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控制工程基础第二章数学模型


控制工程基础 制 基
(第二章)

董景新 2008年春季学期 008年春季学期

第二章 控制系统的动态数学模型
一、系统数学模型的基本概念 系统数学模型的基本概念 二、控制系统的运动微分方程 三、非线性系统数学模型的线性化 四、拉氏变换和拉氏反变换 四 拉氏变换和拉氏反变换 五、传递函数以及典型环节的传递函数 六、系统函数方框图和信号流图 六 系统函数方框图和信号流图 七、控制系统传递函数推导举例 八、系统数学模型的MATLAB实现 九、小结

第二章 控制系统的动态数学模型

本章要熟悉下列内容: 本章要熟悉下列内容 建 建立基本环节(质量-弹簧-阻尼系统、电路 本 质 弹 系 网络和电机)的数学模型及模型的线性化 重要的分析工具:拉氏变换及反变换 重要的分析工具 拉氏变换及反变换 经典控制理论的数学基础:传递函数 控制系统的图形表示:方块图及信号流图 建立实际机电系统的传递函数及方块图 系统数学模型的MATLAB实现

第二章 控制系统的动态数学模型 建立控制系统的数学模型, 建立控制系统的数学模型 , 并在此基础上对控制系 统进行分析、 综合 , 是机电控制工程的基本方法。 统进行分析 、 综合, 是机电控制工程的基本方法 。 如 果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表 达式描述出来,就得到了组成物理系统的数学模型。 达式描述出来,就得到了组成物理系统的数学模型。 描 来 模 经典控制理论采用的数学模型主要以传 经典控制理论采用的数学模型主要以传 递函数为基础。 递函数为基础。而现代控制理论采用的数学 为基础 模型主要以状态空间方程为基础。 模型主要以状态空间方程为基础。而以物理 定律及实验规律为依据的微分方程又是最基 定律及实验规律为依据的微分方程又是最基 本的数学模型, 本的数学模型,是列写传递函数和状态空间 方程的基础。 方程的基础。

一、数学模型的基本概念

系统的数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 数学模型是描述系统输入 输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式,它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型:静态条件(变量各阶导数为 静态数学模型 静态条件(变量各阶导数为 零)下描述变量之间关系的代数方程。反映 系统处于稳态时,系统状态有关属性变量之 间关系的数学模型。

动态数学模型:描述变量各阶导数之间 关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡 态特性的模型。也可定义为描述实际系统各 物理量随时间演化的数学表达式。动态系统 的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号, 而且与它过去的工作状态有关。微分方程或 差分方程常用作动态数学模型。 差分方程常用作动态数学模型 对于给定的动态系统,数学模型表达不 唯一。工程上常用的数学模型包括:微分方 程,传递函数和状态方程。对于线性系统, 它们之间是等价的。

建立数学模型的方法 解析法 依据系统及元件各变量 间所遵循的物 或化 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式,建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出 响应,并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征,同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑

数学模型的形式 时间域:微分方程(一阶微分方程组)、 差分方程、状态方程 复数域:传递函数、结构图 复数域 传递函数 结构图 频率域:频率特性

二、控制系统的运动微分方程

建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程, 分析系统工作原理和信号传递变换的过程 确定系统和各元件的输入、输出量; 从输入端开始,按照信号传递变换过程,依 据各变量遵循的物理学定律,依次列写出各 元件、部件的动态微分方程; 消去中间变量,得到描述元件或系统输入、 消去中间变量 得到描述元件或系统输入 输出变量之间关系的微分方程; 标准化:右端输入,左端输出,导数降幂排列

机电控制系统的受控对象是机械系统。 机电控制系统的受控对象是机械系统 在机械系统中,有些构件具有较大的 惯性和刚度,有些构件则惯性较小、 柔度较大。在集中参数法中,我们将 前一类构件的弹性忽略将其视为质量 前一类构件的弹性忽略将其视为质量 块,而把后一类构件的惯性忽略而视 而把后 类构件的惯性忽略而视 为无质量的弹簧。这样受控对象的机 无质量的弹簧。这样受控对象的机 械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。 械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统

feeding driving device and its equivalent mechanical model

The d Th dynamical skid platform of i l kid l tf f an aggregate machine tool mills

控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象,都可 机械系统中以各种形式出现的物理现象 都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素: 质量
fm(t) m x (t) v (t) 参考点
2

d d f m (t ) = m v(t ) = m 2 x(t ) dt dt

弹簧
x1(t) v1(t) fk(t) k x2(t) v2(t) fk(t)

对于弹簧, 受力相同, 变形量不同。

f k (t ) = k [ x1 (t ) ? x2 (t ) ] = kx(t ) = k∫

[v1 (t ) ? v2 (t )] dt ?∞
t t ?∞

= k ∫ v(t )dt

阻尼
v1(t) x1(t) fD(t) D v2(t) x2(t) fD(t)

f D (t ) = D [ v1 (t ) ? v2 (t )] = Dv(t ) ? dx1 (t ) dx2 (t ) ? = D? ? ? dt dt ? ? dx(t ) =D dt

机械平移系统
fi(t) m 0 xo(t) k D fk(t) fD(t) m fi(t) fm(t) 静止(平衡)工作点作为 零点,以消除重力的影响 0 xo(t)

机械平移系 机械平移系统 及其力学模型

? d2 ? fi (t ) ? f D (t ) ? f k (t ) = m dt 2 xo (t ) ? ? kx ? f k (t ) = k o (t ) ? d ? f D (t ) = D xo (t ) ? dt ?

d2 d m 2 yo (t ) + D yo (t ) + kyo (t ) = f i (t ) dt dt

式中,m、D、k通常均为常数,故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。 阶常系数微分方程描 显然,微分方程的系数取决于系统的结 构参数,而阶次等于系统中独立储能元 件(惯性质量、弹簧)的数量 件(惯性质量、弹簧)的数量。

弹簧-阻尼系统
fi(t) 0 xo( ) (t) k D

f i (t ) = f D (t ) + f k (t )
d D xo (t ) + kxo (t ) = fi (t ) dt

系统运动方程为 阶常系数 系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
弹簧-阻尼系统 弹簧 阻尼系统

机械旋转系统 0 θi(t) Tk(t)
k

θo(t) 0
J TD(t)

柔性轴 齿轮 轮 D

粘性液体

J —旋转体转动惯量;k —扭转刚度系数; 旋转体转动惯量 k 扭转刚度系数 D —粘性阻尼系数

? ?Tk (t ) = k [θi (t ) ? θ o (t ) ] ? d ? ?TD (t ) = D θ o (t ) dt ? ? d2 ? J 2 θ o (t ) = Tk (t ) ? TD (t ) ? dt

d2 d J 2 θ o (t ) + D θ o (t ) + kθ o (t ) = kθ i (t ) dt dt

电气系统 电气系统三个基本元件:电阻、电容和电感。 电阻 i(t) R u(t)

u (t ) = R ? i (t )

