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辽宁省东北育才双语学校2014届高三数学第三次模拟考试试题 文 新人教A版


东北育才双语学校 2014 届高三第三次模拟考试 数学试题(文科)
满分:150 时间:120 分钟 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出 的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的) 1.全集 U ? ?0,1, 2,3? , CU A ? ?2? ,则集合 A ? A. {0,1,3} B. {1,3}
2

C. {0,3}

D. {2}

2.命题“ ?x0 ? R, 使x ? ax ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x0 ? R, 使x ? ax ? 1 ? 0
2

B. ?x0 ? R, 使x ? ax ? 1 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? ax ? 1 ? 0 成立
2

D. ?x ? R, x ? ax ? 1 ? 0 成立
2

3.已知复数 z 满足 3 ? 4i ? (1 ? i ) ? i ? z ( i 为虚数单位) ,则 z 的虚部为 A. ?5i B. ?5 C. 5i D. 5

4.若直线 ? 2t ? 3? x ? y ? 6 ? 0 不经过第二象限,则 t 的取值范围是

3 , +∞) 2 3 C.(-∞, ] 2
A.(

3 , +∞) 2 3 D.(-∞, ) 2
B.[

D1 A1 D A 甲 B B1

C1 A1 C

D1

C1

5.将正方体截去两个三棱锥,得到如图所示几何体, 则该几何体的左视图(沿向量 AB 方向)为

?
A 乙 B

C

??? ?

?x ? y ?1 ? 0 ? 6.已知变量 x,y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 1 ? 0 ,若 z ? mx ? y 仅在点 ?1, 0 ? 处取得最大值, ?x ? y ?1 ? 0 ?
则实数 m 的取值范围是 A. ?1, ?? ? B. ? ?1, ?? ? C. ? ??,1? D. ? ??, ?1?

7.设 l , m 为两条不同的直线, ? 为一个平面, m // ? ,则“ l ? m ”是“ l ? ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
1

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.若 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是 A.

1 1 ? ab 2

B.

1 1 ? ?1 a b

C. ab ? 2

D.

1 1 ? 2 8 a ?b
2

9.函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) 的部分图像可能是

A D

B

C

10.已知 y ? f ? x ? 是奇函数,当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? ln x ? ax ;当 x ? ? ?2, 0 ? 时,

y ? f ? x ? 的最小值为 1,则实数 a 的值为
A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D1
D. 1

C1 B1

A1
M O P

11.棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内接于球 O, 则过棱 AA1 和 BC 的中点 P 、 Q 的直线被球面截得的弦 MN 的长为

D B

C
Q N

A
A. 7 B. 2 2 C.3 D. 10

12.定义:设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ? ? x ? , f ? ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导 函数为 f ?? ? x ? . 若在区间 ? a, b ? 上 f ?? ? x ? ? 0 恒成立,则称函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上为“凸函数”. 若函数 g ? x ? ?

1 3 1 2 ,则函数 g ? x ? 在区间 ? ?1, 2 ? 上 x ? mx ? x 在区间 ? ?1, 2 ? 是“凸函数” 6 2
B.有极大值,没有极小值; D.有极大值,还有最小值.

A.有极大值,也有极小值; C.没有极大值,也没有极小值;

二、 填空题: (本大题共 4 个小题, 每小题 5 分, 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置.) 共 13.两条平行线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 间的距离是 .

2

14.已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ,若对任意的 x1 , x2 ? [2, ??) 且 x1 ? x2 ,

y

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围为


? Q O P

? 4 3? 15.如右图,已知单位圆上点 P ? , ? ? ,∠POQ=60°, ?5 5?
始边在 x 轴非负半轴的角 ? 的终边与射线 OQ 重合, 则 cos? = .

?

4 5 ,

_3
5

?

x

16.见右图,将甲图中边长为

5 2 ?2 的正方形铁皮, 2

A
P F

E

D

A

适当剪下圆 O 和扇形 A-EPF,使得它们恰好构成 乙图中圆锥的底面和侧面,则所得圆锥的体积 为 .

