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2013年高考理科数学数列练习题


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等差数列
1.递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? a n ? d 通项公式:a n ? a1 ? (n ? 1)d 推广:a n ? a m ? (n ? m)d 变式:a1 ? a n ? (n ? 1)d ; a n ? a1 n ?1 a ? am d? n n?m d?
特征: a n ? dn ? ( a 1 ? d ), 即: a n ? f ( n ) ? kn ? m , ( k , m 为常数)

a n ? kn ? m ,( k , m 为常数 ) 是数列 ?a n ? 成等差数列的充要条件。

2.等差中项: 若 a , b , c 成等差数列,则 b 称 a 与 c 的等差中项,且 b ?
2 b ? a ? c 的充要条件。
a ?c 2

; a , b , c 成等差数列是

3.前 n 项和公式
Sn ? (a1 ? a n )n 2

; S n ? na 1 ?
d 2

n ( n ? 1) d 2

特征: S n ?

d 2

n ? (a1 ?
2 2

)n,

即 S n ? f ( n ) ? An S n ? An
2

? Bn

? Bn

( A , B 为常数 )

是数列 ?a n ? 成等差数列的充要条件。 4.等差数列 ?a n ? 的基本性质 ( 其中 m , n , p , q ? N )
?

⑴ 若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q 反之,不成立。 ⑵ a n ? a m ? (n ? m )d ⑶ 2a n ? a n?m ? a n?m
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⑷ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 仍成等差数列。 5.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:
a n ? 1 ? a n ? d ( 常数)( n ? N )?
?

?a n ? 是等差数列

②中项法:
2 a n ?1 ? a n ? a n ? 2 (n ? N ) ?
?

?a n ? 是等差数列

③通项公式法:
a n ? kn ? b ( k , b 为常数 ) ? ?a n ? 是等差数列

④前 n 项和公式法:
S n ? An
2

? Bn

( A , B 为常数 ) ?

?a n ? 是等差数列

等比数列
1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为 q,( q ? 0 ) 。 2. 递推关系与通项公式
递推关系: 通项公式: a n ? 1 ? qa n a n ? a1 ? q
n?m n ?1

推广: a n ? a m ? q

3. 等 比 中 项 : 若 三 个 数 a , b , c 成 等 比 数 列 , 则 称 b 为 a 与 c 的 等 比 中 项 , 且 为
b ? ? ac ,注: b
2

? ac 是成等比数列的必要而不充分条件。

4. 前 n 项和公式
( q ? 1) ? na 1 ? n a1 ? a n q ? ? a 1 (1 ? q ) ? ? 1? q 1? q ?

Sn

( q ? 1)

5. 等比数列的基本性质, ( 其中 m , n , p , q ? N ) ① 若 m ? n ? p ? q ,则 a m ? a n ? a p ? a q 反之不真!
n?m

?

②q

?

an am

, an

2

? a n?m ? a n?m

(n ? N )

?

③ ?a n ? 为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列。
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? ④ q ? ? 1时, S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , 仍成等比数列。

6. 等比数列与等比数列的转化 ① ?a n ? 是等差数列 ? ?c ② ?a n ? 是正项等比数列 ?
an

?
c

( c ? 0, c ? 1) 是等比数列; an? ( c ? 0, c ? 1) 是等差数列;

?log

③ ?a n ? 既是等差数列又是等比数列 ? 7. 等比数列的判定法 ①定义法:
a n ?1 an ? q (常数) ?

?a n ? 是各项不为零的常数列。

?a n ? 为等比数列;

②中项法: a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 ③ 通 项 公 式 法 : an ? k ? q
n n

2

( a n ? 0 ) ? ?a n ? 为等比数列;
( k , q 为常数) ?

?a n ? 为 等 比 数 列 ; ④ 前

n 项和法:

S n ? k (1 ? q ) ( k , q 为常数) ?

?a n ? 为等比数列。

一.求数列 { a n } 的最大、最小项的方法: 1、比差法: a n ? 1 ? a n
?? 0 ? ? ? ? ? ?? 0 ?? 0 ?

2、比商法:

a n ?1 an

?? 1 ? ? ? ?? 1 ?? 1 ?

