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河北省衡水二中2013-2014学年高一下学期第二次调研考试数学试题Word版含答案

衡水市第二中学 2013—2014 学年度第二学期第二次调研考 试
高一数学试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

合题目要求的.

1. 在下列命题中,正确的是( )

A.若|a|>|b|,则 a>b

B.若|a|=|b|,则 a=b

C.若 a=b,则 a 与 b 共线

D.若 a≠b,则 a 一定不与 b 共线

2.已知向量 a ? (1,n),b ? (?1,n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ?
()

A.1

B. 2

C. 2

D.4

3.函数错误!未找到引用源。的图象向右平移错误!未找到引用源。

单位后与函数错误!未找到引用源。的图象重合,则错误!未找到引

用源。的解析式是

A.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

B.错误!未

找到引用源。错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。错

误!未找到引用源。

4.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输

出的 s 值等于( )

A.-3

B.-10

C.0

D.-2

5.如图,在△AOB 中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,

在线段 OB 上任取一点 C,求△AOC 为锐角三角形

的概率为( )

(A)0.6

(B)0.4

(C)0.2

(D)0.1

6. 若

,则

的值是( )

A.

B.

C.

D.

7.函数错误!未找到引用源。是( )

A.最小正周期为错误!未找到引用源。的偶函数 B.最小正周期为错误!未找到引用源。的

奇函数 C.最小正周期为错误!未找到引用源。的偶函数

D.最小正周期为错误!未找到引用

源。的奇函数

8.在错误!未找到引用源。内,使错误!未找到引用源。的 x 取值范围是( )

A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 9.在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量 按逆时针旋转 后,得向量 则

点 Q 的坐标是( )

A. (-7

) B. (﹣7 , ) C.

D. (﹣4 ,2)

10.若两个非零向量 a,b 满足| a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为

()

A. ? 6

B. ? 3

C. 2? 3

D. 5? 6

11.已知| a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x2 ? | a | x ? a ? b ? 0 无实根,则 a 与 b 的夹角的取值
范围是 ?

A.[0, 3 )

B.[? ,? ] 3

C.[? , 2? ] 33

D.[? ,? ] 6

12.已知 向量 a ? (cos?,sin? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则| 2a ? b | 的最大值,最小值分别是
()

A. 4 2,0 B. 4, 4 2 C.16,0 D.4,0

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)

3

1

13. cos10°-sin170°=

14.某班有学生 40 人,将其数学期中考试成绩平均分为两组,第一组的平均分为 80 分,标

准差为 4,第二组的平均分为 90 分,标准差为 6, 则此班 40 名学生的数学期中考试成

绩的方差为

15.已知|a|=1,|b|=1,a 与 b 的夹角为 120°,则向量 2a-b 在向量 a+b 方向上的投影 为________. 16.已知函数错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。的图象关于直线错误!未找到
引用源。对称,点错误!未找到引用源。是函数图象的一个对称中心, 则错误!未找到引 用源。的最小值是 ______.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本题满分 10 分)已知 A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα).
(1)若A→C·B→C=-1,求 sin???α+π4 ???的值; (2)若|O→A+O→C|= 13,且α∈(0,π),求→OB与→OC的夹角.

18. (本题满分 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角错误!未找到引用源。和钝

角错误!未找到引用源。的终边分别与单位圆交于错误!未找到引用源。,错误!未找到引

用源。两点.

(1)若点错误!未找到引用源。的横坐标是错误!未找到引用源。,点错误!未找到引用

源。的纵坐标是错误!未找到引用源。,求错误!未找到引

用源。的值; (2) 若∣AB∣=错误!未找到引用源。, 求错误!未找到

y

B

A

引用源。的值.

O

x

19.(本题满分 12 分)已知函数错误!未找到引用源。. (1)求函数错误!未找到引用源。的最小正周期及单调递 减区间; (2)求函数错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上的最小值.

20.(本题满分 12 分)如 图所示,函数
y ? 2cos(?x ?? )(x ? R,? > 0,0 ≤? ≤ π) 的图象与 y 2

轴相交于点 M (0,3) ,且该函数的最小正周期为 ? .

(1)求? 和 ? 的值;

(2)已知点

A

? ??

π 2

,0 ???

,点

P

是该函数图象上一点,点

Q(x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 y0 ?

3 2



x0

?

? ??

π 2

,π???

时,求

x0

的值

21.(本题满分 12 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a ? (?1, 2) ,又点

A(8, 0), B(n,t),C(k sin? ,t)(0 ? ? ? ? ) 2
(1)若 AB ? a, 且| AB |? 5 | OA |,求向量 OB ;
(2)若向量 AC 与向量 a 共线,当 k ? 4 时,且 t sin? 取最大值为 4 时,求 OA ? OC
22.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sin???π2 +φ???(0<φ< π),其图象过点???π6 ,21???. (1)求φ的值; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 的图象,求函数 g(x)在???0,π4 ???上的最大值和最小值.

