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职高公开课椭圆的性质


公 开 课 教 案



题:



级:



间:



点:

授课人:

学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。 教师:除了轴对称性外,还可能有什么对称性呢? 稍作提示容易发现中心对称性。 教师:这仅仅是由观察、猜想得到的结果,怎样用方程证明它的对称性? 师生讨论后,需要建立坐标系,确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在 x 轴上的椭圆的标准坐标系,它的方程就是
x a
2 2

+

y b

2 2

=1。

教师:这节课就以焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为例来研究椭圆的性质。 教师:这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴,我们先证椭圆关于 y 轴对称。 为了证明对称性,先作如下铺垫: (一起回顾) 教师:在第一册学过,曲线关于 y 轴对称是指什么呢? 学生:曲线上的每一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上。 教师:要证曲线上每一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上,只要证明----学生:曲线上任意一点关于 y 轴的对称点仍在曲线上。 在学生尝试进行问题解决的过程中,当他们难以把握问题解决的思维方向, 难以建立起新旧知识的联系时,这就需要教师适时进行启发点拨。 教师:同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程,仔细体会并思考“为什么 把 x 换成-x 时,方程不变,则椭圆关于 y 轴对称” 。 请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程,以此来训练学生表述的逻辑性、完 整性和推理的严谨性。 教师对学生的证明进行评价。 教师:用类似的方法可以证明椭圆关于 x 轴对称,关于原点对称。课件展示 对称性并总结:方程
x a
2 2

+

y b

2 2

=1 表示的椭圆,坐标轴是其对称轴,原点是其对称

中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心). 教师引导学生对这一环节进行反思,即通过建立坐标系,用椭圆的方程研究 椭圆的性质,这种方法我们今后经常用到。 投影显示下图及问题 y

o

x

问题:图中的椭圆有对称轴和中心吗? 指导学生思考讨论后获取共识:坐标系是用来研究曲线的重要工具,而椭圆 的对称性是椭圆本身固有的性质,无论椭圆在坐标系的什么位置,它都有两条互 相垂直的对称轴,有一个中心,与坐标系的选取无关。 (此问题也为后面研究平 移变换埋下伏笔) 。 2.顶点的发现与确定
1

教师: 我们研究曲线, 常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。 教师提问:你认为椭圆上哪几个点比较特殊? 由学生观察容易发现, 椭圆上存在着四个特殊点,这四个点就是椭圆与坐标 轴的交点,同时也是椭圆与它的对称轴的交点。 教师启发学生与一元二次函数的图像(抛物线)的顶点作类比,并给出椭圆 的顶点定义。 教师:能根据方程确定这四个顶点的坐标吗? 由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令 x=0,得 y=±b,因此 B1(0,-b), B2(0,b) ,令 y=0,得 x=±a,因此 A1 (-a,0), A2(a,0)。 结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长,半焦距, 点明方程中 a、b 和 c 的几何意义和数量关系。 由学生探究得出椭圆的一个焦点 F2 到长轴两端点 A1 , A2 的距离分别为 a+c 和 a-c。教师指出,这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。 3.图形的范围 教师:同学们继续观察椭圆,如果分别过 A1、A2 作 y 轴的平行线,过 B1、 B2 作 x 轴的平行线(课件展示) ,同学们能发现什么? 学生能答出:椭圆围在一个矩形内。 教师补充完整:椭圆位于四条直线 x=±a, y=±b 所围成的矩形里,说明椭圆 是有范围的。 教师:下面我们想办法再用方程
x a
2 2

+

y b

2 2

=1(a>b>0)来证明这一结论的正确

性。启发学生,用方程讨论图形的范围就是确定方程中 x、y 的取值范围。 从方程的结构特点出发,师生共同分析,给出证明过程。 由
x a
2 2

+

y b

2 2

=1,利用两个实数的平方和为 1,结合不等式知识得,

x 2 ≤a 2 且 y 2 ≤b 2 ,则有|x|≤a,|y|≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。 4.离心率 教师:我们在学习椭圆定义时,用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样 吗? 同学们能回答出:不一样,有的圆一些,有的扁一些。 请同学们思考:椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢? 课件动画演示 此时学生展开讨论,可能有的说与 a、c 有关,也可能说与 a、b 有关等等。 通过观察演示实验,化抽象为具体,引导学生思考。 教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线 x=±a,y=±b 围成的矩形 里,矩形的变化对椭圆形状的影响。 矩形越狭长,椭圆越扁;矩形越接近于正方形,椭圆越接近于圆;当矩形变 为正方形时,即 a=b 时,椭圆变为圆。 即当比值
b a

越小,椭圆越扁;比值

b a

越大,椭圆越接近于圆。

2

由于 越扁;当
c a

b a

=

a

2

? c a

2

=
b

a

2

? c a
2

2

=

1? (

c a

)

2

,所以当

c a

越大时, 越小,椭圆
a

b

越小时,

越大,椭圆越接近于圆。把比值 e=

c a

叫椭圆的离心率,

a

分析出离心率的范围:0<e<1。 结论:椭圆在- a<x<a,-b<x<b 内,离心率 e 越大,它就越扁;离心率 e 越接近于 0,它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。 由上面的分析可以看到,比值
c b a a