电容 i(t) C u(t) 电感 i(t) L u(t)

1 u (t ) = ∫ i (t )dt C

di (t ) u (t ) = L dt

R-L-C无源电路网络 L

R

ui(t) ()

i(t)

C

uo(t) ()

R-L-C无源电路网络
d 1 ? ?ui (t ) = Ri (t ) + L dt i (t ) + C ∫ i (t )dt ? ? ?uo (t ) = 1 i (t )dt ∫ ? ? C

d d LC 2 uo (t ) + RC uo (t ) + uo (t ) = ui (t ) dt dt
2

一般R、L、C均为常数,上式为二阶常系数微 分方程。 若L=0,则系统简化为: 若L 0 则系统简化为

d RC uo (t ) + uo (t ) = ui (t ) dt

有源电路网络 ui(t) i1(t) ()
R a ? +

i2(t)
C

uo(t)

?ua (t ) ≈ 0 ? ?i1 (t ) ≈ i2 (t )

ui (t ) duo (t ) = ?C dt R

duo (t ) 即: RC = ?ui (t ) (t dt

电动机

T (t ) = K T ia (t )
dia (t ) ei (t ) = Ra ia (t ) + La + em (t ) dt
基尔霍夫定律 电磁感应定律

dθ o (t ) em (t ) = K e dt

dθ o (t ) d 2θ o (t ) 牛顿第二定律 牛顿第 定律 T (t ) ? D =J 2 dt dt

&&& && & La Jθ o (t ) + ( La D + Ra J ) θ o (t ) + ( Ra D + KT K e ) θ o (t ) = KT ei (t )

为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型 当电枢电感较小时,通常可忽略不计, 当电枢电感较小时 通常可忽略不计 系统微分方程可简化为

& & Ra Jθ&o (t ) + (Ra D + K T K e )θ o (t ) = K T ei (t )

小结 物理本质不同的系统,可以有相同的数学模 型,从而可以抛开系统的物理属性,用同 型,从而可以抛开系统的物理属性,用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方 法) 。 从动态性能看,在相同形式的输入作用 下,数学模型相同而物理本质不同的系统 其输出响应相似。相似系统是控制理论中 其输出响应相似 相似系统是控制理论中 进行实验模拟的基础。

通常情况下,元件或系统微分方程的阶次等 通常情况下 元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元(惯性 质量、弹性要素、电感、电容等)的个数; 质量 弹性要素 电感 电容等)的个数 因为系统每增加一个独立储能元,其内部就 多一层能量(信息)的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性,仅 系统的动态特性是系统的固有特性 仅 取决于系统的结构及其参数,与系统的输 入无关。

线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数,则为线性定常系统;如果方程的 系数是时间t的函数,则为线性时变系统; 线性是指系统满足叠加原理,即: 可加性: f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) 齐次性: f (α x ) = α f ( x ) 齐次性 或: f (αx1 + β x2 ) = αf ( x1 ) + β f ( x2 ) 或

非线性系统 用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。 满足叠加原理 实际的系统通常都是非线性的,线性只在 实际的系统通常都是非线性的,线性只在一 定的工作范围内成立。 为分析方便,通常在合理的条件下, 为分析方便 通常在合理的条件下 将非线性系统简化为线性系统处理。

线性系统微分方程的一般形式
dn d n?1 d x (t ) + a1 n?1 xo (t ) + L + an?1 xo (t ) + an xo (t ) n o dt dt dt dm d m?1 d = b0 m xi (t ) + b1 m?1 xi (t ) + L + bm?1 xi (t ) + bm xi (t ) dt dt dt

式中,a1,a2,…,an和b0,b1,…,bm 式中 b b 为由系统结构参数决定的实常数,m≤n。

三、Mathematical model

linearization
线性化问题的提出 非线性现象:机械系统中的高速阻尼器,阻 非线性现象 机械系统中的高速阻尼器 阻 尼力与速度的平方有关;齿轮啮合系统由 于间隙的存在导致的非线性传输特性;具有 铁芯的电感,电流与电压的非线性关系等。 线性化:在一定条件下作某种近似或 缩小系统工作范围,将非线性微分方程 近似为线性微分方程进行处理。

线性化的提出 线性系统是有条件存在的 只在 定的 作 线性系统是有条件存在的,只在一定的工作 范围内具有线性特性; 非线性系统的分析和综合是非常复杂的; 线性系 的 析 综合 常复杂的 对于实际系统而言,在 定条件下,采用线 对于实际系统而言 在一定条件下 采用线 性化模型近似代替非线性模型进行处理,能 够满足实际需要。 够满足实际需要

非线性系统数学模型的线性化 泰勒级数展开法 函数y=f(x)在其平衡点(x0, y0)附近的泰勒级 数展开式为: 式
df ( x) y = f ( x) = f ( x0 ) + ( x ? x0 ) dx d x=x
0

1 d 2 f ( x) 1 d 3 f ( x) 2 + ( x ? x0 ) + ( x ? x0 )3 + L 2! dx2 x = x 3! dx3 x = x
0 0

略去含有高于 次的增量Δx x x 略去含有高于一次的增量Δx=x-x0的项,则:
df ( x ) y = f ( x0 ) + ( x ? x0 ) dx d x=x
df (x ) 或:y - y0 = Δy = KΔx, 其中:K = dx x = x
0
0

上式即为非线性系统的线性化模型,称为增 量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程; 由于反馈系统不允许出现大的偏差,因此, 这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际 意义。 意义

增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移 到系统或元件的平衡工作点上,对于实际系统 就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点, 这时,系统所有的初始条件均为零。 对多变量系统,如 y 对多变量系统,如:y = f (x1, x2),同样可采用 ( 泰勒级数展开获得线性化的增量方程。

?f y = f ( x10 , x20 ) + ?x1

x1 = x10 x2 = x20

?f ( x1 ? x10 ) + ?x2

x1 = x10 x2 = x20

( x2 ? x20 ) + L

增量方程: y ? y0 = Δy = K1Δx1 + K 2 Δx2 静态方程: y0 = f ( x10 , x20 )
?f 其中: K1 = ?x1 ?f , K2 = x1 = x10 ?x2
x2 = x20

x1 = x10 x2 = x20

滑动线性化——切线法 滑动线性化 切线法 线性化增量方程为: 线性化增量方程为 Δy ≈ Δy' =Δx?tgα 切线法是泰勒级 数法的特例。 数法的特例
0 y0 y f(x) y=f(x) Δy’ Δ ’

A

α Δx

Δy

x0 非线性关系线性化

x

系统线性化微分方程的建立 步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点; 列出各组成元件在工作点附近的增量方程; 消除中间变量,得到以增量表示的线性化微 消除中间变量 得到以增量表示的线性化微 分方程;

实例:单摆运动线性化 解:根据牛顿第二定律:

Ti (t ) ? mgl sin θ o (t ) = ml θ o (t )
2

..

