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山东省青岛市2014届高三第二次模拟考试数学(文科)试题及参考答案


数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考 试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答 案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题
一项是符合题目要求的.

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

1. 若集合 A ? { y | 0 ? y ? 2}, B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则 A A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x |1 ? x ? 2}

(?R B) ?
D. {x | 0 ? x ? 1}

C. {x | ?1 ? x ? 0}

2. 已知复数 z ? (1 ? i)(1 ? 2i) ,其中 i 为虚数单位,则 z 的实部为 A. ? 3 B. 1 C. ?1 D. 3

3. 数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a1 ? 1 ,则 a10 ? A. 5 B. ?1 C. 0 D. 1
2

0 ? ? ? ? )的图象如 4. 函数 f ( x)=A sin(? x+? ) ( A ? 0,? ? 0,
图所示,则 f (0) 的值为

y

O

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3
?2

? 6

11? 12

x

第 4 题图

5. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,直线 l : x ? ky ? 1 ? 0 与圆 C : x ? y ? 4 相交于
2 2

A, B 两点, OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k ?
A. ?2 B. ?1 C. 0
第 1 页 共 1 页

D. 1

6. 如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为 2 ,则输出 y 的值是 A. 0 B. ?1 C. ?2 D. ?3

开始

输入 x

y ? 1 x ?1 2
| y ? x |? 1
是 输出 否

x ? 2y

y

结束

7. 某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生 2000 名,抽取了一个容量为 200 的样本,已知样本中女生比男生少 6 人,则该校共有女生 A. 1030 人 B. 97 人 C. 950 人 D. 970 人 8. 已知点 P (a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧, 且 a ? 0, b ? 0 , 则 w ? a ? 2b 的取值范围是 A. [ ?

2 1 , ] 3 2

B. ( ? , 0)

2 3

C. (0, )

1 2

D. ( ?

2 1 , ) 3 2

9. 已知三棱锥 D ? ABC 中, AB ? BC ? 1 , AD ? 2 , BD ? 5 , AC ? 2 , BC ? AD , 则关于该三棱锥的下列叙述正确的为 A.表面积 S ?

1 ( 5 ? 2 2 ? 3) 2

B. 表面积为 S ? D. 体积为 V ?

1 ( 5 ? 2 2 ? 2) 2

C.体积为 V ? 1

2 3

10. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1),且当 x ? [0,1]时,

f ( x) ? x2 ,则关于 x 的方程 f ( x ) ?
A. 2 B. 4

1 | x | 在 [?1, 2] 上根的个数是 2
C. 6 D. 8

第 2 页 共 2 页

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 抛物线 x2 ? 4 y 的焦点坐标为 ;

12. 已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系,现

x
观测得到 ( x, y ) 的四组观测值并制作了右边的对照

18
24

13 34

10 38

?1

y

64

表, 由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 y ? bx ? 60 , 其中 b 的值没有写上. 当x等 于 ?5 时,预测 y 的值为 ;

13. 已知 | a |? 2, | b |? 4 , a 和 b 的夹角为 面积为 ;

? ,以 a, b 为邻边作平行四边形,则该四边形的 3

y
5 3

(4 , 5)

l
y ? f ( x)

14. 如图, y ? f ( x) 是可导函数,直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在

f ( x) x ? 4 处的切线, 令 g ( x) ? , 则 g ?(4) ? x


O

4

x

15. 对于下列命题:①函数 f ( x) ? ax ? 1 ? 2a 在区间 (0,1) 内有

1 2 ? a ? ;②已知 E , F , G, H 是空间四点,命题甲: E , F , G, H 四 2 3 点不共面,命题乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立的充分不必要条件;
零点的充分不必要条件是 ③“ a ? 2 ”是“对任意的实数 x , | x ? 1| ? | x ? 1|? a 恒成立”的充要条件; ④“ 0 ? m ? 1 ”是“方程 mx ? (m ?1) y ? 1 表示双曲线”的充分必要条件.
2 2

其中所有真命题的序号是

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 2 sin

?
8

x cos

?
8

x ? 2 2 cos 2

?
8

x? 2 ,x?R .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , O 为坐标原点,求 ?OPQ 的外接
第 3 页 共 3 页

圆的面积. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ?

