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高中数学教学中的数学情境与提出问题


第 11 卷第 4 期 2002 年 11 月

数 学 教 育 学 报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION

Vol.11, No.4 Nov., 2002

高中数学教学中的数学情境与提出问题
——“正弦定理(一) ”教学案例
管理河
(桐梓县第一中学,贵州 桐梓 563200)

摘要:创设数学情境是“情境—问题”教学的基础环节. “情境—问题”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动, 以学生作为提出问题的主体.教师在创设数学情境时,必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标、教学需要 等因素进行综合考虑. “正弦定理”具有广泛的应用价值,在教学中,应从应用需要出发创设所适用的数学情境. 关键词:正弦定理;解三角形;数学情境 中图分类号:G632.4 文献标识码:A 文章编号:1004–9894(2002)04–0094–04

1 教学设计
1.1 教学背景 贵州省桐梓县一中是一所规模较大的高级中 学,学校对由贵州师大主持的“数学情境与提出问 题”教学实验研究十分重视,是首批参加实验的学 校之一.笔者任教的高一(3)班是从 2001 年 9 月 开始教学实验的,该班有学生 55 人,多数来自农 村.刚入校时,许多学生完全依赖于教师的讲解, 不会自学,不敢提问题,也不知怎样提出问题.通 过 2 个学期的实验教学,多数学生已比较适应这种 新的教学方式,能主动思考,敢于提出自己关心的 问题和想法,初步掌握了一些提问的方法,保守、 依赖的个性特征逐步向开放、自主的方向转变. 1.2 教材分析 “正弦定理” 是全日制普通高级中学教科书 (试 验修订本?必修)数学第一册(下)的第五章第九 节的主要内容之一,既是初中“解直角三角形”内 容的直接延拓,也是三角函数一般知识和平面向量 知识在三角形中的具体运用,是解可转化为三角形 计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的 重要工具, 因此具有广泛的应用价值. 本次课是 “正 弦定理”教学的第一节课,其主要任务是引入并证 明正弦定理,在课型上属于“定理教学课” .因此, 做好“正弦定理”的教学,不仅能复习巩固旧知识, 使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩 证观点,而且能培养学生的应用意识和实践操作能 力, 以及提出问题、 解决问题等研究性学习的能力.

为什么要解斜三角形?解斜三角形必须要用 正弦定理和余弦定理吗?正弦定理和余弦定理是 怎样发现的?其证明方法是怎样想到的?还有别 的证法吗?这些都是教材没有回答,而确实又是学 生所关心的问题. 1.3 设计思路 为了回答上述问题我想到了“情境—问题”教 学模式,即构建一个以情境为基础,提出问题与解 决问题相互引发携手并进的 “情境—问题” 学习链, 使学生真正成为提出问题和解决问题的主体,成为 知识的“发现者”和“创造者” ,使教学过程成为 学生主动获取知识、 发展能力、 体验数学的过程. 根 据上述精神,笔者具体做出了如下设计:①创设一 个现实问题情境作为提出问题的背景;②启发、引 导学生提出自己关心的现实问题,逐步将现实问题 转化、抽象成过渡性数学问题,解决过渡性问题时 需要使用正弦定理,借此引发学生的认知冲突,揭 示解斜三角形的必要性,并使学生产生进一步探索 解决问题的动机.然后引导学生抓住问题的数学实 质,将过渡性问题引伸成一般的数学问题:已知三 角形的 2 条边和一边的对角,求另一边的对角及第 三边.解决这 2 个问题需要先回答目标问题:在三 角形中,2 边与它们的对角之间有怎样的关系?③ 为了解决提出的目标问题,引导学生回到他们所熟 悉的直角三角形中,得出目标问题在直角三角形中 的解,从而形成猜想,然后引导学生使用计算器对 猜想进行验证,进而引导学生对猜想进行严格的逻 辑证明.证明时,关键在于启发、引导学生明确以

收稿日期:2002–08–28 基金项目:贵州省优秀科技教育人才省长专项基金项目(黔科教办[2001]3 号) 作者简介:管理河(1963—) ,男,贵州桐梓人,中教高级,主要从事中学数学教学与研究工作.