( an ? 0 )

3、利用函数的单调性: a n ? f (n ) 研究函数 f ( n ) 的增减性 二.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数 列的通项结构。 1、分组法求数列:通项虽然不是等差等比数列,但通过拆分可以化为由等差、等比的和的 形式,再分别用公式法求和。
n 例:已知数列 { a n } 的通项为: a n ? 2 n ? 3 ,求 S n

2、错位相减法:利用等比数列前 n 项和公式的推导方法求解,一般可解决一个等差数列和 一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。 说明: (1) 一般地, 如果数列 ?a n ? 是等差数列,?b n ? 是等比数列且公比为 q , 求数列 ?a n ? b n ? 的前 n 项和时,可采用这一思路和方法。具体做法是:乘以常数 q ,然后错位相减,使其转 化为等比数列问题求解。 要善于识别题目类型,特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。 (2)在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐” ,以便于下一
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步准确写出“ S n ? qS n ”的表达式; 3、裂项相消法:将数列的通项裂成两项之差求和时,正负相消,剩下首尾若干若。 常见裂项有:
1 n(n ? k ) ? 1 1 1 ( ? )、 k n n?k 1 n?k ? n ? 1 k ( n?k ? n)

4、倒序相加法:利用等差数列前 n 项和公式的推导方法求解,将数列正着写,倒着写再相 加。
典例精析 一、 错位相减法求和 例 1:求和: S n ?
1 a ? 2 a
2

?

3 a
3

?? ?

n a
n

解:⑴ a ? 1时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? ⑵ a ? 1时,因为 a ? 0
Sn ? 1 1 a 1
2

n ( n ? 1) 2

?

2 a
2

? 2
3

3 a
3

?? ?

n
n


? a n
n ?1

a a a 由①-②得:

Sn ?

?

?? ?

a n ?1 a
n



(1 ?

1 a

)S n ?

1 a 1 a

?

1 a
2

?? ? 1 ) ? a

1 a
n

? a

n
n ?1

(1 ? 1?

?

a 1 a
n

n

n
n ?1

所以

Sn ?

a (a

? 1) ? n ( a ? 1)
n 2

a ( a ? 1)

综上所述, n ( n ? 1) ? ? ? 2 ? ? n a ( a ? 1) ? n ( a ? 1) ? n 2 ? a ( a ? 1) ? ( a ? 1) a ? 1)

Sn

点拨:①若数列 ?a n ? 是等差数列, ?b n ? 是等比数列,则求数列 ?a n ? b n ? 的前 n 项和时,可采用错位 相减法; ②当等比数列公比为字母时,应对字母是否为 1 进行讨论; ③当将 S n 与 q S n 相减合并同类项时,注意错位及未合并项的正负号。 二、 裂项相消法求和 例 2:数列 ?a n ? 满足 a 1 =8, a 4 ? 2,且 a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? a n ? 0 ( n ? N )
?

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①求数列 ?a n ? 的通项公式;
a 4 ? a1 4 ?1

则d ?

? ?2

所以, a n =8+( n -1)×(-2)=―10-2 n
1 n (14 ? a n ) 1 2n(n ? 2)

bn ? ?

?

1 1 1 ( ? ) 4 n n?2

所以

② T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n
? ? ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 2 ? 4 ) ? ? ? ( n ? n ? 2 ) ? 4? ? 1 4 3 8 ? (1 ? 1 2 1 4 ( n ? 1)
?

?

1 n ?1 ?

?

1 n?2 1

) ? m 32

4(n ? 2)

对一切 n ? N 恒成立。
? m ? 12 ?
?

8 n ?1

?

8 n?2 8 n ?1 ?

对一切 n ? N 恒成立。 ? 8 8 n?2 ? 3 ) min ?

?

对 n ? N ,( 12 ? 12 ? 所以 m ? 8

16

1?1

1? 2

16 3

故 m 的最大整数值为 5。 点拨:①若数列 ?a n ? 的通项能转化为 f ( n ? 1) ? f ( n ) 的形式,常采用裂项相消法求和。 ②使用裂项消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项。

典例精析
例一:已知正项数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , ①求证:数列 ?a n ? 是等差数列;
Sn是 1 4 与 ( a n ? 1) 的等比中项,
2

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②若 b n ?

an 2
n

,数列 ?b n ? 的前 n 项和为 T n ,求 T n

?Tn ? ? ? ③在②的条件下,是否存在常数 ? ,使得数列 ? ? 为等比数列?若存在,试求 ? a n?2 ?

