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上海市黄浦区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2016 年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科) 一、填空题(共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 1.不等式|x﹣1|<1 的解集用区间表示为 2.函数 y=cos2x﹣sin2x 的最小正周期 T= 3.直线 =3 的一个方向向量可以是 . . . . . . . 4.两个半径为 1 的铁球,熔化后铸成一个大球,这个大球的半径为 5.若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和,则其公比为 6.若函数 y=a+sinx 在区间[π,2π]上有且只有一个零点,则 a= 7.若函数 f(x)= + 为偶函数且非奇函数,则实数 a 的取值范围为 8.若对任意不等于 1 的正数 a,函数 f(x)=ax+2 的反函数的图象都经过点 P,则点 P 的坐标 是 . 9.在(a+b)n 的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为 128,则二项式系数的最大值为 (结果用数字作答). 10.在△ ABC 中,若 cos(A+2C﹣B)+sin(B+C﹣A)=2,且 AB=2,则 BC= . 11.为强化安全意识,某学校拟在未来的连续 5 天中随机抽取 2 天进行紧急疏散演练,那么选择的 2 天恰好为连续 2 天的概率是 (结果用最简分数表示). . 12.已知 k∈Z,若曲线 x2+y2=k2 与曲线 xy=k 无交点,则 k= 13.已知点 M(m,0),m>0 和抛物线 C:y2=4x.过 C 的焦点 F 的直线与 C 交于 A,B 两点,若 =2 ,且| |=| |,则 m= . . 14.若非零向量 , , 满足 +2 +3 = ,且 ? = ? = ? ,则 与 的夹角为 二、选择题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 15.已知复数 z,“z+ =0”是“z 为纯虚数”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 ) C.充要条件 D.既非充分也不必要条件 16.已知 x∈R,下列不等式中正确的是( ) A. > B. > C. > D. > 17.已知 P 为直线 y=kx+b 上一动点,若点 P 与原点均在直线 x﹣y+2=0 的同侧,则 k,b 满足的条 件分别为( A.k=1,b<2 ) B.k=1,b>2 C.k≠1,b<2 D.k≠1,b>2 18.已知 a1,a2,a3,a4 是各项均为正数的等差数列,其公差 d 大于零,若线段 l1,l2,l3,l4 的长 分别为 a1,a2,a3,a4,则( ) A.对任意的 d,均存在以 l1,l2,l3 为三边的三角形 B.对任意的 d,均不存在以为 l1,l2,l3 三边的三角形 C.对任意的 d,均存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形 D.对任意的 d,均不存在以 l2,l3,l4 为三边的三角形 三、解答题(共 5 小题,满分 74 分) 19.已知三棱柱 ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形,两条直角边 AC 和 BC 的长分别为 4 和 3,侧棱 AA′的长为 10. (1)若侧棱 AA′垂直于底面,求该三棱柱的表面积; (2)若侧棱 AA′与底面所成的角为 60°,求该三棱柱的体积. 20.如图,已知点 A 是单位圆上一点,且位于第一象限,以 x 轴的正半轴为始边,OA 为终边的角 设为 α,将 OA 绕坐标原点逆时针旋转 (1)用 α 表示 A,B 两点的坐标; (2)M 为 x 轴上异于 O 的点,若 MA⊥MB,求点 M 横坐标的取值范围. 至 OB. 21.如图,某地要在矩形区域 OABC 内建造三角形池塘 OEF,E,F 分别在 AB,BC 边上,OA=5 米,OC=4 米,∠EOF= ,设 CF=x,AE=y. (1)试用解析式将 y 表示成 x 的函数; (2)求三角形池塘 OEF 面积 S 的最小值及此时 x 的值. 22.已知椭圆 Γ: + =1(a>b>0),过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与 Γ 交于点 A、B 和 C、D, 得到平行四边形 ACBD. (1)当 ACBD 为正方形时,求该正方形的面积 S; (2)若直线 l1 和 l2 关于 y 轴对称,Γ 上任意一点 P 到 l1 和 l2 的距离分别为 d1 和 d2,当 d12+d22 为定 值时,求此时直线 l1 和 l2 的斜率及该定值. (3)当 ACBD 为菱形,且圆 x2+y2=1 内切于菱形 ACBD 时,求 a,b 满足的关系式. 23.已知 a1,a2,…,an 是由 n(n∈N*)个整数 1,2,…,n 按任意次序排列而成的数列.数列{bn} 满足 bk=n+1﹣ak(k=1,2,…,n),c1,c2,…,cn 是 1,2,…,n 按从大到小的顺序排列而成的数 列,记 Sn=c1+2c2+…+ncn. (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak=bk(k=1,2,…,n)的数列{an}; (2)写出 ck(k=1,2,…,n),并用含 n 的式子表示 Sn; (3)利用(1﹣b1)2+(2﹣b2)2+…+(n﹣bn)2≥0,证明:b1+2b2+…+nbn≤ n(n+1)(2n+1)及 a1+2a2+…+nan≥Sn. (参考:12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)) 2016 年上海市黄浦区高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、填空题(共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 1.不等式|x﹣1|<1 的解集用区间表示为 (0,2) . 【考点】绝对值三角不等式. 【专题】计算题;转化思想;不等式的解法及应用. 【分析】直接将不等式|x﹣1|<1 等价为:﹣1<x﹣1<1,解出后再用区间表示即可. 【解答】解:不等式|x﹣1|<1 等价为: ﹣1<x﹣1<1,解得,0<x<2, 即原不等式的解集为{x|0<x<2}, 用区间表示为:(0,2), 故答案为:(0,2). 【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解

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