将非线性项 sin θ o 在θ o = 0 点附近泰勒展开

ml θ o (t ) + mglθ o (t ) = Ti (t )
2

..

实例:阀控液压缸

QL0 = f ( pL0 ,x0 ) ,

? ?f ( p L ,x ) ? QL = f ( p L0 , 0 ) + ? ,x ? x = x0 ? Δx ? ?x ? p L = p L0 ? ?f ( p L ,x ) ? +? ? x = x ? Δp L + L ? ?p L ? p L =0p L0
Δ QL = K q Δx ? K c Δ p L
? ?f ( pL ,x ) ? Kq = ? ? x = x0 , ? ?x ? pL = pL0 ? ?f ( pL ,x )? Kc = ?? ? x= x ? ?pL ? pL =0pL0

d (Δy ) 液压腔工作腔流动连续性方程为: Q = A Δ dt 液压腔力平衡方程为:

d (Δy ) d (Δy ) ΔpL A = M +D 2 dt dt
2

K c M d (Δy ) ? K c D ? d ( Δy ) ? +? + A? = K q (Δx) 2 A dt ? A ? dt
2

Kc M ? Kc D ? & ? &&(t ) + ? y + A ? y (t ) = K q x(t ) A ? A ?

线性化方法:假设变量相对于某一工作状态(平 衡点)偏差很小。设系统的函数关系为 衡点)偏差很小 设系统的函数关系为

y (t ) = f ( x (t ))

简写为 简 为 y = f (x )。如果系统的工作平衡点为 x, y , 如果系统的 作平衡点为 则方程可以在 x 点附近台劳展开
df ( x ) 1 d 2 f (x ) y = f ( x) = f ( x ) + (x ? x ) + ( x ? x )2 + L dx 2 dx 2

如果 x ? x 很小,可以忽略其高阶项,因 此上述方程可写成增量方程形式 其中 Δy = y ? y = y ? f ( x ) , x = x ? x,K = df Δ

Δy = K Δx

dx

x= x

线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关; 线性化是有条件的,必须注意线性化方程适 用的工作范围; 用的工作范围 某些典型的本质非线性,如继电器特性、 间隙、死区、摩擦等,由于存在不连续点, 不能通过泰勒展开进行线性化,只有当它 们对系统影响很小时才能忽略不计,否则 只能作为非线性问题处理。 只能作为非线性问题处理

近似特 性曲线

out

out

0 in 真实特性 饱和非线性 out

0 死区非线性

in

out

0 间隙非线性

in

0

in

继电器非线性

四、Laplace transform and its inverse transform Laplace transform Laplace(拉普拉斯)变换是描述、分析连续、 L l (拉普拉斯)变换是描述 分析连续 线性、时不变系统的重要工具! 2.3.1
Definition of Laplace transform

拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。 拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换 拉 变换 解为广义单边傅立叶变换 解为广义单边傅立叶变换。 傅氏变换建立了时域和频域间的联系,而拉氏 变换建立了时域和复频域间的联系。 变换建立了时域和复频域间的联系。

设函数f(t) (t≥0)在任一有限区间上分段连续, (t≥0)在任 有限区间上分段连续, 且存在一正实常数σ,使得:
lim e
t→ ∞ ?σt

f (t ) → 0

则函数f(t)的拉普拉氏变换存在,并定义为:

F ( s ) = L[ f (t )] ≡ ∫ f (t )e dt
∞ 0 ? st

式中:s=σ+jω(σ,ω均为实数)为复变数; 式中 +j ( 均为实数)为复变数

∫0



e ? st dt 称为拉普拉氏积分;

F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数, 它是一个复变函数;f(t)称为F(s)的原函数; L为拉氏变换的符号。 L为拉氏变换的符号
Laplace inverse transform

1 σ + j∞ st f (t ) = L [F ( s )] = ∫σ ? j∞ F ( s )e ds , t > 0 2πj
?1

1为拉氏反变换的符号。 L-1为拉氏反变换的符号

Laplace transforms of simple functions p p Unit step function 1(t) f(t) 1

?0 1(t ) = ? ?1
∞ 0

t<0 t≥0
? st

L [ ( t ) ] = ∫ 1( t ) e 1

dt

0

单位阶跃函数

t

∞ 1 ? st 1 = ? e = s s 0

(Re( s ) > 0 )

Exponential function E ti l f ti

f ( t ) = e ? at (a为常数)

f(t) 1

L[e

? at

]= ∫ e =∫ e
∞ 0

∞ 0

? at

? e dt dt d
0 指数函数 t

? st

?( s + a )t

1 = , (R ( s + a) > 0) (Re( s+a

Sine f Si function and Cosine function ti dC i f ti f(t) ∞ 1 L[ ω t ] = ∫0 cos ω t ? e ?st dt [cos

L[sin ω t ] = ∫0 sin ω t ? e ? st dt



f(t)=sinωt

由欧拉公式,有:
1 jω t ? jω t e ?e sin ω t = 2j 1 jω t cos ω t = e + e ? jω t 2

0

t

(

)

-1 f(t)=cosωt 正弦及余弦函数

(

)

从而:

1 ∞ jωt ? st ∞ ? jωt ? st L[sin ω t ] = ∫0 e e dt ? ∫0 e e dt 2j 1 ? 1 1 ? ? = ? s ? jω ? s + jω ? ? 2j? ?

(

)

ω = 2 2 s +ω

(Re( s) > 0)

s 同理: L [cos ω t ] = 2 s +ω2

unit-impulse function δ(t)

?0 ? δ (t ) = ? 1 lim ?li→0 ε ?ε
∞ 0 ε →0

( t < 0且 t > ε ) (0 < t < ε )

f(t) 1 ε

L[δ (t )] = ∫ li lim ? e ? st d dt 1

ε

1 = li lim (1 ? e ?ε s ) ε →0 ε s

0 ε 单位脉冲函数 单

t

1 (1 ? e ?ε s )′ lim lim 由洛必达法则: li→0 (1 ? e ?ε s ) = li→0 由洛必达法则 ε ε εs (ε s )′

ε ? e ?ε s =1 所以: L[δ ( t )] = lim ε →0 ε

unit-ramp function

?0 t < 0 f (t ) = ? ?t t ≥ 0
L[ f (t )] = ∫ te ? st dt
∞ 0 ? st ∞

f(t) 1

e =t ?s 1 = 2 s

0

e ? st ∞ ? ∫0 dt ?s

0

1 单位速度函数

t

(Re(s) > 0)

Parabolic function

?0 ? f (t ) = ? 1 2 ?2 t ?
∞ 0

t<0 t≥0

f(t)

1 2 ? st L[ f (t )] = ∫ t e dt 2 1 (Re(s) > 0) = 3 s

0 t 单位加速度函数

Power function


t n ? 1(t )

n! L ?t ?1( t ) ? = ∫ t e dt = n +1 ∫ u e du = n +1 ? ? s 0 s 0
n n ? st

1



n ?u

函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏 变换表直接或通过 定的转换得到。 变换表直接或通过一定的转换得到。

拉氏变换积分下限的说明 在某些情况下,函数f(t)在t=0处有一个脉冲函 数。这时必须明确拉氏变换的积分下限是0 - 还是0+,并相应记为:

L+ [ f (t )] = ∫ f (t )e dt
∞ 0+ ? st

L? [ f (t )] = ∫ f (t )e ? st dt
∞ 0?