(Ⅰ)从区间 (?2, 2) 内任取一个实数 a ,设事件 A ={函数 y ? f ( x) ? 2 在区间 (0, ??) 上有两 个不同的零点},求事件 A 发生的概率; (Ⅱ)若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6 )得到的点数分别 为 a 和 b ,记事件 B ? { f ( x) ? b2 在 x ? (0, ??) 恒成立},求事件 B 发生的概率.

4 . x

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,
B A

AE ? 平面 CDE ,已知 AE ? DE ? 2 , F 为线段 DE 的中点.
(Ⅰ)求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)求四棱锥 E ? ABCD 的体积.
C

E F D

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ?

1 , 且 [3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 , n ? N* . 2

(Ⅰ)令 bn ? a2 n ?1 ,判断 {bn } 是否为等差数列,并求出 bn ; (Ⅱ)记 {an } 的前 2 n 项的和为 T2 n ,求 T2 n .

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 , e 为自然对数的底数.
x

(Ⅰ)若 g ( x) 在 (1, g (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上的最小值; (Ⅲ)试探究能否存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性?若能存

第 4 页 共 4 页

在,说明区间 M 的特点,并指出 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上的单调性;若不能存在,请说明 理由.

21. (本小题满分 14 分)
2 2 已知动圆 P 与圆 F 且与圆 F2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 相内切, 记圆心 P 的 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,

轨迹为曲线 C ;设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点,O 为坐标原点,过点 F2 作 OQ 的 平行线交曲线 C 于 M , N 两个不同的点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)试探究 | MN | 和 | OQ | 的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说 明理由; (Ⅲ)记 ?QMN 的面积为 S ,求 S 的最大值.
2

第 5 页 共 5 页

高三自评试题

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. BDDAC CDDAB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (0,1) 12. 70 13. 4 3 14. ?

3 16

15.①②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 2 sin

?
8

x cos

?
8

x ? 2(2 cos 2

?
8

x ? 1)

x ? ) ,……………………………………………2 分 4 4 4 4 2? 所以,函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? 8 . ………………………………………3 分

? 2 sin

?

x ? 2 cos

?

x ? 2sin(

?

?

?

由 2 k? ?

?
2

?

?
4

x?

?
4

? 2k? ?

?
2

4
( k ? Z )得 8k ? 3 ? x ? 8k ? 1( k ? Z ) ,

? 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?8k ? 3 , 8k ?1? ( k ? Z )………………………………5 分
(Ⅱ)

f (2) ? 2sin( ? ) ? 2 cos ? 2 , 2 4 4

?

?

?

f (4) ? 2sin(? ? ) ? ?2sin ? ? 2 , 4 4

?

?

? P(2, 2), Q(4, ? 2) ……………………………………………………………………7 分 ? | OP |? 6, | PQ |? 2 3, | OQ |? 3 2
从而 cos ?POQ ?

OP ? OQ 2 ? 4 ? 2 ? (? 2) 3 ? ? 3 | OP | ? | OQ | 6 ?3 2
6 ,………………………………………………10 分 3

?sin ?POQ ? 1 ? cos 2 ?POQ ?
设 ?OPQ 的外接圆的半径为 R ,

第 6 页 共 6 页



| PQ | | PQ | 2 3 3 2 ? 2R ? R ? ? ? sin ?POQ 2sin ?POQ 2 6 2? 3

9 ? ?OPQ 的外接圆的面积 S ? ? R 2 ? ? ………………………………………………12 分 2
17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 函数 y ? f ( x) ? 2 在区间 (0, ??) 上有两个不同的零点,

? f ( x) ? 2 ? 0 ,即 ax 2 ? 2 x ? 4 ? 0 有两个不同的正根 x1 和 x2
? a?0 ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 0 1 ? a ?0?a? ?? 4 ? xx ? 4 ?0 1 2 ? a ?? ? 4 ? 16a ? 0 ?

………………………………………………………4 分

1 1 ? P( A) ? 4 ? 4 16

…………………………………………………………………………6 分

(Ⅱ)由已知: a ? 0, x ? 0 ,所以 f ( x) ? 2 ax ?