出 ? ;若不存在,说明理由。 解:①
Sn是 1 4 与 ( a n ? 1) 的等比中项,
2

所以 S n ?

1 4

( a n ? 1) 1 4

2

当 n ? 1时, a 1 ?

( a 1 ? 1) , a 1 ? 1 ?
2

当 n ? 2时, S n ? 1 ? 所以 a n ? S n ? S n ? 1 ? 1 4

1 4

( a n ? 1 ? 1)

2

( a n ? a n ?1 ? 2 a n ? 2 a n ?1 )

2

2

即 ( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ? 2 ) ? 0
因为 a n ? 0,所以 a n ? a n ? 1 ? 2 ? 0 即: a n ? a n ? 1 ? 2

所以数列 ?a n ? 是等差数列。 ②Tn ? 3 ?
Tn ? ? a n?2
? 3?? 2n ? 3 ? 2n ? 3 2
n

? (3 ?

2n ? 3 2
n

? ?)?

1 2n ? 3

1 2
n

所以当且仅当 3+ ? =0,即 ? =-3 时,数列

?Tn ? ? ? ? ? 为等比数列。 ? a n?2 ?

通项

与前 n 项和

的关系


任意数列

的前 n 项和

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注意:由前 n 项和 (1)求 ,

求数列通项时,要分三步进行:

(2)求出当 n≥2 时的

, 中的 n=1 时有 成立,则最后的通项公式可以统一

(3)如果令 n≥2 时得出的
题型一 归纳、猜想法求数列通项

写成一个形式,否则就只能写成分段的形式.
【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 ⑴7,77,777,7777,? ⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9? 解析:⑴将数列变形为
(10 ? 1) 9 9 9 9 ⑶将已知数列变为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,?。可得数列的通 (10
2

7

? (10 ? 1),

7

? 1),

7

(10

3

? 1) , ? ,

7

n

项公式为 a n ? n ?

1 ? ( ? 1) 2

n

点拨:本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求 得通项。
S1 ? 题型二 应用 a n ? ? ? S n ? S n ?1 ( n ? 1) (n ? 2)

求数列通项

例 2.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ,有 S n ? 3 ? 2 ,求其通项公式.
n

解析:当 n ? 1时 , a 1 ? S 1 ? 3 ? 2 ? 1 ,
1

当 n ? 2时 , a n ? S n ? S n ? 1 ? ( 3 ? 2 ) ? ( 3
n

n ?1

? 2)

? 2 ?3

n ?1

? 1 又 a 1 ? 1 不适合上式,故 a n ? ? n ?1 ?2 ? 3

( n ? 1) (n ? 2)

经典例题精析 类型一:迭加法求数列通项公式
1.在数列 解析:∵ 中, , ,
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,求

.

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时, , ,



将上面

个式子相加得到:

∴ 当 故 例:已知数列 , , 时, .



) , 符合上式

,求

.

【答案】

类型二:迭乘法求数列通项公式
2. 设 求它的通项公式 解析:由题意 ∴ ∵ ,∴ , 是首项为 1 的正项数列, 且 . ,







,又



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∴当 当

时, 时, 符合上式





.

例:在数列

中,



,求

.

【答案】 ∴

类型三:倒数法求通项公式
3.数列 中, , ,求 .

思路点拨:对

两边同除以



即可.

解析:∵

,∴两边同除以







成等差数列,公差为 d=5,首项







∴ 例:数列 中, ,

. ,求 .

【答案】

.

类型四:待定系数法求通项公式

4.已知数列

中,



,求

.

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解:设

,解得

即原式化为 设 ,则数列 为等比数列,且



例:已知数列

满足

,而且

,求这个数列的通项公式

.

【答案】∵

,∴



,则

,即



∴数列

是以

为首项,3 为公比的等比数列,



,∴

.



.

