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18-19 第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算


3.1 3.1.1 3.1.2

空间向量及其运算 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算

学习目标:1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重 点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用.(重点、难点) [ 自 主 预 习· 探 新 知] 1.空间向量 (1)定义:在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)长度或模:向量的大小. (3)表示方法: ①几何表示法:空间向量用有向线段表示; ②字母表示法:用字母 a,b,c,…表示;若向量 a 的起点是 A,终点是 B, → → 也可记作:AB,其模记为|a|或|AB|. 2.几类常见的空间向量 名称 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 3.向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 → → → OB=OA+OC=a+b 方向 任意 任意 相反 相同 模 0 1 a 的相反向量:-a 相等 相等 → → AB的相反向量:BA a=b 记法 0

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减法

→ → → CA=OA-OC=a-b

加法运算律

(1)交换律:a+b=b+a (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

4.空间向量的数乘运算 (1)定义:实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量,称为向量的数乘 运算.当 λ>0 时,λa 与向量 a 方向相同;当 λ<0 时,λa 与向量 a 方向相反;当 λ =0 时,λa=0;λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍. (2)运算律:①λ(a+b)=λa+λb;②λ(μa)=(λμ)a. 5.共线向量和共面向量 (1)共线向量 ①定义:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量或平行向量. ②共线向量定理:对于空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是 存在实数 λ 使 a=λb. → → → ③点 P 在直线 AB 上的充要条件:存在实数 t,使OP=OA+tAB. (2)共面向量 ①定义:平行于同一个平面的向量叫做共面向量. ②共面向量定理:若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面的充 要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=x a+y b. → ③空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件:存在有序实数对(x,y), 使AP= → → → → → → xAB+yAC或对空间任意一点 O,有OP=OA+xAB+yAC. 思考:(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗? → 1→ 1→ 1→ (2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A, B, C, 满足OP=3OA+3OB+3OC, 则点 P 与点 A,B,C 是否共面? [提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一个平
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面的两个向量,因此一定是共面向量. 1 → → → 1→ 1→ 1→ → → 1 → → (2)由OP=3OA+3OB+3OC得OP-OA=3(OB-OA)+3(OC-OA) → 1→ 1→ 即AP=3AB+3AC,因此点 P 与点 A,B,C 共面. [基础自测] 1.思考辨析 (1)共线向量一定是共面向量,但共面向量不一定是共线向量.( )

(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线,则这两个向量不是共 面向量.( ) ) )

→ → → (3)如果OP=OA+tAB,则 P,A,B 共线.( (4)空间中任意三个向量一定是共面向量.( [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×

→ → → → 2.已知空间四边形 ABCD 中,AB=a,CB=b,AD=c,则CD=( A.a+b-c C.-a+b+c B.-a-b+c D.-a+b-c

)

→ → → → → → → C [CD=CB+BA+AD=CB-AB+AD=-a+b+C.] → 1→ 3.在三棱锥 ABCD 中,若△BCD 是正三角形,E 为其中心,则AB+2BC- 3→ → 2DE-AD化简的结果为________.

0

→ 1→ → 3→ → → → → [延长 DE 交边 BC 于点 F, 则有AB+2BC=AF, 2DE+AD=AD+DF=AF,

→ 1→ 3→ → 故AB+2BC-2DE-AD=0.] [合 作 探 究· 攻 重 难]

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空间向量的有关概念 (1)给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b ②若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|=|b| → → ③在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AC=A1C1 ④若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p,则 m=p. 其中正确命题的序号是________. (2)如图 311 所示,在平行六面体 ABCDA′B′C′D′中,顶点连接的向量中, → → 与向量AA′相等的向量有________;与向量A′B′相反的向量有________.(要求写 出所有适合条件的向量)

图 311 [解析] (1)对于①,向量 a 与 b 的方向不一定相同或相反,故①错;

对于②,根据相反向量的定义知|a|=|b|,故②正确; → → 对于③,根据相等向量的定义知,AC=A1C1,故③正确; 对于④,根据相等向量的定义知正确. [答案] ②③④

→ → → → (2)根据相等向量的定义知,与向量AA′相等的向量有BB′,CC′,DD′.与向量 → → → → → A′B′相反的向量有B′A′,BA,CD,C′D′. → → → → → → → [答案] BB′,CC′,DD′ B′A′,BA,CD,C′D′ [规律方法] 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点

