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知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)

空间点线面的位置关系 【考纲要求】 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据的公理和定理; (3)能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】 平面 三个公理、三个推论 平行直 线 异面直 线 相交直 线 直线在平面内 公理 4 及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 空 间 点 线 面 位 置 关 系 空间两条直 线 空间直 线 与平面 空间两 个平面 概念 垂 直 斜 交 三垂线定理 直线与平面所成的角 直线与平面平行 直线与平面相交 两个平面平行 两个平面相交 【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 (1)公理 1:可用来证明点在平面内或直线在平面内; (2)公理 2:可用来确定一个平面,为平面化作准备或用来证明点线共面; (3)公理 3:可用来确定两个平面的交线,或证明三点共线,三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理 2 的推论: (1)经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; (2)经过两条相交直线,有且只有一个平面; (3)经过两条平行直线,有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 (1)点共线问题 证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上。 (2)线共点问题 证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点,把问题 转化为证明点在直线上。 要点诠释:证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内; ②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α ,再证明其余元素确定平面β ,最后证 明平面α 、β 重合。 考点二、直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ? ?相交直线 ?共面直线 ? ? ?平行直线 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a ∥a,b ∥b,把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ②范围: ? 0, ? 2 ’ ’ ’ ’ ? ? ?? ? 要点诠释:证明两直线为异面直线的方法: 1、定义法(不易操作) 2、反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发, 经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经 常用到。 3、客观题中,也可用下述结论: 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图: 考点三、直线和平面、两个平面的位置关系 1、直线和平面的位置关系 位置 直线 a 在平面α 内 关系 公共 有无数个公共点 点 符号 表示 有且只有一个公共点 没有公共点 直线 a 与平面α 相交 直线 a 与平面α 平行 a ?? a ??A a // ? 图形 表示 2、两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平 行 ? // ? 0 有无数个公共 斜交 两平面相 交 垂直 ? ? ?a 点在一条直线 上 ? ?? 有无数个公共 点在一条直线 ? ? ?a 上 考点四、平行公理、等角定理 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 (但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可 能平行,可能相交,也可能异面) 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 要点诠释: (1)以空间几何体为载体,考查逻辑推理能力; (2)通过判断位置关系,考查空间想象能力; (3)应用公理、定理证明点共线、线共面等问题; (4)多以选择、填空的形式考查,有时也出现在解答题中。 【典型例题】 类型一、异面直线的判定 例 1 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 、 N 分别是 A1B1 、 B1C1 的中点。问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由。 【解析】 (1)不是异面直线。理由:连接 MN、A1C1、AC。∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中 点,∴MN// A1C1,又∵A1A CC1,∴A1ACC1 为平行四边形。∴A1C1//AC,得到 MN//AC,∴A、 M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线。 (2)是异面直线。证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴B、C、C1、D1 不共面。假设 D1B 与 CC1 不是异面直线,则存 在平面α ,使 D1B ? 平面α ,CC1 ? 平面α ,∴D1、B、C、C1∈α ,∴与 ABCD-A1B1C1D1 是正方 体矛盾。∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线。 【点评】 (1)易证 MN//AC,∴AM 与 CN 不异面。 (2)由图易判断 D1B 和 CC1 是异面直线, 证明时常用反证法。 举一反三: 【 变 式 】 已 知 E , F 分 别 是 正 方 体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 棱 AA 1 和 棱 CC1 上 的 点 , 且 AE ? C1F ,求证:四边形 EBFD1 是平行四边形 【证明】由 AE ? C1F 可以证得 ?ABE ≌ ?C1D1F 所以 BE ? D1F 又可以由正方体的性质证明 BE // D1F 所以四边形 EBFD1 是平行四边形 类型二、平面的基本性质及平行公理的应用 例 2 如图, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90 , BC // 0 1 1 AD, BE // FA, 2 2 G、H 分别为 FA、FD 的中点。 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 【解析】

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