= L+ [ f (t )] + ∫ f (t )e ? st dt
0+ 0?

Characters of Laplace transform Ch t fL l t f
Superposition principle

齐次性:L[af(t)]=aL[f(t)],a为常数; [ f( )] [f( )] 叠加性:L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)] a,b为常数; b为常数 显然,拉氏变换为线性变换。

Differentiation theorem (实微分定理)

? df (t ) ? L? ? = sF ( s ) ? f (0), ? dt ?

f ( 0) = f ( t ) t = 0

? ? d 2 f (t ) ? = s 2 F ( s ) ? sf (0) ? f ′(0) ?L ? ? dt 2 ? ? ? ? ?LL ? ? d n f (t ) ? ?L = s n F ( s ) ? s n ?1 f (0) ? s n ? 2 f ′(0) ? L ? f ( n ?1) (0) ? ? ? dt n ? ? ?

式中,f '(0),f ''(0),……为函数f(t)的各 ( ),f ( ), 为函数f( )的各 阶导数在t=0时的值。

当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时(零 初始条件):
? ? df (t ) ? ? L ? dt ? = sF ( s ) ? ? ? ? ? d 2 f (t ) ? 2 ? L ? dt 2 ? = s F ( s ) ? ? ? ?LL ? ? ? d n f (t ) ? n ?L? d n ? = s F ( s) ? ? dt ?

当f(t)在t=0处具有间断点时,df(t)/dt在t=0处 当 在 处具有间断点时 在 处 将包含一个脉冲函数。故若f(0+) ≠ f(0-),则: f f

? df (t ) ? L+ ? = sF ( s ) ? f (0 + ) ? dt ? ? ? df (t ) ? ? L? ? ? = sF ( s ) ? f (0 ) ? dt ?

复微分定理 若L[f(t)]=F(s),则除了F(s)的极点之外,有:
d F ( s ) = ? L[tf (t )] f ds d2 F ( s ) = L t 2 f (t ) ds 2 LL

[

] ]
(n = 1, 2, 3, L)

dn F ( s ) = (?1) n L t n f (t ) ds d n

[

Integral theorem g
F ( s ) f ( ? 1) ( 0 ) L ∫ f (t )dt = + , s s

[

]

f ( ?1) (0) = ∫ f (t )dt

t=0

当初始条件为零时 若f( 若f(0+) ≠ f(0-),则: f(

L

[∫

1 f ( t ) dt = F ( s ) s

]

F ( s ) f ( ?1) (0 + ) L+ [∫ f (t )dt ] = + s s F ( s ) f ( ?1) (0 ? ) L? [∫ f (t )dt ] = + s s

同样
? ? 1 1 ( ?1) 1 ( ? n +1) L ? ∫ L∫ f ( t ) dt ? = n F ( s ) + n ?1 f ( 0) + L + f ( 0) s s ? s ?{ ? n ?

当初始条件为零时
? ? 1 L ? ∫ L∫ f (t )dt ? = n F ( s ) ?{ ? s ? n ?

Time-delay theorem f(t) f(t) f(t-τ)

0

τ

函数 f(t-τ)

t

设当t<0时,f(t) 0,则对任意τ≥0,有: 设当t<0时,f(t)=0,则对任意τ≥0,有:

L[x(t ? a ) ? 1(t ? a )] = e

? as

X (s )

Attenuation theorem

L[e ? at f (t )] = F ( s + a )
ω 例:L[sin ωt ] = 2 s +ω2
Le

s L[cos ωt ] = 2 s +ω2

( s + a) 2 + ω 2 ( s + a) ? at t L e cos ωt = ( s + a) 2 + ω 2

[ [

? at

sin ωt =

]

ω

]

Initial value theorem
t →0

lim f (t ) = f (0 + ) = lim sF ( s ) +
s →∞

Final value theorem

若 ( )的所有极点位于左半 平面, 若sF(s)的所有极点位于左半s平面, 即
lim f (t ) 存在。则 t →∞
t →∞

lim li f (t ) = f ( ∞ ) = li sF ( s ) lim F
s →0

Imagine function of convolution integral

L[ f (t ) ? g (t )] = F ( s )G ( s )
其中,f(t)?g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。 若t<0时, f(t)=g(t)=0,则f(t)和g(t)的卷积可 表示为
f (t ) * g (t ) ≡ ∫0 f (t ? τ ) g (τ )dτ = ∫0 f (τ ) g (t ? τ )dτ
t t

?t? f? ? Image function of ?a?

? ? t ?? L ? f ? ?? = aF (as) ? ? a ??

a = constant > 0

例: L[e ?t ] = F ( s) =
Le

1 s +1

[ ]
?t / a

a = aF (as) = as + 1

● inverse transform
The method of partial fraction expansion

部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量: 如果 的拉氏变换 分解成为下列分量 F(s) F (s) F (s) … F F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) 假定F1(s), F2(s), …,Fn(s)的拉氏反变换可 以容易地求出,则 以容易地求出 则 L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t)

在控制理论中,通常
B( s) b0 s m + b1s m ?1 + L + bm ?1s + bm = F ( s) = A( s) a0 s n + a1s n ?1 + L + an ?1s + an ( n ≥ m)

为了应用上述方法,将F(s)写成下面的形式
B( s ) c0 s m + c1s m?1 + L + cm?1s + c0 F ( s) = = A( s ) ( s + p1 )( s + p2 ) L( s + pn )

式中,p1,p2,…,pn为方程A(s)=0的根的负 值,称为F(s)的极点;c b /a 值 称为F( )的极点 i=bi / 0 (i = 0 1 0,1,…,m)。 ) 此时,即可将F(s)展开成部分分式。

There are only single real poles in F(s)
n B( s ) A1 A2 An Ai F ( s) = = + +L+ =∑ A( s ) s + p1 s + p2 s + pn i =1 s + pi

式中,A 为常数,称为s 式中 Ai为常数 称为 = -pi极点处的留数 极点处的留数。

Ai = [F ( s ) ? ( s + p i ) ]s = ? p i
于是
Ai ? n L [ F ( s )] = L ? ∑ = ∑ Ai e ? pi t s + pi ? i =1 ?i =1 ?
?1 n ?1 ?

s2 ? s + 2 例:求 F ( s ) = 2 的原函数。 s ( s ? s ? 6)
s2 ? s + 2 s2 ? s + 2 A1 A2 A3 = = + + 解:F ( s ) = 2 s( s ? s ? 6) s( s ? 3)( s + 2) s s ? 3 s + 2
A1 = [sF ( s )]s = 0 ? s2 ? s + 2 ? 1 =? =? ? ( s ? 3)( s + 2) ? s = 0 3 ?

