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2012-2013年高二数学第一次月考试题

高二年级第二次月考数学试卷
一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1.下列语句中是命题的是( B ) A.周期函数的和是周期函数吗? C. x ? 2 x ? 1 ? 0
2

B. sin 4 5 ? 1
0

D.梯形是不是平面图形呢?

2.设原命题:若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 ,则原命题与其逆命题的真假情况是 ( A ) A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题
2 2

B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题
1 a ? 1 b

3.有下述说法:① a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件. ② a ? b ? 0 是 ③ a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件.则其中正确的说法有( A )
3 3

的充要条件.

A. 0 个

B. 1 个
m n 1 n

C. 2 个

D. 3 个

4.一次函数 y ? ? A. m ? 1, 且 n ? 1

x?

的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是( C. m ? 0, 且 n ? 0 D. m ? 0, 且 n ? 0

B )

B. m n ? 0

5.方程 | x | ? | y | ?| xy | ? 1 表示的曲线是(D) A.一条直线 B.一个正方形 C.一个圆 D.四条直线

6.已知点 O (0, 0), A (1, ? 2) ,动点 P 满足 | P A |? 3 | P O | ,则点 P 的轨迹方程是(C) A. 8 x ? 8 y ? 2 x ? 4 y ? 5 ? 0
2 2

B. 8 x ? 8 y ? 2 x ? 4 y ? 5 ? 0
2 2

C. 8 x ? 8 y ? 2 x ? 4 y ? 5 ? 0
2 2

D. 8 x ? 8 y ? 2 x ? 4 y ? 5 ? 0
2 2

7.椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的焦点坐标为(A)

16

25

(A)(0, ±3)

(B)(±3, 0)

(C)(0, ±5)

(D)(±4, 0)

8.已知 F1, F2 是定点,| F1 F2|=8, 动点 M 满足|M F1|+|M F2|=8,则点 M 的轨迹是(D) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 9.过点(3, -2)且与椭圆 4x2+9y2=36 有相同焦点的椭圆的方程是(C) (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

10

15

5

10

15

10

25

10

10.已知 P 为椭圆 (A)
4 5

x

2

?
5 4

y

2

9

16

? 1 上一点,P 到一条准线的距离为 P 到相应焦点的距离之比为(C)
4 7 1 4

(B)

(C)

7

(D)

7

11.椭圆

x

2

4

? y ? 4 上一点 P 到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是(B)
2

(A) 3

(B)

3 2

(C)

1 2

(D)随 P 点位置不同而有变化

12.如图,已知椭圆中心在原点,F 是焦点,A 为顶点,准线 l 交 x 轴于点 B,点 P, Q 在椭圆 上,且 PD⊥l 于 D,QF⊥AO, 则椭圆的离心率是①
| PF | | PD |

;②

| QF | | BF |


D

l P Q A F

y

x O



| AO | | BO |

;④

| AF | | AB |

;⑤

| FO | | AO |

,其中正确的个数是 (D)

B

(A)1 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 二、填空题(共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13.已知方程 x ? y ? 2 x ? 4 ? 0 的曲线经过点 P ( m ,1) ,那么 m 的值为
2 2

? 3或 1



14 、 已 知 A(4, 2.4) 为 椭 圆 . _____13/5_________.
x
2

x

2

?

y

2

25

16

? 1 上一点,则点 A 到该椭圆的左焦点的距离是

?

y

2

?1

15、P 为椭圆 1 0 0

64

上的一点,F1 和 F2 是其焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2 的面

积为 _________ . 16、有下列四个命题: ①、命题“若 xy ? 1 ,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③、命题“若 m ? 1 ,则 x ? 2 x ? m ? 0 有实根”的逆否命题;
2

④、命题“若 A ? B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题。 其中是真命题的是 ①,②,③ (填上你认为正确的命题的序号) 。 三、解答题(共六题,共 70 分) 17、 (12 分)已知 p : 1 ?
x ?1 3 ? 2 ;q : x ? 2x ? 1 ? m
2 2

? 0 ( m ? 0 ) 若 ? p 是 ? q 的必要非充分

条件,求实数 m 的取值范围。

?p : 1?

x ?1 3
2

? 2, x ? ? 2, 或 x ? 1 0, A ? ? x | x ? ? 2, 或 x ? 1 0 ?

? q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0, x ? 1 ? m , 或 x ? 1 ? m , B ? ? x | x ? 1 ? m , 或 x ? 1 ? m ?
2

? ? p 是 ? q 的必要非充分条件,? B

?1 ? m ? ? 2 ? m ? 9,? m ? 9 。 A ,即 ? ?1 ? m ? 1 0

18、 (12 分)椭圆的焦点在 y 轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 1∶4, 短轴长为 8, 求椭圆的标准方程
1 ?a ?c ? x2 y2 ? 由 ? a ? c 4 解得 a=5,又椭圆焦点在 y 轴上,∴椭圆方程为16 + 25 = 1 . ? b ? 4 ?