?
O

P O

E(F)

B 甲

C



三、解答题:(本大题共 6 个小题满分 70 分.解答 应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.) 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 S n . (1)求 an 及 S n ; (2)令 bn=

1 ( n ? N * ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=1, .

A1 B1
M N

C1
P

AC ? AA1 ? 3, BC ? 2 ,点 M 是 A1B 的中点,
点 N 是 B1C 的中点,连接 MN. (1)证明:MN⊥平面 ABB1A1; (2)若点 P 是 CC1 的中点,求四面体 B1-APB 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2

A B

C

?x

? cos(? x ? ) ?? ? 0 ? 的最小正周期为 ? . 2 3

?

(1)求实数 ? 的值,并求使得关于 x 的方程 f ? x ? ? m 在区间 ? 0, 值范围;

? 2? ? 上有解的实数 m 的取 ? 3 ? ?
1 , c ? 3 , ?ABC 的面积 2

(2)在锐角 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? ? .. 为3 3, 求角 A 的值和边 a 的值.

3

20. (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=AD=1,点 E、F、G 分别是各自所在棱的中点. (1)在棱 A1D1 所在的直线上是否存在一点 P,使得 PE 与平面 B1FG 平行? 若存在,确定点 P 的位置,并证明;否则说明理由. (2)求点 B1 到平面 EFG 的距离.

D1 A1
E

F
B1

C1

D
B

G

C

A

21. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? 1 ?

a ln x , g ( x) ? , 且 函 数 f ( x)在点(1, f (1)) 处 的 切 线 与 直 线 x x

x ? y ? 3 ? 0 垂直.
(1)求 a 的值; (2)证明: g ( x) ? f ( x)在x ? (0, ??) 内恒成立.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写 ...... . . . ........ . ... 清题号. 22.(本题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于 ? O ,且 AB 是 ? O 的直径, 过点 D 的 ? O 的切线与 BA 的延长线交于点 M. (1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; (2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? ,直线 l 的参数方程为: ?

?x ? 2 ? t ( t 为参 ? y ? ?1 ? 2t
4

数) . (1)写出圆 C 和直线 l 的普通方程; (2)点 P 为圆 C 上动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ? x ? a , a? R , a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,解不等式: f ( x) ? 2 ; (2)若 b? R 且 b ? 0 ,证明: f (b) ? f (a) ,并求在等号成立时

b 的取值范围. a

填空题 答案 解答题 17.

东北育才双语学校 2014 届高三第三次模拟考试 数学试题答题纸(文科) 13 14 15

16

5

18.

A1 B1
M N

C1
P

A B

C

6

19.

7

20.

D1 A1
E

F
B1

C1

D
B

G

C

A

8

21.

9

10

选做题:在所选题号上打对号 22、23、24

11

参考答案: 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A.2. D.3. B. 4. C.5.B 6.A. 7. B. 8. D.9.A

10. D.11. D. 12. B.

二、 填空题: (本大题共 4 个小题, 每小题 5 分, 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置.) 共

12

13.

3 5 4?3 3 ;14. a ? 2 ;15. ;16. 10 10

15 ?. 3

三、解答题:(本大题共 6 个小题满分 70 分.) 17. (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26

2 所以 an ? 3 ? (n ? 1)=2n+1 ; S n = 3n+
(2)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。??????6 分 2
2

1 1 1 1 1 1 1 = = ?( = ? ), 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 , )= ? (1- + ? +? + ) = ? (1n+1 4(n+1) 4 2 2 3 n n+1 4 n .?????12 分 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

18.(1)可以证明 MN∥AC,易于证明; (2)

1 . 2

19.解答:(Ⅰ)化简函数式得: f ( x) ? 3 cos(? x ? ∵函数的周期为 ? ,且 ? ? 0 ,∴ ? ? 2 ??2 分 于是 f ( x) ? 3 cos(2 x ?