类型五:



的递推关系的应用
中, 是它的前 n 项和, 并且 ,求证:数列 是等比数列; , .

5. 已知数列 (1)设

(2)设 (3)求数列 解析: (1)因为

,求证:数列 的通项公式及前 n 项和.

是等差数列;

,所以
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以上两式等号两边分别相减,得

即 因为 由此可知,数列 由 所以 所以 , 所以 .

,变形得 ,所以 是公比为 2 的等比数列. , , ,

(2)

,所以



代入得

由此可知,数列

是公差为

的等差数列,它的首项





.

(3) 当 n≥2 时, ∴ 由于 故所求 例:若 ,

,所以

也适合此公式, 的前 n 项和公式是 ( ),求 代入 . , .

【答案】当 n≥2 时,将

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∴ 整理得

,

两边同除以



(常数)



是以

为首项,公差 d=2 的等差数列,







.

1.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36 D.37 2 2.在数列{an}中,a1=1,an+1=an -1(n≥1) ,则 a1+a2+a3+a4+a5 等于( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 3.{an}是等差数列,且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是( ) A.24 B.27 C.30 D.33 * 4.等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N ,则 n(n≥3)的最大值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2 5.设 an=-n +10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 D.第 12 项 6.已知等差数列{an}的公差为正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,则 S20 为( ) A.180 B.-180 C.90 D.-90 7.设函数 f(x)满足 f(n+1)=
2 f (n) ? n 2

(n∈N*)且 f(1)=2,则 f(20)为(



A.95 B.97 C.105 D.192 8.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3?重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6?是( A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 D.非等差数列 考查等差数列的性质. 9.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为 q , 则 q 的取值范围是( ) A. (0 ,
1? 2 5 )



B. (

1? 2

5

,1]

C. [1,

1? 2

5

)

D. (

?1? 2

5 1? , 2

5

)

? 2 10.数列 { a n } 的通项公式 a n ? n ? kn ,若此数列满足 a n ? a n ? 1 ( n ? N ),则 k 的取值范围是

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A, k ? ? 2

B, k ? ? 2

C, k ? ? 3
Sn Tn ? 2n 3n ? 1

D, k ? ? 3 ,则
an bn

11.等差数列 { a n } , {b n } 的前 n 项和分别为 S n , T n ,若
2 3 2n ? 1 3n ? 1

=

A,

3n ? 4 3n ? 1 12.三个数 a , b , c 成等比数列,且 a ? b ? c ? m ( m ? 0 ) ,则 b 的取值范围是

B,

C,

2n ? 1

D,

2n ? 1




m 3 ]

(A) [ 0 ,

m 3

]

(B) [ ? m , ?

m 3

]

(C) ( 0 ,

m 3

)

(D) [ ? m , 0 ) ? ( 0 ,

13.在数列{an}中,a1=1,an+1=

2a n an ? 2

(n∈N*) ,则

2 7

是这个数列的第_________项.

14.在等差数列{an}中,已知 S100=10,S10=100,则 S110=_________. 15.在-9 和 3 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成和为-21 的等差数列,则 n=_______. 16.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若
Sn Tn

=

2n 3n ? 1

,则

a 11 b11

=_________.

17.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1, ( x ? 1). (1)求 f ( x ) 的反函数 f
?1

( x ) ,并指出其定义域;
?1

(2) 若数列{an}的前 n 项和 Sn 对所有的大于 1 的自然数 n 都有 S n ? f 求数列{an}的通项公式; (3)令 c n ?
1 a n ? a n ?1 , 求 c1 ? c 2 ? ? ? c n .
a 1? a

且 ( S n ?1 ) , a1 =1,

18.已知数列{an}满足 a 1 ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1), 其前 n 项和 S n ? (1)求证:{an}为等比数列;

(1 ? a n )

(2)记 b n ? a n lg | a n | ( n ? N * ), T n 为数列{bn}的前 n 项和,那么: ①当 a=2 时,求 Tn; ②当 a ? ?
7 3

时, 是否存在正整数 m, 使得对于任意正整数 n 都有 b n ? b m ? 如果存在,

求出 m 的值;如果不存在,请说明理由. 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a n ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 , S n ? 0 ), a 1 ? (Ⅰ)求证:数列 {
1 Sn
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2 9

.