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下 2 点:一是证明的起点 AC+CB=AB ;二是如何 将向量关系转化成数量关系,同时将 3 个项的关系 式转化为只有 2 个项的关系式,以揭示引入单位向 量 j 和使用向量的数量积运算的合理性.④由学生 独立使用已证明的结论去解决②中所提出的问题.

sin θ =

| v1 | 3 = ? θ = arcsin 0.6 = 37° . | v2 | 5

生 2: 船从 A 开往 C 的情况如图 3, |AD|=|v1|=5, |DE|=|AF|=|v2|=3,易求得∠AED=∠EAF=45°,还需 求θ及 v.我不知道怎样解这 2 个问题,因为以前 从未解过类似的问题.
B ? C ? B ? C ?

2 教学过程
2.1 设置情境 利用投影展示:如图 1,一条河的 2 岸平行, 河宽 d = 1 km.因上游暴发特大洪水,在洪峰到来 之前,急需将码头 A 处囤积的重要物资及留守人员 用船转运到正对岸的码 头 B 处或其下游 1 km 的 码头 C 处.已知船在静水 中的速度|v1| = 5 km/h,水 流速度|v2| = 3 km/h. 2.2 提出问题
A.

D E v1 v θ ? A v2 F

D E v1 θv

? A v2 F 图3 船过河线路(二)

图2

船过河线路(一)

B


C


师:请大家想一下,这 2 个问题的数学实质是 什么? 部分学生:在三角形中,已知 2 边和其中一边 的对角,求另一边的对角和第三边. 师:请大家讨论一下,如何解决这 2 个问题? 生 3:在已知条件下,若能知道三角形中 2 条 边与其对角这 4 个元素之间的数量关系,则可以解 决上述问题,求出另一边的对角. 生 4:如果另一边的对角已经求出,那么第三 个角也能够求出.只要能知道三角形中 2 条边与其 对角这 4 个元素的数量关系,则第三边也可求出. 生 5:在已知条件下,如果能知道三角形中 3 条边和一个角这 4 个元素之间的数量关系,也能求 出第三边和另一边的对角. 师:同学们的设想很好,只要能知道三角形中 2 边与它们的对角间的数量关系,或者 3 条边与一 个角间的数量关系, 2 个问题都能够顺利解决. 则 下 面我们先来解答问题:三角形中,任意 2 边与其对 角之间有怎样的数量关系? 2.3 解决问题 师:请同学们想一想,我们以前遇到这种一般 问题时,是怎样处理的? 众学生:先从特殊事例入手,寻求答案或发现 解法.直角三角形是三角形的特例,可以先在直角 三角形中试探一下. 师:如图 4,请各小组研究 在 Rt△ABC 中,任意 2 边及其对
A

图1

物资运送示意图

师:为了确定转运方案,请同学们设身处地地 考虑一下有关的问题,将各自的问题经小组(前后 4 人为一小组)汇总整理后交给我. 待各小组将题纸交给老师后,老师筛选了几张 有代表性的题纸通过投影向全班展示,经大家归纳 整理后得到如下的 5 个问题: (1)船应开往 B 处还是 C 处? (2)船从 A 开到 B、C 分别需要多少时间? (3)船从 A 到 B、C 的距离分别是多少? (4)船从 A到 B、 时的速度大小分别是多少? C (5)船应向什么方向开,才能保证沿直线到达 B、C? 师:大家讨论一下,应该怎样解决上述问题? 大家经过讨论达成如下共识: 要回答问题 (1) , 需要解决问题(2) ,要解决问题(2) ,需要先解决 问题(3)和(4) ,问题(3)用直角三角形知识可 解,所以重点是解决问题(4) ,问题(4)与问题 (5)是 2 个相关问题,因此,解决上述问题的关键 是解决问题(4)和(5) . 师:请同学们根据平行四边形法则,先在练习 本上做出与问题对应的示意图,明确已知什么,要 求什么,怎样求解. 生 1:船从 A 开往 B 的情况如图 2,根据平行 四边形的性质及解直角三角形的知识,可求得船在 河水中的速度大小|v|及 v1 与 v2 的夹角θ: | v |= | v1 |2 ? | v2 |2 = 52 ? 32 = 4 ,