(1)关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即大小和方向.
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(2)注意点:注意一些特殊向量的特性. ①零向量不是没有方向,而是它的方向是任意的,且与任何向量都共线,这 一点说明了共线向量不具备传递性。 ②单位向量方向虽然不一定相同,但它们的长度都是 1. ③两个向量模相等,不一定是相等向量;反之,若两个向量相等,则它们不 仅模相等,方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. [跟踪训练] 1.如图 312 所示,以长方体 ABCDA1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和 终点的向量中,

图 312 → (1)试写出与AB相等的所有向量; → (2)试写出AA1的相反向量; → (3)若 AB=AD=2,AA1=1,求向量AC1的模. 【导学号:46342130】 [解] → → → → (1)与向量AB相等的向量有A1B1,DC, ,D1C1,共 3 个;

→ → → → → (2)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C1C,D1D,共 4 个; → → (3)|AC1|2=22+22+12=9,所以|AC1|=3.

空间向量的线性运算

(1)如图 313 所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,下列各式中运算 → 结果为向量AC1的有( )
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图 313 → → → → → → ①(AB+BC)+CC1;②(AA1+A1D1)+D1C1; → → → → → → ③(AB+BB1)+B1C1;④(AA1+A1B1)+B1C1. A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个

→ → (2)如图 314 所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,设AA1=a,AB=b, → AD=c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向 量:

图 314 → ①AP; [思路探究] → ②A1N; → → ③MP+NC1.

(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解.

(2)根据数乘向量及三角形法则,平行四边形法则求解. [解析] → → → → → → (1)对于①,(AB+BC)+CC1=AC+CC1=AC1,

→ → → → → → 对于②,(AA1+A1D1)+D1C1=AD1+D1C1=AC1, → → → → → → 对于③,(AB+BB1)+B1C1=AB1+B1C1=AC1, → → → → → → 对于④,(AA1+A1B1)+B1C1=AB1+B1C1=AC1. [答案] D

1 → → → → → → 1→ (2)①AP=AA1+A1D1+D1P=AA1+AD+2AB=a+c+2b,
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1 → → → → → → 1→ ②A1N=A1A+AB+BN=-AA1+AB+2AD=-a+b+2c, → → → → → → → ③MP+NC1=MA1+A1D1+D1P+NC+CC1 1 1 1 3 1 3 =2a+c+2b+2c+a=2a+2b+2c. [规律方法] 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量:向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键,灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时, 务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结 果. 2.利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、 平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质. [跟踪训练] 2.如图 315,已知空间四边形 OABC,M,N 分别是边 OA,BC 的中点,点 → → → G 在 MN 上,且 MG=2GN,设OA=a,OB=b,OC=c,试用 a,b,c 表示向量 → OG.

图 315 → → → [解] OG=OM+MG

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1→ 2 → =2OA+3MN 1→ 2 → → → =2OA+3(MA+AB+BN) 1 → 2?1 → → → 1 → ? =2OA+3?2OA+OB-OA+2BC? ? ? 1 → 2? → 1 → 1 → → ? =2OA+3?OB-2OA+2?OC-OB?? ? ? 1→ 1→ 1→ 1 1 1 = OA+ OB+ OC= a+ b+ C. 6 3 3 6 3 3

共线问题 → → (1)设 e1,e2 是空间两个不共线的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1 → +4e2,DC=-e1-2e2,且 A,B,D 三点共线,实数 k=________. 2→ (2)如图 316 正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 为 A1C 上一点,且 A1O=3A1C, BD 与 AC 交于点 M.求证:C1,O,M 三点共线.

图 316 [思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解.