} 为等差数列;

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(Ⅱ)求满足 a n ? 0 的自然数 n 的集合. 20.已知数列 { a n } 为等差数列,其前 n 项和为 S n . (I)若 a 4 ? a 5 ? 0 , 试验证 : S 7 ? S 1 , S 6 ? S 2 , S 5 ? S 3 成立,并将其整合为一个等式; (II)一般地,若存在正整数 k,使 a k ? a k ? 1 ? 0 ,我们可将(I)中的结论作相应推广, 试写出推广后的结论,并推断它是否正确. 21.已知数列 { a n } 满足递推式 a n ? 2 a n ?1 ? 1( n ? 2 ) ,其中 a 4 ? 15 . (Ⅰ)求 a 1 , a 2 , a 3 ; (Ⅱ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n .
2 22.已知等差数列 ? a n ? ,公差 d 大于 0,且 a 2 、 a 5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两个根,数

列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n 且 Tn ? 1 ?

1 2

bn 。

(1)求数列 ? a n ? 、 ? b n ? 的通项公式; (2)记 c n ? a n ?b n , 求 证 : c n ? 1 ? c n . 创新试题 1. 在直角坐标平面上有一点列 P1 ( x 1 , y 1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ? , Pn ( x n , y n ) ? ,对一切正整数 n , 点 Pn 位于函数 y ? 3 x ? 数列 ? x n ? . ⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c 1 , c 2 , c 3 , ? , c n , ? 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 c n 的顶点为 Pn ,且过点 D n ( 0 , n 2 ? 1) ,记与抛物线 c n 相切于 D n 的直线的斜率为 k n ,求:
1 k1k 2 ? 1 k2k3
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13 4

的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ?

5 2

为首项,? 1 为公差的等差

?? ?

1 k n ?1 k n

.
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2. 设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足关系式 (1)求证 数列{an}是等比数列;
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3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4?)

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(2)设数列{an}的公比为 f(t),作数列{bn},使 b1=1,bn=f( 通项 bn; (3)求和 b1b2-b2b3+b3b4-?+b2n-1b2n-b2nb2n+1
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1 b n ?1

)(n=2,3,4?),求数列{bn}的

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1. 【答案】C 解析:观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110、121、132、?它们构 成一个等差数列,公差为 11,数 an=110+(n-1) ·11=11n+99,由 an≤500,解得 n≤36.4, * n∈N ,∴n≤36. 2. 【答案】A 解析:由已知:an+1=an2-1=(an+1) n-1) (a , ∴a2=0,a3=-1,a4=0,a5=-1. 3. 【答案】D 解析:a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9 成等差数列,故 a3+a6+a9=2×39-45=33. 4. 【答案】C 解析:an=a1+(n-1)d,即-6+(n-1)d=0 ? n=
6 d

+1

∵d∈N*,当 d=1 时,n 取最大值 n=7. 5. 【答案】 解析: an=-n2+10n+11=- C 由 (n+1) (n-11) 得 a11=0, a10>0, 12<0, 10=S11. , 而 a S 6. 【答案】A 解析:由等差数列性质,a4+a6=a3+a7=-4 与 a3·a7=-12 联立,即 a3,a7 是 方程 x2+4x-12=0 的两根,又公差 d>0,∴a7>a3 ? a7=2,a3=-6,从而得 a1=-10,d=2, S20=180. 7. 【答案】B
1 ? ? f ( 2 ) ? f (1) ? 2 ? 1 ? ? f (3) ? f ( 2 ) ? 1 ? 2 n ? 解析:f(n+1)-f(n)= ? ? 2 2 ? ? ? ? 1 ? f ( 20 ) ? f (19 ) ? ? 19 ? 2 ?

相加得 f(20)-f(1)=

1 2

(1+2+?+19) ? f(20)=95+f(1)=97.