? s2 ? s + 2 ? 8 A2 = [( s ? 3) F ( s )]s = 3 = ? = ? s ( s + 2) ? s = 3 15 ?

A3 = [( s + 2) F ( s )]s = ?2

? s2 ? s + 2 ? 4 = =? ? s ( s ? 3) ? s = ?2 5 ?

1 1 8 1 4 1 + ? 即: 即 F ( s) = ? ? + ? 3 s 15 s ? 3 5 s + 2

1 8 3t 4 ? 2 t f (t ) = L [ F ( s)] = ? + e + e 3 15 5
?1

(t ≥ 0)

There are complex-conjugate poles in F(s) p j g p ()

方法1
F ( s) =

假设F(s)含有一对共轭复数极点-p1、 -p2,其余极点均为各不相同的实数极点,则
B( s ) A1s + A2 A3 An = + +L+ A( s ) ( s + p1 )( s + p2 ) s + p3 s + pn

式中,A 式中 A1和A2的值由下式求解:

[F ( s)( s + p1 )( s + p2 )]s = ? p1或s = ? p2 = [A1s + A2 ]s = ? p1或s = ? p2
上式为复数方程,令方程两端实部、虚 部分别相等即可确定A1和A2的值 的值。

方法2

此时F(s)仍可分解为下列形式:

n B( s ) A1 A2 An Ai F ( s) = = + +L+ =∑ A( s ) s + p1 s + p2 s + pn i =1 s + pi

由于p1、p2为共轭复数,因此, A1和A2的也为 共轭复数。

Ai = [F ( s ) ? ( s + p i ) ]s = ? p i

方法1例:求 F ( s ) =

s + 1 的原函数。 2 s ( s + s + 1)

A0 A1s + A2 s +1 F = + 2 解: ( s ) = ? 1 3 ?? 1 3 ? s s + s +1 ?? s + ? j ? s? s + + j ? ?? 2 2 ?? 2 2 ? ? ?

A0 = sF ( s ) s =0 = 1 F
( s + s + 1) F ( s )
2 1 3 s=? ? j 2 2

= ( A1s + A2 ) s = ? 1 ? j
2

3 2

1 ? 1 ?? 2 ( A1 + A2 ) = 2 ? 即:? ? A1 = ?1, ? 3 (A ? A ) = ? 3 1 2 ? 2 2 ?

A2 = 0

s 1 所以: F ( s ) = ? 2 s s + s +1
1 s = ? 2 2 s ? 1? ? 3? ? ?s + ? +? ? 2? ? 2 ? ? ?

1 1 s+ 1 2 2 = ? + 2 2 2 2 s ? 1? ? 3? 1? ? 3? ? ? ? ?s + ? +? ?s + ? +? ? 2? ? 2 ? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ?
1 3 s+ 1 1 2 2 = ? + 2 2 2 2 s ? 3? 1? ? 3? 1? ? 3? ? ? ? ?s + ? +? ?s + ? +? ? 2? ? 2 ? 2? ? 2 ? ? ? ? ?

f (t ) = 1 ? e

?t 2

3 1 ?t 2 3 t+ e sin t cos 2 2 3

2 ?t 2 ? 3 3 1 3 ? cos = 1? e ? t + sin t? ? 2 2 2 2 ? 3 ? ? ? 2 ?t 2 ? 3 ? = 1? e sin ? t + 60 ? , t ≥ 0 ? 2 3 ? ?

方法2例:X (s ) = 解:

s +1 s3 + s 2 + s
a3 + + s 1 3 1 3 s+ + j s+ ? j 2 2 2 2 a1 a2

s +1 X (s ) = 3 = 2 s +s +s

? s +1 ? 1 3 ?? ?? a1 = ? 3 ?? s + + j 2 ? s +s +s ? 2 2 ?? 1 ? ?? s=? ? j ?
2

3 2

1 3 =? + j 2 6

1 3 a2 = ? ? j 2 6

? s +1 ? a3 = ? 3 2 ? s? = 1 ? s + s + s ? s =0
1 3 1 3 ? +j ? ?j s +1 2 6 + 2 6 +1 X (s ) = 3 2 = s +s +s 1 3 1 3 s s+ + j s+ ? j 2 2 2 2



?1 ?1 3? 3? ?? 1 ? ?? 2 + j 2 ?t ? 1 ? ?? 2 ? j 2 ?t ? ? ? ? ? 3 3 ? ? x ( t ) = ?? ? + j e? +?? ? j e? + 1? ?1( t ) ? ? ? 2 ? ? 2 ? 6 ? 6 ? ?? ? ? ? ? ? ?1t ? 3 3 3 ? ? 2 = ?e ? ? 3 sin 2 t ? cos 2 t ? + 1? ?1( t ) ? ? ? ? ? ? ?

There are repeated poles in F(s)

设F(s)存在r重极点-p0,其余极点均不同,则
B(s) b0sm + b1sm?1 +L+ bm?1s + bm F (s) = = A(s) (s + p0 )r (s + pr +1 )L(s + pn )
A01 A02 A0r An Ar +1 = + +L+ + +L+ r r ?1 (s + p0 ) (s + p0 ) (s + p0 ) (s + pr +1) (s + pn )

式中,Ar+1,…,An利用前面的方法求解。

A01 = [ F ( s)(s + p0 ) ]s=? p0
r

?d r ? A02 = ? [ F ( s )( s + p0 ) ]? ? ds ? s =? p0

1 ? d2 r ? A03 = ? 2 [ F ( s)(s + p0 ) ]? 2! ? ds ? s =? p
……

0

1 ? d r ?1 r ? A0 r = ? r ?1 [ F ( s)( s + p0 ) ]? (r ? 1)! ? ds ? s =? p

0

注意到:

? ? t n ?1 ? p0 t 1 L?1 ? = e n? ? ( s + p0 ) ? ( n ? 1)!
所以:

f (t ) = L?1[ F ( s )] ? A01 r ?1 ? ? p0 t A02 r ? 2 =? t + L + A0 r ? e t + (r ? 2)! ? (r ? 1)! ? ? pn t ? p r +1t + Ar +1e + L + An e (t ≥ 0)

例:求

s+3 F ( s) = ( s + 2) 2 ( s + 1)

的原函数。

A01 A02 A3 + + 解: F ( s ) = 2 s + 2 s +1 ( s + 2)
? s + 3? A01 = F ( s )( s + 2) 2 s = ?2 = ? = ?1 ? ? s + 1 ? s = ?2

[

]

?d A02 = ? F ( s )( s + 2) 2 ? ds

[

]