一、CABAA BBDCC AD
16.

高一数学二调考试答案

13. -4 14. 51

1 15.2

17. 解:(1)∵A→C=(cosα-3,sinα),B→C=(cosα,sinα-3), ∴A→C·B→C=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1, 得 cos2+sin2α-3(cosα+sinα)=-1,

∴co sα+sinα=23,∴sin??α+π4??=

2 3.

…………5 分

(2)∵|O→A+O→C|= 13,∴(3+cosα)2+sin2α=13,∴cosα=12,

∵α∈(0,π),∴α=π3,sinα= 23,∴C??12, 23??,

∴O→B·O→C=3 2 3,设O→B与O→C的夹角为

θ,则

→→ 3

cosθ=

OB·OC →→



|OB|·|OC|

2 3

3 =

23.

∵θ∈[0,π],∴θ=π6即为所求的角. …………10 分

18、

( Ⅱ ) 方 法 ( 1 ) ∵ ∣ AB ∣ =| 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 |=| 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

|, ……………………………………9 分

又∵错误!未找到引用源。,…………………10 分

∴错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。.………………12 分

19.错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

……………………………………………4 分

所以函数错误!未找到引用源。的最小正周期为错误!未找到引用

源。.

…………………………………………6 分

由错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。.

函数错误!未找到引用源。单调递减区间是错误!未找到引用源。,错误!未找到引用

源。. ………………………8 分

( Ⅱ ) 由 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 得 错 误 ! 未 找 到 引 用

源。.

………………………………………10 分

则当错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。取得最小 值错误!未找到引用源。. …………………12 分

20、解:( 1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(?x ?? ) 中得 cos? ? 3 , 2

因为 0 ≤? ≤ π ,所以? ? π .……2 分

2

6

由已知T ? π ,且? ? 0 ,得? ? 2π ? 2π ? 2 .…………4 分 Tπ

(2)因为点

A

? ??

π 2

,0 ???



Q(x0,y0 )



PA

的中点,

y0

?

3 .所以点 P 的坐标为 2

? ??

2 x0

?

π 2

,3

? ??



又因为点

P



y

?

2

cos

? ??

2x

?

π 6

? ??

的图象上,且

π 2



x0



π

,所以

cos

? ??

4

x0

?

5π 6

? ??

?

3, 2

7π 6

≤ 4x0

? 5π 6

≤ 19π 6

,从而得

4x0

? 5π 6

? 11π 6



4x0

? 5π 6

? 13π 6

,即

x0

?

2π 3



x0

?

3π 4



…………

12 分

21.解: (1) AB ? (n ? 8, t), AB ? a ?8 ? n ? 2t ? 0

又 5 |O B ?| |A B ?| , ?5 6?4 n ?(2 3?2 )t ?2,得t t5? ?8

?OB ? ( 2 4 , 8或)OB ? (? 8?, 8 )

…………6 分

(2)AC ? (k sin? ?8,t) AC 与 a 向量共线, ?t ? ?2k sin? ?16

…………8 分

t sin? ? (?2k sin? ?16)sin? ? ?2k(sin? ? k )2 ? 32 4k

?k ? 4,?1 ? k ? 0 ,?当 sin? ? k 时, t sin? 取最大值为 32 ………10 分

4

4

k



32 ? 4





k ?8







k

? ? ? ,OC ? (4,8) ?OA ? OC ? (8, 0) ? (4,8) ? 32 …………12 分 6
22. 解:(1)因为 f(x)=12sin2xsinφ+cos2xcosφ-12sin??π2+φ??(0<φ<π),
所以 f(x)=12sin2xsinφ+1+c2os2xcosφ-12cosφ =12sin2xsinφ+12cos2xcosφ=12(sin2xsinφ+cos2xcosφ) =12cos(2x-φ).
又函数图象过点??π6,12??,所以12=12cos??2×π6-φ??,即 cos??π3-φ??=1.

又 0<φ<π,∴φ=π3.………………6 分

(2)由(1)知 f(x)=12cos??2x-π3??.



f(x)

































1 2













,变为

g(x)



1 2

cos??4x-π3??.…………………………8 分

∵0≤x≤π4,∴-π3≤4x-π3≤23π.

当 4x-π3=0,即 x=1π2时,g(x)有最大值12;…………………10 分 当 4x-π3=23π,即 x=π4时,g(x)有最小值-14.…………………12 分