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8. 【答案】B 解析: a2+a5)-(a1+a4)=(a2-a1)+(a5-a4)=2d. a3+a6)-(a2+a5)= ( ( (a3-a2)+(a6-a5)=2d.依次类推.
?a ? aq ? aq 2 ?q2 ? q ? 1 ? 0 ? ? 2 2 2 解析: 设三边为 a , aq , aq , 则 ? a ? a q ? a q ,即 ? q ? q ? 1 ? 0 ? ? 2 2 ?aq ? aq ? a ?q ? q ? 1 ? 0

9. 【答案】D

?1 ? 5 1? 5 ? q? ? 2 ? 2 ?1 ? ? 得?q ? R ,即 2 ? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ?q ? ,或 q ? ? 2 2 ?

5

? q ?

1? 2

5

10. 答案】 解析: 由 a n ? 1 ? a n ? (2 n ? 1) ? k ? 0 , n ? N ? 恒成立,有 3 ? k ? 0 ,得 k ? ? 3 。 【 D 1 11
an bn


2an 2 bn


a1 ? a 2 n ?1 b1 ? b 2 n ? 1






( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)

B
S 2 n ?1 T 2 n ?1 ?


2 ( 2 n ? 1) 3( 2 n ? 1) ? 1


2n ? 1 3n ? 1



2

a1 ? a 2 n ?1 2 ? b1 ? b 2 n ? 1 2

?

?

?



12. 【答案】D 解析:设 a ?
m b 1 q

b q

, c ? bq ,则有

b q

? b ? bq ? m ,? b ? 0 ,?
m 3

1 q

? q ?1?

m b



当 q ? 0 时, ?
m b

? q ?1 ? 3, b ? 0, 0 ? b ? ? 而

; q ? 0 时, ? 当
b
m 3

m

1 q

? q ? 1 ? ?1 ,



? ? 1 ,而 m ? 0 ? b ? 0 ,则 ? m ? b ? 0 ,故 b ? [ ? m , 0 ) ? ( 0 ,
1 a n ?1 1 an
1 2

]。
1 2

13. 【答案】6 解析:由已知得 差数列. ∴
1 an

=

+

,∴{

1 an

}是以

1 a1

=1 为首项,公差 d=

的等

=1+(n-1)

1 2

,∴an=

2 n ?1

=

2 7

,∴n=6.

14. 答案】 【 -110 解析: 100-S10=a11+a12+?+a100=45 a11+a100) (a1+a110) S ( =45 =-90 ? a1+a110= -2.

S110=

1 2

(a1+a110)×110=-110.
( n ? 2 )( ? 9 ? 3 ) 2
( a 1 ? a 21 ) 21 ( a 1 ? a 2 1 )

15. 【答案】5 解析:-21=

,∴n=5.

16. 【答案】

21 32

解析:

a 11 b11

=

S 2 ? 21 21 2 2 ? ? = 21 ? . ( b1 ? b 2 1 ) 21 ( b 1 ? b 2 1 ) T 2 1 3 ? 21 ? 1 32
2 2

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17.解: (1)? y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1)
? ? f x ?1 ?
?1

y x ? 1)
2

(x) ? (

定义域为: ?0 , ?? ?. (2)? S n ? f 又 S n ? 0 ,?
?1

( S n ?1 ), ? S n ? ( S n ?1 ? 1) .
2

Sn ?

S n ?1 ? 1 .
. ? a 1 ? S 1 ? 1,?
2

? { S n }为等差数列 ? a n ? S n ? S n ?1 ? n

S n ? n, S n ? n .
2

? ( n ? 1)

2

? 2 n ? 1( n ? 2 ).

而 a1 = 1 符合上式,故 a n ? 2 n ? 1 . (3) c 1 ? c 2 ? ? c n ?
? ? n 2n ? 1 a 1? a (1 ? a n ) ? a 1? a (1 ? a n ? 1 )

1 1?3
1 2

?

1 3?5
1 3

?? ?
1 3

1 ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)
)?? ? ( 1 2n ? 1 ? 1 2n ? 1 )]

[( 1 ?

)?(

?