? d ? s + 3?? ? =? ? ? ?? ? s =?2 ? ds ? s + 1 ? ? s =?2

? ( s + 3)′( s + 1) ? ( s + 3)( s + 1)′ ? =? ? ( s + 1) 2 ? ? s =?2 = ?2

A3 = [F ( s )( s + 1)]s = ?1 = 2
F ( s) = ?1 2 2 ? + ( s + 2) 2 s + 2 s + 1

于是

f ( t ) = L [ F ( s )] = ? (t + 2 ) e ? 2 t + 2 e ? t (t ≥ 0 )

?1

Solve di S l ordinary differential equation by Laplace transform diff ti l ti b L l t f

求解步骤 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方 程; 解代数方程,得到有关变量的拉氏变换表 达式; 应用拉氏反变换,得到微分方程的时域解。 应用拉 反变换 得到微分方程的时域解

原函数 (微分方程的解)

拉氏反变换

象函数 解 代 数 方 程

微分方程

拉氏变换

象函数的 代数方程

拉氏变换法求解线性微分方程的过程

实例 设系统微分方程为:
d 2 xo (t ) dx d o (t ) +5 + 6 xo (t ) = xi (t ) 2 dt dt

若x 若 i (t) =1(t),初始条件分别为x'o(0)、xo(0), 初始条件分别为 试求xo(t)。 解:对微分方程左边进行拉氏变换
? d 2 xo (t ) ? 2 ′ L? = s X o ( s ) ? sxo (0) ? xo (0) 2 ? ? dt ?

dx ? d o (t ) ? L ?5 ? = 5sX o ( s ) ? 5 xo (0) ? dt ?

L[6 xo (t )] = 6 X o ( s )
? d 2 xo (t ) ? dxo (t ) 即: L ? +5 + 6 xo (t )? 2 dt ? dt ? ′ = ( s 2 + 5s + 6) X o ( s ) ? ( s + 5) xo (0) ? xo (0)

对方程右边进行拉氏变换
1 L[xi (t )] = X i ( s ) = L[1(t )] = s

从而:
1 ′ ( s + 5s + 6) X o ( s ) ? [( s + 5) xo (0) + xo (0)] = s
2

′ 1 ( s + 5) xo (0) + xo (0) + X o ( s) = 2 s 2 + 5s + 6 s( s + 5s + 6) A1 A2 A3 B1 B2 = + + + + s s+2 s+3 s+2 s+3

1 1 ? ? A1 = ? 2 = ? ? s + 5s + 6 ? s = 0 6 1 ? 1 ? A2 = ? =? ? 2 ? s( s + 3) ? s = ?2
1 ? 1 ? = A3 = ? ? ? s( s + 2) ? s = ?3 3 ′ ? ( s + 5) xo (0) + xo (0) ? ′ B1 = ? = 3xo (0) + xo (0) ? s+3 ? ? s = ?2 ′ ? ( s + 5) xo (0) + xo (0) ? ′ B2 = ? = ?2 xo (0) ? xo (0) ? s+2 ? ? s = ?3

所以
′ ′ 2 + 3 + 3 xo ( 0 ) + xo ( 0 ) + ? 2 xo ( 0 ) ? xo ( 0 ) X o (s) = 6 + s s+2 s+3 s+2 s+3 1 ?1 1

状态响应

1 1 ?2t 1 ?3t 零输入响应 xo (t ) = ? e + e 6 2 3 ′ ′ + [3xo (0) + xo (0)]e?2t ? [2xo (0) + xo (0)]e?3t

(t ≥ 0)

当初始条件为零时:
1 1 ? 2t 1 ? 3t xo (t ) = ? e + e 3 6 2 (t ≥ 0)

由上述实例可见: 由上述实例可见 应用拉氏变换法求解微分方程时,由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式 中,因此,不需要根据初始条件求积分常数 中 因此 不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。 如果所有的初始条件为零,微分方程的 拉氏变换可以简单地用s 拉氏变换可以简单地用 n代替dn/dtn得到 得到。

五、Transfer functions and
transfer functions of typical links

传递函数的概念和定义

传递函数 在零初始条件下,线性定常系统输出量的拉氏 变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比 零初始条件: t<0时,输入量及其各阶导数均为0; 输入量施加于系统之前,系统处于稳定 输入量施加于系统之前 系统处于稳定 的工作状态,即t < 0 时,输出量及其各阶 导数也均为0; 导数也均为0

X o ( s) G( s) = ? X i ( s) (s

设线性定常系统的微分方程为
( n & a 0 xon ) (t ) + a1 xo ?1 (t ) + L + a n ?1 xo (t ) + a n x0 (t )

& = b0 xi( m ) (t ) + b1 xim ?1 (t ) + L + bm ?1 xi (t ) + a m xi (t )
则零初始条件下,系统传递函数为
X o ( s ) b0 s m + b1 s m ?1 + L + bm ?1 s + bm G (s) = = X i ( s ) a 0 s n + a1 s n ?1 + L + a n ?1 s + a n 1

它有以下特点: 比微分方程简单,通过拉氏变换,实数域复 杂的微积分运算已经转化为简单的代数运算; 输入典型信号时,其输出与传递函数有一定 对应关系,当输入是单位脉冲函数时,输入的 对应关系 当输入是单位脉冲 数时 输入的 象函数为1,其输出象函数与传递函数相同; 令传递函数中的s=jω,则系统可在频率域内 分析(详见第四章); 分析(详见第四章) G(s)的零极点分布决定系统动态特性。

Table 2.2 equivalent spring constant
Dynamic model Equation Laplace transform

Equivalent spring constant

Spring

k

x(t)

f (t ) = kx (t )

F (s ) = kX (s )

k

Dashpot

D

x(t)

& f (t ) = D x (t )

F (s ) = DsX (s )

Ds

Mass

M

x(t)

f (t ) = M&&(t ) x

F (s ) = Ms 2 X (s )

Ms 2

Table 2.3 Equivalent complex impedance

传递函数求解示例 质量-弹簧-阻尼系统的传递函数
d2 d m 2 xo (t ) + D xo (t ) + kxo (t ) = fi (t ) dt dt

所有初始条件均为零时,其拉氏变换为:
ms 2 X o ( s ) + DsX o ( s ) + kX o ( s ) = Fi ( s )

按照定义,系统的传递函数为:
G (s) = X o (s) 1 = 2 Fi ( s ) ms + Ds + k D

R-L-C无源电路网络的传递函数
d2 d LC 2 uo (t ) + RC uo (t ) + uo (t ) = ui (t ) dt dt

所有初始条件均为零时,其拉氏变换为: 所有初始条件均为零时 其拉氏变换为
LCs 2U o ( s ) + RCsU o ( s ) + U o ( s ) = U i ( s )

Uo ( s) 1 = G( s) = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1

几点结论 传递函数是复数s域中的系统数学模型, 其参数仅取决于系统本身的结构及参数, 其参数仅取决于系统本身的结构及参数 与系统的输入形式无关。 若输入给定,则系统输出特性完全由传递 函数G(s) 决定,即传递函数表征了系统内在 的固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的 关系来描述系统的固有特性。即以系统外部 的输入-输出特性来描述系统的内部特性。 的输入 输出特性来描述系统的内部特性