?
6

) ?1,

?

? ? ? 3? ? ? 2? ? ) ? 1 ,而 x ? ? 0, ? ,得 2 x ? ? ? , ? , 6 ?6 2 ? 6 ? 3 ?
? 5?

进而得 f ( x) ? ?1 ? 3, ? ,所以要是方程有解, m 的取值范围是 ?1 ? 3 , ? .????6 2? 2? ? ? 分 (Ⅱ)可以求得 A=60°????8 分 进而有余弦定理可求得 a= 13 .????12 分 20. 依据面积得 b=4,????10 分

?

5?

P

13

(1)点 P 在 D1A1 的延长线上,满足 A1P= (2)利用体积相等法求解,结果为 1 21.

1 ,证明略; 4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写 清题号. 22.解:(1)因为 MD 为 ? O 的切线,由切割线定理知, MD =MA ?MB,又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB , ??????????????????2 分 所以 MA=3,AB=12-3=9. ?????????????????????????5 分
2

(2)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM, 连接 DB,又 MD 为 ? O 的切线,由弦切角定理知, ∠ADM=∠ABD, ?????????????????????????????7 分

又因为 AB 是 ? O 的直径,所以∠ADB 为直角, 即∠BAD=90°-∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD, 于是 90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. ??????????8 分 又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°,所以∠DCB=120°????10 分 23.解: (1)由已知 ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? 得 ? ? 2 ? ? sin ? ? ? cos ? ? ,
2

14

2 2 所以 x ? y ? 2 y ? 2 x ,即圆 C 的普通方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 . ????3 分
2 2

由?

?x ? 2 ? t ,得 y ? ?1 ? 2( x ? 2) ,所以直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 5 ? 0 . ?6 分 ? y ? ?1 ? 2t
2 ? ? ?1? ? 1 ? 5 2 ?1
2

(2)方法一:由圆的几何性质知点 P 到直线 l 的距离的最小值为圆心 C 到直线 l 的距离减 去圆的半径,令圆心 C 到直线 l 的距离为 d ,则 d ?

?

8 5 ,???9 分 5

所以最小值

8 5 ? 2 .??????????????????????????10 分 5

方法二:令 P ?1 ?

?

2 cos ? ,1 ? 2 sin ? ,??????????????????7 分

?

设点 P 到直线 l 的距离为 d .

d?

2 ? ?1 ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin ? ? 5 22 ? 1
10 cos ?? ? ? ? ? 8 5 ? 8 ? 10 5 ?

?

? ?

?

?

2 2 cos ? ? 2 sin ? ? 8 5

?

8 5 ? 2 .???????????????10 分 5

24.解: (1)因为 a ? 1 , 所以原不等式为 x ? 2 ? x ? 1 ? 2 .

1 ; ???????????????2 分 2 当 1 ? x ? 2 时, 原不等式化简为 1 ? 2 ,即 x ?? ; 5 当 x ? 2 时, 原不等式化简为 2x ? 3 ? 2 ,即 x ? . 2
当 x ? 1时, 原不等式化简为 1 ? 2 x ? 0 ,即 x ? 综上,原不等式的解集为 ? x | x ? (2)由题 f (a) ? a ,

? ?

1 5? 或x ? ? . ????????????????5 分 2 2?

f (b) ? b ? 2a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? 2a ? b ? b ? a ? a ,所以 f (b) ? f (a) ,8 分
又等号成立当且仅当 2a ? b 与 b ? a 同号或它们至少有一个为零, 从而 (2a ? b)(b ? a) ? 0 . 即 3ab ? 2a ? b ? 0 ,
2 2

即( ) ?
2

b a

3b b ? 2 ? 0 ,从而 1 ? ? 2 . ????????????????????10 分 a a

15


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