→ → → → → (2)用向量AB,AD,AA1分别表示MO和MC1. [ 解析 ] +6)e2 → → 设AD=λAB,则 7e1+(k+6)e2=λ(e1+ke2) → → → → (1) AD = AB+ BC + CD = (e1 +ke2)+ (5e1 +4e2)+ (e1 +2e2)= 7e1 + (k

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? ?λ=7 所以? ,解得 k=1 ? λk = k + 6 ? [答案] 1

→ → → (2)设AB=a,AD=b,AA1=c, 1 → → → → → 1→ 1 → 1 → → 则MO=MC+CO=2AC+3CA1=2(AB+AD)+3(CA+AA1) 1→ 1 → 1 → → → = AB+ AD+ (CB+CD+AA1) 2 2 3 1→ 1 → 1 → 1→ 1 → 1→ 1 → 1 → =2AB+2AD-3AD-3AB+3AA1=6AB+6AD+3AA1 1 1 1 =6a+6b+3c, → → → 1→ → 1 → → → MC1=MC+CC1=2AC+AA1=2(AB+AD)+AA1, 1 1 =2a+2b+c, → → ∴MC1=3MO,又直线 MC1 与直线 MO 有公共点 M, ∴C1,O,M 三点共线. [规律方法] 1.判断向量共线的策略

(1)熟记共线向量的充要条件:①若 a∥b,b≠0,则存在惟一实数 λ 使 a=λb; ②若存在惟一实数 λ,使 a=λb,b≠0,则 a∥b. (2)判断向量共线的关键:找到实数 λ. 2.证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点 P,A,B 可通过证明下列结论来证明三点共线. → → (1)存在实数 λ,使PA=λPB成立. → → → (2)对空间任一点 O,有OP=OA+tAB(t∈R).

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→ → → (3)对空间任一点 O,有OP=xOA+yOB(x+y=1). [跟踪训练] → → → 3.(1)已知向量 a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一 定共线的三点是( ) 【导学号:46342131】 A.A,B,D C.B,C,D B.A,B,C D.A,C,D

→ → → → A [AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b → → 所以AD=3AB. 又直线 AB,AD 有公共点 A,故 A、B、D 三点共线.] → → (2)如图 317,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 在 A1D1 上,且A1E=2ED1, → 2→ F 在对角线 A1C 上,且A1F=3FC.

图 317 求证:E,F,B 三点共线. [证明] → → → 设AB=a,AD=b,AA1=c,

→ → → 2→ 因为A1E=2ED1,A1F=3FC, → 2 → → 2→ 所以A1E=3A1D1,A1F=5A1C, → 2→ 2 所以A1E=3AD=3b, 2 → → → 2 2 2 → 2 → → → → → 2 A1F=5(AC-AA1)=5(AB+AD-AA1)=5a+5b-5c, 所以EF=A1F-A1E=5a

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2 4 2 2? ? -15b-5c=5?a-3b-c?. ? ? 2 2 → → → → → 2→ 又EB=EA1+A1A+AB=-3b-c+a=a-3b-c, 所以EF=5EB, 所以 E, F, B 三点共线.

向量共面问题 [探究问题] 1.能说明 P,A,B,C 四点共面的结论有哪些? → → → 提示:(1)存在有序实数对(x,y),使得AP=xAB+yAC. → (2)空间一点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x,y,z)使得OP → → → =xOA+yOB+zOC(其中 x+y+z=1). → → (3)PA∥BC. 2.已知向量 a,b,c 不共面,且 p=3a+2b+c,m=a-b+c,n=a+b-c, 试判断 p,m,n 是否共面. 提示: 设 p=xm+yn, 即 3a+2b+c=x(a-b+c)+y(a+b-c)=(x+y)a+(- x+y)b+(x-y)C. x+y=3, ? ? 因为 a,b,c 不共面,所以?-x+y=2, ? ?x-y=1, 而此方程组无解,所以 p 不能用 m,n 表示, 即 p,m,n 不共面. 如图 318 所示, 已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直, 1 1 点 M,N 分别在对角线 BD,AE 上,且 BM=3BD,AN=3AE.
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图 318 → → → 求证:向量MN,CD,DE共面. [思路探究] [证明] → → → 可通过证明MN=xCD+yDE求证.

1 → 1 → 1 → 1→ → 因为 M 在 BD 上, 且 BM= BD, 所以MB= DB= DA+ AB.同理AN 3 3 3 3

1→ 1→ =3AD+3DE. → → → → 所以MN=MB+BA+AN ?1 → 1 → ? → ?1 → 1 → ? =?3DA+3AB?+BA+?3AD+3DE? ? ? ? ? 2→ 1 → 2 → 1 → =3BA+3DE=3CD+3DE. → → → → → 又CD与DE不共线,根据向量共面的充要条件可知MN,CD,DE共面. [规律方法] 1.利用四点共面求参数

向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一 定可以表示其他向量,对于向量共面的充要条件,不仅会正用,也要能够逆用它 求参数的值. 2.证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合, 即若 p=xa+yb,则向量 p,a,b 共面. → → → (2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点 O,有OP=xOA+yOB+ → zOC,且 x+y+z=1 成立,则 P,A,B,C 四点共面.