1 5

18.解:1)当 n≥2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 整理得
an a n ?1 ? a,

所以{an}是公比为 a 的等比数列.(4 分) (2)? a 1 ? a ,? a n ? a n
? b n ? a n lg | a n |? a lg | a
n n

|? na

n

lg | a |
2

①当 a=2 时, T n 两式相减,得

? (2 ? 2 ? 2

2

? ... ? n ? 2 ) lg 2 , 2 T n ? [ 2
n

? 2?2

3

? ... ? ( n ? 1) ? 2

n

? n?2

n ?1

] lg 2 ,

? T n ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

) lg 2 ,

化简整理,得

T n ? 2 [1 ? (1 ? n ) ? 2 ] lg 2
n

(9 分)

②因为-1<a<0,所以:当 n 为偶数时,
b n ? na
n

lg | a |? 0 ;

当 n 为奇数时,
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b n ? na

n

lg | a |? 0 ;

所以,如果存在满足条件的正整数 m,则 m 一定是偶数.
b2k ?2 ? b2k ? 2a
2k

(a

2

? 1)( k ?

a

2 2

1? a

) lg | a |, 其中 k ? N

*

当a ? ?

7 3

时, a

2

?1 ?

2 9

,

所以 2 a

2k

(a

2

? 1) lg | a | ? 0 .又因为

a

2 2

1? a

?

7 2

,

所以当 k ? 当k ?
7 2

7 2

时, b 2 k ? 2 ? b 2 k , 即 b 8 ? b10 ? b12 ? ...

时, b 2 k ? 2 ? b 2 k , 即 b 8 ? b 6 ? b 4 ? b 2

故存在正整数 m=8,使得对于任意正整数 n 都有 b n ? b m 19.解: (Ⅰ)? a n ? S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 , S n ? 0
? 1 Sn ?{ 1 Sn ? 1 S n ?1 9 2 1 Sn
? Sn ? 2 11 ? 2 n .

(n ? 2)

? ?1.



1 S1

?

9 2

}为以

为首项,-1 为公差的等差数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

?

9 2

? ( n ? 1) ? ( ? 1) ?

11 ? 2 n 2

当n ? 2 时,

a n ? S n ? S n ?1 ?

4 (11 ? 2 n )( 13 ? 2 n )

,

? an

?2 ? 9 ( n ? 1) ? ? ? . 4 ? (n ? 2) ? (11 ? 2 n )( 13 ? 2 n ) ?



4 (11 ? 2 n )( 13 ? 2 n )

? 0 ,解得

11 2

? n ?

13 2

,而 n ? N , ? n ? 6 .
*

故所求 n 的集合为{6}.
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20.解: (I)? a n 为等差数列

, 且 a 4 ? a 5 ? 0.

? S 7 ? S 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? S 1 ? 3( a 4 ? a 5 ) ? S 1 ; S 6 ? S 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? S 2 ? 2(a 4 ? a 5 ) ? S 2 ; S 5 ? S 3 ? a4 ? a5 ? S 3 ;又 S 4 ? S 4 .

∴对任意 n ? N *, n ? 8 , 等式 S k ? n ? S n 恒成立 . (II)推广:设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn,若存在正整数 k,使 a k ? a k ? 1 ? 0 , 则对任意 n ? N *, 且 n ? 2 k , 等式 S 2 k ? n ? S n 恒成立 . 设 { a n } 的公差为 d ,? a k ? a k ? 1 ? 0 ,? 2 a 1 ? ( 2 k ? 1) d ? 0 .
? S 2 k ? n ? [a1 ? ? ? n 2 ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 ( 2 k ? n ? 1) d 2 n 2 d ? S n. ( 2 kd ? nd ) ? ? n 2 ]( 2 k ? n ) ? ( ? 2k ? 1 2 d ? 2k ? n ? 1 2 d )( 2 k ? n )

d ? (2k ? n) ? ?

( d ? 2 a 1 ? nd )

故推广后的结论正确. 21.解: (1)由 a n ? 2 a n ?1 ? 1及 a 4 ? 15 知 a 4 ? 2 a 3 ? 1, 解得: a 3 ? 7 , 同理得 a 2 ? 3 , a 1 ? 1 . (2)由 a n ? 2 a n ?1 ? 1 知 a n ? 1 ? 2 a n ?1 ? 2
a n ? 1 ? 2 ( a n ?1 ? 1) ? ?a n ? 1? 构成以 a 1 ? 1 ? 2 为首项以 2 为公比的等比数列;
? a n ? 1( a 1 ? 1 ) ? 2
n n ?1

;? a n ? 1 ? 2 n ,

? a n ? 2 ? 1 . 为所求通项公式
n (3)? a n ? 2 ? 1

? S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? LL ? a n ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? LL ? ( 2 ? 1)
1 2 3 n

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? ( 2 ? 2 ? 2 ? LL ? 2 ) ? n
1 2 3 n

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

?n ? 2

n ?1

? 2 ? n.

