m2 ? 8m ? 17 ?0, 7

解得

4 ? 3 15 4 ? 3 15 , ?m? 7 7

由 ? ? 64m2 ? 28(4m2 ?12) ? 0 ,解得 ? 7 ? m ? 7 . 又 m ? 2 ,∴ 2 ? m ?

4 ? 3 15 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 7
a ln x ? b a ? bx ? ax ln x ( x ? 0) . 得 f ?( x) ? x e xe x

21.解: (1)由 f ( x) ? 由已知得 f ?(1) ? 又 f (1) ?

a ?b ? 0 ,解得 a ? b . e

b 1 ? ,即 b ? 1 c e

∴ a ? b ? 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 (2)证明:令 p( x) ? 1 ? x ? x ln x, x ? (0, ??) , ∴ p?( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e ) , x ? (0, ??) .
?2 ?2 易得当 x ? (0, e ) 时, p?( x) ? 0 ,即 p ( x) 单调递增; ?2 当 x ? (e , ??) 时, p?( x) ? 0 ,即 p ( x) 单调递减. ?2 ?2 所以 p ( x) 的最大值为 p(e ) ? 1 ? e ,

故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e . ①. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

?2

设 q( x) ? e x ? (1 ? x) ,则 q?( x) ? e x ?1 ? 0 ( x ? 0) , 因此,当 x ? (0, ??) 时, q( x) 单调递增, q( x) ? q(0) ? 0 . 故当 x ? (0, ??) 时, q( x) ? e x ? (1 ? x) ? 0 ,即

ex ? 1. x ?1
由①②得

②. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 ?

ex (1 ? e ?2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 x ?1

22.解: (1)依题意可得 A(?1,0), B(1,0) . 设椭圆 M 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 (b ? 1) , b2

因为椭圆 M 的离心率为

2 b2 ? 1 2 2 ,所以 ,即 b ? 2 , ? 2 b 2
y2 ? 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 2

所以椭圆 M 的方程为 x ?
2

证法 1:设点 P( x1 , y1 )、T ( x2 , y2 ) ( x1 ? 0, y1 ? 0, i ? 1, 2) ,直线 AP 的斜率为 k (k ? 0) , 则直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,联立方程组

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 ,整理得 (2 ? k ) x ? 2k x ? k ? 2 ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 ? 2 y2 x ? ? 1 ? ? 2
解得 x ? ?1 或 x ?

2 ? k2 2 ? k2 x ? .所以 , 2 2 ? k2 2 ? k2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

2 ? k2 1 同理可得, x1 ? ?所以 x2 ? . 2 2?k x1

证法 2:设点 P( x1 , y1 )、T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0, yi ? 0, i ? 1, 2) , 则 k AP ?

y1 y , k AT ? 2 ,因为 kAP ? kAT , x1 ? 1 x2 ? 1

所以

2 y1 y y12 y2 . ? 2 ,即 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

因为点 P 和点 T 分别在双曲线和椭圆上,所以 x1 ?
2

y12 y2 2 ? 1, x2 ? 2 ? 1, 2 2

2 2( x12 ? 1) 2(1 ? x2 ) 即 y ? 2( x ?1), y ? 2(1 ? x ) .所以 , ? 2 2 ( x1 ? 1) ( x2 ? 1)

2 1

2 1

2 2

2 2



x1 ? 1 1 ? x2 1 ,所以 x2 ? . ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

(2)解:设点 P( x1 , y1 )、T ( x2 , y2 ) ( xi ? 0, yi ? 0, i ? 1, 2) , 则 PA ? (?1 ? x1, y1 ), PB(1 ? x1, ? y1 ) ,
2 因为 PA?PB ? 9 ,所以 (?1, ? x1 )(1 ? xi ) ? y1 ? 9 ,即 x12 ? y12 ? 10 .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

y12 ? 1, 因为点 P 在双曲线上,则 x ? 2
2 1

2 所以 x1 ? 2x12 ? 2 ? 10 ,即 x12 ? 4 ,

因为点 P 是双曲线在第一象限内的一点 所以 1 ? x1 ? 2 . 因为 S1 ?
2 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

1 1 1 AB y2 ? y2 , S 2 ? OB y1 ? y1 , 2 2 2
2 2 2 2

2 )( x12 ? 1) 1 2 (2 ? 2 x2 2 ? (1 ? x2 )( x12 ? 1) , 所以 S ?S ? y ? y1 ? 4 2

由(1)知, x2 ?

1 1 2 2 2 ,设 t ? x1 ,则 1 ? t ? 4 , S1 ?S 2 ? t ? ? 2 , t x1

因为 f (t ) ? t ? 在区间 ?1, 4? 上单调递增, f (t )max ? f (4) , 所以 S1 ?S 2 ? t ? ? 2 ?
2 2

1 t

1 t

9 , 4 3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 2

即当 x1 ? 2 时, ( S1 ?S 2 ) max ?


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