角这 4 个元素间有什么关系? 多数小组很快得出结论: C a B a b c 图 4 直角三角形 = = . sin A sin B sin C a b c 师: = = 在非 Rt△ABC 中是否 sin A sin B sin C

b

c

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成立? 众学生:不一定,可以先用具体例子检验.若 有一个不成立,则否定结论;若都成立,则说明这 个结论很可能成立,再想办法进行严格的证明. 师:这是个好主意.请每个小组任意做出一个 非 Rt△ABC,用量角器和刻度尺量出各边的长和各 角的大小, 用计算器作为计算工具, 具体检验一下, 然后报告检验结果. 几分钟后,多数小组报告结论成立,只有一个 小组因测量和计算误差,得出否定的结论.教师在 引导学生找出失误的原因后指出:此关系式在任意 △ABC 中都能成立,请大家先考虑一下证明思路. 生 6:想法将问题转化成直角三角形中的问题 进行解决. 生 7:因为要证明的是一个等式,所以应先找 到一个可以作为证明基础的等量关系. 师:在三角形中有哪些可以作为证明基础的等 量关系呢? 学生七嘴八舌地说出一些等量关系,经讨论后 确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能 有利用价值:①三角形的面积不变;②三角形同一 边上的高不变;③三角形外接圆直径不变.在教师 的建议下,学生分别利用这 3 种关系作为基础得出 了如下 3 种证法: 证法一: 如图 5, AD、 设 BE、 分别是△ABC CF 的 3 条高.则有 AD = b?sin∠BCA, BE = c?sin∠CAB, CF = a?sin∠ABC. 所以 S△ABC = a?b?sin∠BCA = b?c?sin∠CAB = c?a?sin∠ABC. a b c = = . 所以 sin ∠CAB sin ∠ABC sin ∠BCA 证法二: 如图 5, AD、 设 BE、 分别是△ABC CF 的 3 条高.则有 AD = b?sin∠BCA = c?sin∠ABC, BE = a?sin∠BCA = c?sin∠CAB. a b c = = . 所以 sin ∠CAB sin ∠ABC sin ∠BCA 证法三:如图 6,设 CD = 2r 是△ABC 的外接 圆的直径,则∠DAC = 90°,∠ABC = ∠ADC. b b 所以 = = CD = 2 r . sin ∠ABC sin ∠ADC a c 同理可证 = = 2r . sin ∠CAB sin ∠BCA

所以

a b c = = . sin ∠CAB sin ∠ABC sin ∠BCA

师:据我所知,从 AC+CB = AB 出发,也能证
A A c F E D B D C a b C

图5

非直角三角形

图6

三角形外接圆

B

得结论,请大家讨论一下. 生 8:要想办法将向量关系转化成数量关系. 生 9:利用向量的数量积运算可将向量关系转 化成数量关系. 生 10: 还要想办法将有 3 个项的关系式转化成 2 个项的关系式. 生 11:因为 2 个垂直向量的数量积为 0,可考 虑选一个与 3 个向量中的一个向量(如向量 AC) 垂直的向量与向量等式的 2 边分别作数量积. 师:请大家具体试一下,看还有什么问题? 众学生:向量 j 与 AB、CB 的夹角与△ABC 是 锐角三角形还是钝角三角形有关,所以应分 2 类情 况分别证明. 教师让学生通过小组合作完成了如下证明. 证法四: 如图 7, 设单位向量 j 与向量 AC 垂直. 因为 AB = AC + CB, 所以 j?AB = j?(AC + CB) = j?AC + j?CB. 因为 j?AC = 0, j?CB = |j ||CB|cos( 90° ? ∠C )= a?sinC, j?AB = |j ||AB|cos( 90° ? ∠A )= c?sinA. a c 所以 a?sinC = c?sinA, = , sin A sin C a b 同理 = . sin A sin B a b c 所以 = = . sin A sin B sin C B 2.4 反思应用 师: 同学们通过自己的努力, 发现并证明了正弦定理.正弦定 理揭示了三角形中任意 2 边与其 对角的关系,请大家考虑一下, 正弦定理能够解决哪些问题?
A

j C

图7

向量

众生:知三求一,即已知三角形的 2 边与一边 的对角,可求另一边的对角;已知三角形的 2 角与 一角的对边,可求另一角的对边;已知三角形中 2

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边与它们的对角 4 个元素中的 2 个元素,可研究另 外 2 个元素的关系. 师:请同学们用正弦定理解决本节课开始时大 家提出的问题.