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(3)用平面:寻找一个平面,设法证明这些向量与该平面平行. [跟踪训练] 4.已知 A,B,C 三点不共线,点 O 是平面 ABC 外的任意一点,若点 P 分 别满足下列关系: → → → → (1)OA+2OB=6OP-3OC; → → → → (2)OP+OC=4OA-OB. 试判断点 P 是否与点 A,B,C 共面. [解] → 2OP), → → → → → → ∴3CP=PA+2PB,即PA=-2PB-3PC. 根据共面向量定理的推论知:P 与点 A,B,C 共面. → → → → (2)设OP=OA+xAB+yAC(x,y∈R),则 → → → → → → OA+xAB+yAC+OC=4OA-OB, → → → → → → → → ∴OA+x(OB-OA)+y(OC-OA)+OC=4OA-OB, → → → ∴(1-x-y-4)OA+(1+x)OB+(1+y)OC=0, → → → 由题意知OA,OB,OC均为非零向量,所以 x,y 满足: 1-x-y-4=0, ? ? ?1+x=0, ? ?1+y=0, 法二 法一 → → → → → → → → (1)∵3 OP - 3 OC = OA + 2 OB - 3 OP = ( OA - OP ) + (2 OB -

显然此方程组无解,故点 P 与点 A,B,C 不共面.

→ 1→ 1→ 1→ (1)由题意,OP=6OA+3OB+2OC,

1 1 1 ∵6+3+2=1,∴点 P 与点 A,B,C 共面. → → → → (2)∵OP=4OA-OB-OC,而 4-1-1=2≠1,
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∴点 P 与点 A,B,C 不共面. [ 当 堂 达 标· 固 双 基] → → → 1.空间四边形 ABCD 中,M,G 分别是 BC,CD 的中点,则MG-AB+AD =( ) → A.2DB → C.3GM B → B.3MG → D.2MG

→ → → → → → → → [MG-AB+AD=MG+BD=MG+2MG=3MG.] ) 【导学号:46342132】

2.在下列条件中,使 M 与 A,B,C 一定共面的是(

→ → → → A.OM=2OA-OB-OC → 1→ 1→ 1→ B.OM=5OA+3OB+2OC → → → C.MA+MB+MC=0 → → → → D.OM+OA+OB+OC=0 → → → C [由 MA+MB+MC=0 得MA=-MB-MC,故 M,A,B,C 四点共面.] 3.如图 319,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E 是上底面 A1C1 的中点, → → → → 若AE=xAB+yAD+zAA1,x+y+z=________.

图 319 2 1→ → → → → 1 → → 1→ → 1 → → [∵AE=AA1+A1E=AA1+2A1C1=AA1+2AC=AA1+2(AB+AD)=2AB+

1→ → 2AD+AA1, 1 1 ∴x=2,y=2,z=1,
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∴x+y+z=2.] 4.已知 O 是空间任意一点,A,B,C,D 四点满足任意三点不共线,但四 → → → → 点共面,且OA=2xBO+3yCO+4zDO,则 2x+3y+4z=________. -1 → → → → → → → → [由OA=2xBO+3yCO+4zDO得OA=-2xOB-3yOC-4zOD

所以-2x-3y-4z=1,即 2x+3y+4z=-1.] 5.如图 3110,在空间四边形 ABCD 中,G 为△BCD 的重心,E,F 分别为 → 1→ 1→ 边 CD 和 AD 的中点,试化简AG+3BE-2AC,并在图中标出化简结果的向量. 【导学号:46342133】

图 3110 [解] ∵G 是△BCD 的重心,BE 是 CD 边上的中线,

→ 1→ ∴GE=3BE.

1→ 1 → → 又2AC=2(DC-DA) 1→ 1→ → → → =2DC-2DA=DE-DF=FE, → 1→ 1→ ∴AG+3BE-2AC → → → → =AG+GE-FE=AF(如图所示).

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