4 ,即 f ( x) ? 4 a x

f ?x? ? b 2 在 x ? ? 0, ??? 恒成立 ?4 a ? b2 …… (?) ……………………………8 分 当 a ? 1 时, b ? 1 适合 (?) ; 当 a ? 2,3, 4,5 时, b ? 1, 2 均适合 (?) ; 当 a ? 6 时, b ? 1, 2,3 均适合 (?) ; 满足 (?) 的基本事件个数为 1 ? 8 ? 3 ? 12 . ………………………………………………10 分 而基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 ,……………………………………………………………11 分 12 1 ? P( B) ? ? . ………………………………………………………………………12 分 36 3
18. (本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ) 连结 BD 和 AC 交于 O ,连结 OF ,…………………………………………1 分

? f ( x)min ? 4 a ,

ABCD 为正方形,? O 为 BD 中点,? F 为 DE 中点,

? OF // BE ,

……………………………………………………………………………4 分
B A
O G C

BE ? 平面 ACF , OF ? 平面 ACF

? BE // 平面 ACF .……………………………………………5 分
(Ⅱ) 作 EG ? AD 于 G

? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,? AE ? CD ,
第 7 页 共 7 页

E F D

ABCD 为正方形,? CD ? AD ,

AE

AD ? A,

AD, AE ? 平面 DAE ,

? CD ? 平面 DAE , ………………………………………………………………………7 分
? CD ? EG ,

AD CD ? D ,? EG ? 平面 ABCD ………………………………8 分

? AE ? 平面 CDE , DE ? 平面 CDE ,? AE ? DE ,
AE ? DE ? 2 ,? AD ? 2 2 , EG ? 2
…………………………………………10 分

? 四棱锥 E ? ABCD 的体积
1 V? S 3
ABCD

1 8 2 …………………………………………12 分 ? EG ? ? (2 2)2 ? 2 ? 3 3
[3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 ,

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

?[3 ? (?1)2n?1 ]a2n?1 ? 2a2n?1 ? 2[(?1)2n?1 ?1] ? 0 ,
即 a2n?1 ? a2n?1 ? 2 ……………………………………………………………………………4 分

bn ? a2 n?1 ,?bn?1 ? bn ? a2n?1 ? a2n?1 ? 2 ?{bn } 是以 b1 ? a1 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列 …………………………………5 分 bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 …………………………………………………………………6 分
(Ⅱ)对于 [3 ? (?1)n ]an?2 ? 2an ? 2[(?1)n ?1] ? 0 , 当 n 为偶数时,可得 (3 ? 1)an?2 ? 2an ? 2(1 ?1) ? 0 , 即

an ? 2 1 ? , an 2

? a2 , a4 , a6 ,

是以 a2 ?

1 1 为首项,以 为公比的等比数列;………………………8 分 2 2

当 n 为奇数时,可得 (3 ?1)an?2 ? 2an ? 2(?1 ?1) ? 0 , 即 an?2 ? an ? 2 ,

? a1 , a3 , a5 ,

是以 a1 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列…………………………10 分

?T2n ? (a1 ? a3 ?

? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ?

? a2n )

1 1 [(1 ? ( )n ] 1 1 2 ? n2 ? 1 ? n ? [n ?1 ? n(n ? 1) ? 2] ? 2 1 2 2 1? 2
20. (本小题满分 13 分)

……………………………12 分

第 8 页 共 8 页

解: (Ⅰ)

g ( x) ? ax ? ln x ,? g (1) ? a , g ?( x) ? a ?

1 x

1 g ( x) 在 (1, g (1)) 处的切线 l 与直线 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直,? g ?(1) ? ? ?1 3 1 ? (a ? 1) ? ? ?1 ? a ? ?2 ………………………………………………………………3 分 3
(Ⅱ) f ( x) 的定义域为 R ,且 f ?( x) ? e x ? a . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) . …………………………………………………………4 分

若 ln(?a) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, 2] 上为增函数,

? f ( x)min ? f (0) ? 1 ;………………………………………………………………………5 分
若 ln(?a) ? 2 ,即 a ? ?e 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, 2] 上为减函数,
2

? f ( x)min ? f (2) ? e2 ? 2a ; ……………………………………………………………6 分
若 0 ? ln(?a) ? 2 ,即 ?e ? a ? ?1 时,
2

由于 x ? [0, ln(?a)) 时, f ?( x) ? 0 ; x ? (ln(?a), 2] 时, f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x)min ? f (ln(?a)) ? a ln(?a) ? a

综上可知 f ( x) min

1, ?1 ? a ? 0 ? ? 2 ?? e ? 2a , a ? ?e 2 ………………………………………8 分 ? a ln(?a) ? a, ?e 2 ? a ? ?1 ?
1 ax ? 1 ? . x x