、 的大小都能反映椭圆的圆扁程度,为什
a

c

么定义 是椭圆的离心率呢?因为 a、c 这两个量是椭圆定义中固有的,是决定 椭圆形状最关键的要素,随着今后的学习可以看到 三.巩固与创新应用 例 1 求椭圆
x
2

c a

还有更重要的几何意义。

+

y

2

=1 的长轴长、 短轴长、 离心率和顶点, 并画出它的草图。

25

16

本题采用讲练结合的方式。 前一部分由学生口述求解过程,后一部分由教师 介绍画椭圆草图的方法(考虑到画草图对学生来说比较实用) 。 解:由于 a=5, b=4 ,c=
c a 3 5

25 ? 16

=3

椭圆的长轴长 2a=10,短轴长 2b=8 离心率 e= =

因为焦点在 x 轴上,所以椭圆的四个顶点的坐标是 (-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4) 教师: 根据椭圆的性质, 可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图, 方法如下: (课件展示) 首先确定椭圆的四个顶点, 其次画出表示范围的矩形框,然后画出椭圆在第 一象限的部分, 最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图 形。 教师提醒学生:画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。 学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。 教师说明,如果需要比较准确地画出椭圆,可以按教材例 1 那样,用描点法 画出椭圆在第一象限的部分, 再根据对称性画出整个椭圆(要求学生课下阅读教 材中的描点法作图) 。 练习:如果把例 1 中的椭圆方程改为
x
2

16

+

y

2

25

=1,则长轴长、短轴长、离心

率和顶点有什么变化。 此处是一个创新点, 培养学生用类比的思想解决问题的能力,也通过与上题 做比较,使学生体会到椭圆的性质是其本身固有的,是客观存在的,与坐标系的 选取无关。
3

学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错, 教师要予以 纠正。 (此题用实物投影展示或由学生到黑板板书) 例2 我国发射的“神舟五号”飞船在变轨前是沿以地球的中心 F2 为一个焦 点的椭圆轨道运行的。 已知它的近地点 A (离地面最近的点) 距地面约为 200km, 远地点 B(离地面最远的点)距地面约为 350km,地球半径为 6371km 并且 F2、 A、B 在同一直线上,求飞船运行的轨道方程。 (结果精确到 0.01km) 设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识 解决实际问题的能力;第二,为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。 师生共同分析:先把实际问题转化为数学问题。 (求神舟五号飞船的轨道方 程,就是求椭圆的方程) 。 教师:求椭圆的方程又需要先做什么呢?(建立坐标系) 。 怎样建系?(以过 A、B 的直线为 x 轴,F2 为椭圆的右焦点,记 F1 为左焦点 建立如图所示的直角坐标系(课件上作图、建系)则它的标准方程为
x a
2 2

+

y b

2 2

=1

(a>b>0)。 下面确定 a、b 的值,题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及 地球的半径,由这些条件我们可以知道些什么呢? 学生对照图形认真思考,相互讨论由学生得出解法。 |F2 A|=6371+200 ,|F2 B|=6371+350 又∵|F2 A|=|o A|-|oF2|=a-c 因此,有 a-c=|o A|-|oF2|=|F2 A|=6371+200=6571 同理,得 a+c=|o B|+|oF2|=|F2B|=6371+350=6721 解得 a=6646, c=75 2 2 2 b =a -c =(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 因此,飞船的轨道方程为
x
2 2

+

y

2 2

=1

6646

6645 . 58

学生可能出现的另一种解法: 由 2a =|AB|=|BN|+|NM|+|MA| =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c = | oF2 | = | o A | - | F2 A | =6646-6371-200=75 以下做法同上。 计算过程由学生用计算器求得。 教师最后课件展示:用计算机画出飞船运行的 轨迹。 四.总结提炼 教师:通过这节课学习,你学到了什么?(教师引导学生从知识和方法两方 面进行归纳总结,培养学生反思自己学习过程的意识) 1.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决 有关问题的基础。 2.数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法,平时学习中
4

注意运用。 3.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法(坐标 法) ,这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。 五.研究性作业 (1).以椭圆这部分内容为知识背景,以自述体的形式写一篇 200 字左右数学小 短文,题目为《我的自述》 ,下次课进行展读。 (本作业意图是,通过短文的形式 让学生反思学习过程,增强对椭圆知识的理解与领悟,提高学生数学表达能力, 拓展思维,彰显个性。 ) (2).在生活中搜集椭圆图形,把你最喜欢的两个图形建立两种不同形式的标 准坐标系,写出标准方程,指出它们的性质。 (3).自己查阅相关数据,编拟题目,利用椭圆的性质解决一个天体运行中的 实际问题。 (此题为增强学生的应用意识,提高学生运用数学知识解决实际问题 的能力。 ) 六.课外阅读 推荐一本科普读物《探索形状奥秘》 。 (本书知识性、 趣味兴很强,它图文并茂地揭示了人们日常目睹的各种形状 中蕴涵的科学道理,其中包括椭圆、抛物线等多种曲线。通过阅读欣赏,进一步 激发学生对数学的兴趣和探索的欲望,培养学生的科学素养。 ) 板书设计
椭圆的性质 一.性质 以方程
x a
2 2

+

y b

2 2

=1(a>b>0)为例研究

1.对称性.椭圆关于 x 轴、y 轴及原点对称. 2.顶点.顶点坐标:(a,0) , (-a,0), (0,b),(0,-b). 3.范围.椭圆位于 x=±a,y=±b 围成的矩形内. 4.离心率.e = 二.应用
c a

(0<e<1)

5


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