22.解: (1)设 ? a n ? 的公差为 d,由题意得:
? 2a1 ? 5d ? 12 ? a2 ? a5 ? 1 2 ? a1 ? 1 ? ? ? an ? 2n ? 1 ? a 2 a 5 ? 2 7 ? ? ( a 1 ? d )( a 1 ? 4 d ) ? 2 7 ? ? ?d ? 2 ?d ? 0 ?d ? 0 ? ?
? Tn ? 1 ? 1 2 b n 得 T n -1 ? 1 ? 1 2 b n ?1 两 式 相 减 得 : b n ? 1 3 b n ? 1, b 1 ? T1 ? 2 3
n ?1

?

bn b n ?1

2?1? ? , 即 ? bn ? 是 以 为 公 比 , 以 为 首 项 的 等 比 数 列 。 b n ? ? ? ? 3 3 3 3?3? 1 1 2
n

?1? ? 2? ? ?3?

n

?1? (2) c n ? a n b n ? ( 2 n ? 1) ? 2 ? ? ?3? ?1? ? c n ? ( 2 n ? 1) ? 2 ? ? ?3?
n ?1

? c n ?1

1 n ?1 ?1? ? ( 2 n ? 1) ? 2 ? ? ? ? 8 ? ( ) ( n ? 1) 3 ?3?

n

? n ? 1,? c n ? 1 ? c n

创新试题答案 1.解: (1) x n ? ?
? yn ? 3 ? xn ? 13 4
2n ? 3 2 5 2 ? ( n ? 1) ? ( ? 1) ? ? n ? 3 2

? ? 3n ?

5 4

,? Pn ( ? n ?

3 2

, ? 3n ?

5 4

)

(2)? c n 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .? 设 c n 的方程为:
y ? a(x ? ) ?
2

12 n ? 5 4

,
2 2

把 D n ( 0 , n 2 ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,? c n 的方程为: y ? x ? ( 2 n ? 3 ) x ? n ? 1 。
k n ? y | x ? 0 ? 2 n ? 3 ,?
'

1 k n ?1 k n

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 )

?

1

2 2n ? 1

(

1

?

1 2n ? 3

)

?

1 k1k 2

?

1 k2k3

?? ?

1 k n ?1 k n

?

1 2

[(

1 5

?

1 7

)?(

1 7

?

1 9

)?? ? (

1 2n ? 1

?

1 2n ? 3

)]

=

1 1 1 1 1 ( ? ) ? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6
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2.解

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(1)由 S1=a1=1,S2=1+a2,得 3t(1+a2)-(2t+3)=3t

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∴a2=

2t ? 3 a 2 2t ? 3 , ? 3t a1 3t

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又 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ①-②得 3tan-(2t+3)an-1=0
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① ②
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an a n ?1

?

2t ? 3 3t

,n=2,3,4?,

所以{an}是一个首项为 1 公比为
2t ? 3 3t 2 3 ? 1 t

2t ? 3 3t
1 b n ?1
2 3

的等比数列;
2 3

(2)由 f(t)=

=

,得 bn=f(

)=

+bn-1 ?

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可见{bn}是一个首项为 1,公差为 (3)由 bn= 于是 b2n=
2n ? 1 3 4n ? 1 3

的等差数列

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于是 bn=1+
5 3

2 3

(n-1)=
4 3

2n ? 1 3

;

,可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为 1 和 ,

,公差均为

的等差数列,

∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+?+b2n-1b2n-b2nb2n+1 ? =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+?+b2n(b2n-1-b2n+1) =-
4 3

(b2+b4+?+b2n)=-

4 3

·

1 2

n(

5 3

+

4n ? 1 3

)=-

4 9

(2n +3n)

2

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