明,学生能否提出数学问题,不仅受其数学基础、 生活经历、学习方式等自身因素的影响,还受其所 处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制 约.因此,教师不仅要注重创设适宜的数学情境, 而且要真正转变对学生提问的态度,提高引导水 平,一方面要鼓励学生大胆地提出问题,另一方面 要妥善处理学生提出的问题.要引导学生对所提的 问题进行分析、整理,筛选出有价值的问题,注意 启发学生揭示问题的数学实质,将提问引向深入. 本课中,在教师的启导下,学生首先提出的问 题是:船应开往 B 处还是 C 处?答案取决于船从 A 到达 B、C 的时间;船从 A 到达 B、C 的时间,又 取决于船从 A 到达 B、 的距离和船的速度的大小; C 而船能否到达 B、C,又取决于船的航向.这些都 是具有实际意义的问题,去掉问题的实际意义得出 过渡性数学问题,抓住过渡性问题的数学实质,将 其上升为一般性数学问题,即目标问题.学生还提 出了一个超前性问题:三角形中 3 条边与一个角之 间有什么关系?这是笔者在设计教案时未想到的, 笔者除了对提出此问题的学生给予表扬和肯定外, 还要求同学们课后认真研究这个问题,这个问题已 经自然地成为教学“余弦定理”的情境. 使用计算器处理复杂、烦琐的数字运算是新教 材的一个重要特点. 本课中通过使用计算器, “正 使 弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性试验 成为可能.这说明计算器在探索、检验规律方面也 能发挥重要作用.在启导学生证明正弦定理时,笔 者没有限制学生的思路,使学生通过自己的努力发 现了多种证法,其中每一种证法都比教材上给出的 证法要简单.但没有能够自然地启发、引导学生发 现和选择向量方法,是一个遗憾.

3 教学反思
本课中,教师立足于所创设的情境,通过学生 自主探索、合作交流,亲身经历了提出问题、解决 问题、应用反思的过程,学生成为正弦定理的“发 现者”和“创造者” ,切身感受了创造的苦和乐, 知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落 实.为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴. 创设数学情境是“情境—问题”教学的基础环 节,教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学 内容、教学目标等因素进行综合考虑,对可用的情 境进行比较,选择具有较好的教育功能的情境. 从应用需要出发,创设认知冲突型数学情境, 是创设情境的常用方法之一. “正弦定理”具有广 泛的应用价值,故本课中从应用需要出发创设了教 学中所使用的数学情境.该情境源于教材第五章第 十二节研究性课题的第二个问题,笔者将其加工成 一个具有实际意义的决策型问题.实践说明,这种 将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境, 是创设情境的一条有效途径.只要教师能对教材进 行深入、细致、全面的研究,便不难发现教材中有 不少可用的素材.在进行教学设计时,笔者曾考虑 以“直角三角形”作为情境,考虑到学生据此不易 形成目标问题,而且问题缺乏向量背景,不容易想 到用向量方法解决问题,故未采用这个方案. “情境—问题”教学模式主张以问题为“红线” 组织教学活动,以学生作为提出问题的主体.如何 引导学生提出问题是教学成败的关键.教学实验表

Teaching Case about Theorem of Sines
GUAN Li-he
(Tongzi No.1 Middle School, Guizhou Tongzi 563200, China) Abstract: With using the mode that setting up mathematical situation organization, enlightenment and so on,we created a condition that the students undertook mathematical activities about posing and solving problem independently. Teaching process was made a process in which students gained knowledge on their own initiative, developed capability and experienced mathematic. Key words: theorem of sine; extract triangle; mathematical situation

[责任编校:陈汉君]


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