(Ⅲ) g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,且 g ?( x ) ? a ?

a ? 0 时,? g ?( x) ? 0 ,? g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减.……………………………9 分
令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a)

l n ( ? ) ,a ?? ) ①若 ?1 ? a ? 0 时,ln(?a) ? 0 , 在(

? f ( x) 单调递增,由于 g ( x) 上 f ?( x) ? 0 ,

在 (0, ? ?) 上单调递减,所以不能存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的 单调性;………………………………………………………………………………10 分 ②若 a ? ?1 时, ln(?a) ? 0 ,在 (??, ln(?a)) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; 在 (ln(?a), ??) 上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.由于 g ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减,? 存在区 间 M ? (0, ln(?a)] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函数.
第 9 页 共 9 页

综上,当 ?1 ? a ? 0 时,不能存在区间 M ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单 调性;当 a ? ?1 时,存在区间 M ? (0, ln(?a)] ,使得 f ( x) 和 g ( x) 在区间 M 上均为减函 数.…………………………………………………………………………………………13 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (I)设圆心 P 的坐标为 ( x, y ) ,半径为 R
2 2 2 2 由于动圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 相切,且与圆 F 2 : ( x ? 3) ? y ? 1 相内切,所以动 2 2 圆 P 与圆 F 1 : ( x ? 3) ? y ? 81 只能内切

?| PF |? 9 ? R ?| PF1 | ? | PF2 |? 8 ?| F1F2 |? 6 ………………………………………2 分 ?? 1 ?| PF2 |? R ? 1
? 圆心 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,其中 2a ? 8, 2c ? 6 ,
?a ? 4, c ? 3, b2 ? a2 ? c2 ? 7
故圆心 P 的轨迹 C :

x2 y 2 ? ? 1 …………………………………………………………4 分 16 7

(II)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x3 , y3 ) ,直线 OQ : x ? my ,则直线 MN : x ? my ? 3

? 2 ? 2 112m 2 112m2 ? x ? my x ? x ? ? ? 3 ? ? 7 m 2 ? 16 , ? ? 7m 2 ? 16 由 ? x2 y 2 可得: ? ? ?1 ? y 2 ? 112 ? y 2 ? 112 ? ? ?16 7 2 ? ? 3 7m 2 ? 16 7 m ? 16 ? ?

112m2 112 112(m2 ? 1) ? | OQ | ? x3 ? y3 ? ? ? ……………………………6 分 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16
2 2 2

? x ? my ? 3 ? 2 2 由 ? x2 y 2 可得: (7m ? 16) y ? 42my ? 49 ? 0 ? ? 1 ? ?16 7
? y1 ? y2 ? ? 42m 49 , y1 y2 ? ? 2 7m ? 16 7m 2 ? 16

? | MN |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? [(my2 ? 3) ? (my1 ? 3)]2 ? ( y2 ? y1 ) 2
? m 2 ? 1 | y2 ? y1 | ? m2 ? 1 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

? m2 ? 1 (?

42m 2 49 56(m2 ? 1) ………………………………8 分 ) ? 4( ? ) ? 7m2 ? 16 7m2 ? 16 7m2 ? 16
第 10 页 共 10 页

56(m2 ? 1) 2 | MN | 16 ? 1 ? 7m ? ? 2 2 112(m ? 1) 2 | OQ | 7m2 ? 16
1 ? | MN | 和 | OQ |2 的比值为一个常数,这个常数为 ……………………………………9 分 2
(III)

MN / /OQ ,? ?QMN 的面积 ? ?OMN 的面积

O 到直线 MN : x ? my ? 3 的距离 d ?

3 m2 ? 1

?S ?

1 1 56( m 2 ? 1) 3 84 m 2 ? 1 | MN | ?d ? ? ? ? …………………………11 分 2 2 2 7 m 2 ? 16 m 2 ? 1 7 m ? 16
2 2

令 m2 ?1 ? t ,则 m ? t ? 1 (t ? 1)

S?

84t 84t 84 ? 2 ? 7(t ? 1) ? 16 7t ? 9 7t ? 9 t
2

9 3 9 9 14 ,亦即 m ? ? 时取等号) 7t ? ? 2 7t ? ? 6 7 (当且仅当 7t ? ,即 t ? t 7 t t 7

?当 m ? ?

14 时, S 取最大值 2 7 ……………………………………………………14 分 7

第 11 页 共 11 页


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