19、 (12 分)求过点 P(3, 0)且与圆 x2+6x+y2-91=0 相内切的动圆圆心的轨迹方程。

20、 (12 分)设椭圆 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于

A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60o, A F ? 2 F B . (I) 求椭圆 C 的离心率;
15 4

????

??? ?

(II)

如果|AB|=

,求椭圆 C 的方程.

解: 设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由题意知 y 1 <0, y 2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为
y ? 3 ( x? c ) ,其中 c ?

a ?b .
2 2

? y ? 3 ( x ? c ), ? 2 2 2 2 4 2 联立 ? x 2 得 (3 a ? b ) y ? 2 3 b cy ? 3 b ? 0 y ? 2 ? 2 ?1 b ?a

解得 y1 ?
????

? 3b ( c ? 2 a )
2

3a ? b
2

2

, y2 ?

? 3b ( c ? 2 a )
2

3a ? b
2

2

因为 A F ? 2 F B ,所以 ? y1 ? 2 y 2 .
3b ( c ? 2 a )
2

??? ?



3a ? b
2

2

? 2?

? 3b ( c ? 2 a )
2

3a ? b
2

2

得离心率 e ?

c a

?

2 3

.
1 3

……6 分
2 3 4 3ab 3a ? b
2 2 2

(Ⅱ)因为 A B ?

1?

y 2 ? y 1 ,所以

?

?

15 4

.



c a

?

2 3

得b ?

5 3

a .所以

5 4

a ?

15 4

,得 a=3, b ?

5.

椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

9

5

? 1.

21、 (12 分)已知关于 x 的方程 (1?a)x2+(a+2)x?4=0 a?R 求: 1) 方程有两个正根的充要条件; 2) 方程至少有一个正根的充要条件。 解:1) 方程(1?a)x2+(a+2)x?4=0 有两个实根的充要条件是: ?
?a ? 1 ? ( a ? 2 ) ? 1 6 (1 ? a)? 0
2

?1 ? a ? 0 ?? ? 0

即: ?

??

?a ? 1 ? a ? 2, o ra ? 1 0

即: a≥10 或 a≤2 且 a?1 设此时方程两根为 x1,x2

∴有两正根的充要条件是:

?a ? 1 ? ?a ? 1 a ? 2, o ra ? 1 0 ? ? ? ? a ? 2, o ra ? 1 0 ? ?a ? 2 ? 0 ? 1<a≤2 或 a≥10 即为所求。 ? ? a ?1 ? x1 ? x 2 ? 0 ? 4 ?x x ? 0 ? 1 2 ?0 ? ?a ?1

2) 从 1)知 1<a≤2 或 a≥10 方程有两个正根 当 a=1 时, 方程化为 3x?4=0 有一个正根 x= 方程有一正、一负根的充要条件是:
4 3

? ?a ? 1 1? a ? 0 ? ? ? ? ? a ? 2, o ra ? 1 0 ? a<1 ?? ? 0 ? 4 ?x x ? 0 ? 1 2 ? ?0 ?a ?1

综上:方程(1?a)x2+(a+2)x?4=0 至少有一正根的充要条件是 a≤2 或 a≥10。 x y 22、 (12 分)设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点. a b 3 (1)若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐 2 标; (2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 kPM、kPN 时. 求证:kPM?kPN 是与点 P 位置无关的定值. 解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、 2 两点的距离之和是 4, 2a=4, F 得 即 a=2.
2 2

? 3? 又点 A?1, ?在椭圆上, ? 2? ?3?2 ? ? 1 ?2?
2 2

因此 2+ 2 =1 得 b =3, 2 b 于是 c =1. x y 所以椭圆 C 的方程为 + =1, 4 3 焦点 F1(-1,0),F2(1,0). (2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1),线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足: -1+x1 y1 x= ,y= , 2 2 (2x+1) (2y) 即 x1=2x+1,y1=2y.因此 + =1. 4 3
2 ? 1?2 4y 即?x+ ? + =1 为所求的轨迹方程. ? 2? 3 2 2 2 2

x y (3)设点 M(m,n)是椭圆 2+ 2=1① a b m n 上的任一点,N(-m,-n)是 M 关于原点的中心对称点,则 2+ 2=1② a b
2 2

2

2

又设 P(x,y)是椭圆上任一点,且 kPM?kPN 存在. y-n y+n 则 kPM= ,kPN= , x-m x+m y-n y+n y -n ∴kPM?kPN= ? = 2 2. x-m x+m x -m x -m y -n y -n b ①-②得 2 + 2 =0, 2 2=- 2, a b x -m a b ∴kPM?kPN=- 2. a 故 kPM?kPN 与 P 的取值无关.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2