传递函数的一般形式 考虑线性定常系统
dn d n ?1 d xo (t ) + a1 n ?1 xo (t ) + L + an ?1 xo (t ) + an xo (t ) dt dt n dt dm d m ?1 d = b0 m xi (t ) + b1 m ?1 xi (t ) + L + bm ?1 xi (t ) + bm xi (t ) ( n ≥ m) dt dt dt

当初始条件全为零时,对上式进行拉氏变换 当初始条件全为零时 对上式进行拉 变换 可得系统传递函数的一般形式:
X o ( s ) b0 s m + b1s m ?1 + L + bm ?1s + bm G( s) = = X i ( s ) a0 s n + a1s n ?1 + L + an ?1s + an (n ≥ m)

特征方程 零点和极点 特征方程、零点和极点 特征方程 令:M ( s ) = b0 s m + b1s m ?1 + L + bm ?1s + bm
N ( s ) = a0 s n + a1s n ?1 + L + an ?1s + an
X o ( s) M ( s) 则: G ( s ) = = X i ( s) N ( s)

N(s)=0称为系统的特征方程,其根称为系统 N(s)=0称为系统的特征方程 其根称为系统 的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。 中 的最高阶次等于系统的阶次

当s=0时: G(0) b G(0)=bm/an=K K 式中,K称为系统的放大系数或增益。 从微分方程的角度看,此时相当于所有的 导数项都为零。因此K 导数项都为零 因此K 反应了系统处于静 态时,输出与输入的比值。

零点和极点 将G(s)写成下面的形式
X o ( s ) b0 ( s ? z1 )( s ? z2 ) L( s ? zm ) G( s) = = X i ( s ) a0 ( s ? p1 )( s ? p2 ) L( s ? pn )

式中,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi 式中 的根 ( (i=1, 2, …, m),称为传递函数的零点; ) N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj (j=1, 2 (j=1 2, …, n) 称为传递函数的极点 n),称为传递函数的极点; 系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点 和极点的数值完全取决于系统的结构参数。

零、极点分布图 零 极点分布图 将传递函数的零、 将传递函数的零 极点表示在复平面 上的图形称为传递 函数的零、极点分 布图。图中,零点 用 O 表示,极 用“O”表示 极 点用“×”表示。

jω 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 G(s)= S+2 (s+3)(s2+2s+2) 的零极点分布图 0 1 2 3 σ

传递函数的几点说明 传递函数是 种以系统参数表示的线性定常 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式;传递函 数的概念通常只适用于线性定常系统; 数的概念通常只适用于线性定常系统 传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各 的复变函数 传递函数中的各 项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等,完全取决于系统结构参数; 等 完全取决于系统结构参数;

传递函数是在零初始条件下定义的,即在零 传递函数是在零初始条件下定义的 即在零 时刻之前,系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此,传递函数原则上不能 相对静止状态 因此 传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律; 传递函数只能表示系统输入与输出的关系, 无法描述系统内部中间变量的变化情况。 无法描述系统内部中间变量的变化情况 一个传递函数只能表示一个输入对一个 输出的关系,适合于单输入单输出系统的 描述。

脉冲响应函数 初始条件为0时,系统在单位脉冲输入作用下 的输出响应的拉氏变换为

Y (s) = G(s) X (s) = G (s)
即 y (t ) = L?1[Y ( s )] = L?1[G ( s )] = g (t ) g(t)称为系统的脉冲响应函数(权函数)。 系统的脉冲响应函数与传递函数包含关 系统的脉冲响应 数与传递 数包含关 于系统动态特性的相同信息。

注意到复数域相乘等同于时域内卷积,因此, 由: Y (s) = G (s) X (s) 知线性系统在任意输入作用下,其时域输出

y (t ) = g (t ) ? x (t ) = ∫0 g (τ ) x (t ? τ ) dτ
t

= ∫ x (τ ) g (t ? τ ) dτ 式中,当t < 0时,g(t) = x(t) = 0。
t 0

典型环节及其传递函数 环节 具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或 元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节 称为典型环节。 任何复杂的系统总可归结为由一些典型 环节所组成。 环节所组成

环节的分类 假设系统有b个实零点,c 对复零点,d 个实 极点,e对复极点和v个零极点,由线性系统 传递函数的零、极点表达式
X o ( s ) b0 ( s ? z1 )( s ? z2 ) L( s ? zm ) G( s) = = X i ( s ) a0 ( s ? p1 )( s ? p2 ) L( s ? pn )

可见

b+2c = m v+d+2e = n

对于实零点z 对于实零点 i=?αi和实极点 j=?βj ,其因式可 和实极点p 其因式可 以变换成如下形式:

s ? zi = s + α i =

1

τi

(τ i s + 1), τ i =

1

αi

1 1 s ? p j = s + β j = (T j s + 1), T j = Tj βj

对于复零点对z?=?α?+jω?和z? 1=?α? ?jω? ,其因 ?+1 式可以变换成如下形式:
( s ? zl )( s ? zl +1 ) = ( s + α l ? jωl )( s + α l + jωl ) = s 2 + 2α l s + α l2 + ωl2 = 1 (τ l2 s 2 + 2? lτ l s + 1)
, ?l =

τ l2
1
2 l

式中,

τl =

αl α l2 + ωl2

α +ω

2 l

对于复极点对pk=?αk+jωk和pk+1=?αk ?jωk ,其 其 因式可以变换成如下形式:
( s ? pk )( s ? pk +1 ) = ( s + β k ? jωk )( s + β k + jωk ) = s 2 + 2β k s + β k2 + ωk2 1 2 2 = 2 (Tk s + 2? k Tk s + 1) Tk

式中, 式中

Tk =

1

β +ω
2 k

2 k

, ?k =

βk β k2 + ωk2

于是,系统的传递函数可以写成: 于是 系统的传递函数可以写成:
K ∏ (τ i s + 1)∏ (τ l2 s 2 + 2? lτ l s + 1) s v ∏ (T j s + 1)∏ (Tk2 s 2 + 2? k Tk s + 1)
j =1 k =1 i =1 d l =1 e b c

G(s) =

e b0 b 1 c 1 d 2 式中, K = ? ∏ ? ∏ 2 ? ∏ T j ? ∏ Tk a0 i =1 τ i l =1 τ l j =1 k =1

为系统静态放大倍数。

由 式可见 传递函数表达式包含六种不同的 由上式可见,传递函数表达式包含六种不同的 因子,即:
1 1 1 K , τ s + 1, τ s + 2ξτ s + 1, , , 2 2 s Ts + 1 T s + 2? Ts + 1
2 2

一般,任何线性系统都可以看作是由上述 六种因子表示的典型环节的串联组合。上 六种因子表示的典型环节的串联组合 上 述六种典型环节分别称为:

比例环节: 例环节 一阶微分环节: 二阶微分环节: 积分环节: 惯性环节: 振荡环节:

K

τs+1
τ 2 s 2 + 2?τ s + 1

1 s 1 Ts + 1
1 T 2 s 2 + 2? Ts + 1

实际系统中还存在纯时间延迟现象,输出完全 复现输入,但延迟了时间τ,即xo(t)=xi(t-τ), 此时: 此时
X o ( s ) = e ?τs X i ( s )

或:G ( s ) = e ?τs 因此,除了上述六种典型环节外,还有一类典 型环节——延迟环节 型环节 延迟环节

e 。

?τs

典型环节示例
Proportional link p

输出量不失真、无惯性地跟随输入量,两者成 比例关系。 比例关系 其运动方程为:xo(t)=Kxi(t) xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量; K—比例系数,等于输出量与输入量之比。

比例环节的传递函数为:
X o ( s) G( s) = =K X i ( s)
z1 ni(t) no(t) z2 ui(t) 运算放大器 R1 uo(t) ()

R2

齿轮传动副

N o ( s ) z1 G(s) = = =K N i (s) z2

U o ( s) R2 G ( s) = =? =K U i ( s) R1

First-order link

凡运动方程为一阶微分方程
d T xo (t ) + xo (t ) = Kxi (t ) dt

形式的环节称为惯性环节。其传递函数为: 形式的环节称为惯性环节 其传递函数为
X o ( s) K G( s) = = X i ( s ) Ts + 1

式中,K 环节增益(放大系数); 式中,K—环节增益(放大系数); T—时间常数,表征环节的惯性,和 环节结构参数有关 节结构参数有关

如 弹簧 阻尼器环节 如:弹簧-阻尼器环节
xi(t) xo(t)

K

D

弹簧 阻尼器组成的环节 弹簧-阻尼器组成的环节
dxo (t ) + Kxo (t ) = Kxi (t ) D dt d
G(s) = K 1 D = , T= Ds + k Ts + 1 K

Differential link

输出量正比于输入量的微分。

dxi (t ) 运动方程为: xo (t ) = τ dt
X o ( s) 传递函数为: G ( s ) = =τ s X i ( s)

式中,τ—微分环节的时间常数 在物理系统中微分环节很难独立存在,经 常和其它环节一起出现。 常和其它环节 起出

如:测速发电机 无负载时
dθ i (t ) uo (t ) = K t dt
uo(t)

式中, Kt为电机 式中 常数。
U o ( s) = Kt s G( s) = Θi ( s )

θi (t)
测速发电机

无源微分网络
1 ui (t ) = ∫ i (t )dt + i (t ) R C uo (t ) = i (t ) R
G( s) =

C ui(t) i(t) R uo(t)

RCs Ts = , T = RC RCs + 1 Ts + 1

无源微分网络

显然,无源微分网络包括有惯性环节和微 显然 无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节,称之为惯性微分环节,只有当 |Ts|<<1时,才近似为微分环节。 |T | 1时 才近似为微分环节

除了上述微分环节外,还有一类一阶微分环 节,其传递函数为: 节 其传递函数为
G (s) = X o (s ) (s = K (τ s + 1) X i (s)

微分环节的输出是输入的导数,即输出反 微分环节的输出是输入的导数 即输出反 映了输入信号的变化趋势,从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此,微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。

Integral link I t l li k

输出量正比于输入量对时间的积分。
1 t 运动方程为: xo (t ) = ∫ xi (t )dt T 0
X o ( s) 1 = 传递函数为: G ( s) = X i ( s ) Ts

式中,T—积分环节的时间常数。 式中 T 积分环节的时间常数

积分环节特点: 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 具有明显的滞后作用。 如当输入量为常值 A 时,由于
1 t 1 xo (t ) = ∫0 Adt = At T T

输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。 积分环节常用来改善系统的稳态性能。

如:有源积分网络 i1(t)
R a ? +

i2(t)
C

ui(t)

uo(t)

duo (t ) RC = ?ui (t ) (t dt 1 1 G( s) = ? = ? , T = RC RCs Ts

Second-order Second order link

含有两个独立的储能元件,且所存储的能量 能够相互转换,从而导致输出带有振荡的性 质 运动方程为 质,运动方程为:
d2 d 2 T x (t ) + 2? T xo (t ) + xo (t ) = Kxi (t ), 0 < ? < 1 x 2 o dt dt

传递函数: 传 数

X o (s) K G (s) = = 2 2 X i ( s ) T s + 2? Ts + 1

式中,T—振荡环节的时间常数 式中 振荡环节的时间常数 ζ—阻尼比,对于振荡环节,0<ζ<1 K—比例系数 振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 (K=1):
ωn2 1 , ωn = G (s) = 2 2 s + 2? ωn s + ωn T

ωn称为无阻尼固有角频率。

如 质量 弹簧 阻尼系统 如:质量-弹簧-阻尼系统
d2 d m 2 xo (t ) + D xo (t ) + Kxo (t ) = f i (t ) dt dt

传递函数:
1 1/ K = 2 2 G (s) = 2 ms + Ds + K T s + 2? Ts + 1

式中, 式中 当

T=

m D ,? = K 2 mK

D < 2 mk k

时,为振荡环节。 时 为振荡环节

运动方程:xo (t ) = xi (t ? τ ) 传递函数 传递函数: G ( s ) = e
?τ s

Delay link

式中,τ为纯延迟时间。 延迟环节与惯性环节的区别: 延迟环节与惯性环节的区别 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出,仅 由于惯性,输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值; 延迟环节从输入开始之初,在0 ~ τ时间内, 没有输出,但t=τ之后 输出等于τ之前时刻 有输出 但 之后,输出等于 的 输入。

小结 环节是根据微分方程划分的,不是具体的 物理装置或元件; 一个环节往往由几个元件之间的运动特性 共同组成; 同一元件在不同系统中作用不同,输入输 出的物理量不同,可起到不同环节的作用。 出的物理量不同 可起到不同环节的作用

六、The block diagram and
the Signal flow graphs

The block diagram

系统方框图是系统控制系统的动态数学模型 的图解形式 可以形象直观地描述系统中各 的图解形式。可以形象直观地描述系统中各 环节间的相互关系及其功能以及信号在系统 中的传递、变换过程。 中的传递 变换过程 注意:即使描述系统的数学关系式相同, 其方框图也不一定相同。

方框图的结构要素 信号线 带有箭头的直线,箭头表示信号的传递方向, 直线旁标记变量,即信号的时间函数或象函 数。
X(s), x(t) 信号线

信号引出点(线) 表示信号引出或测量的位置和传递方向。 表示信号引出或测量的位置和传递方向 同一信号线上引出的信号,其性质、大小完 全一样。 全 样
X(s) () X(s) X( ) X(s) 引出线 X(s) X(s) X(s) X( )

函数方块(环节) 数方块( 节) 传递函数的图解表示。 X1(s) G(s) 函数方块 函数方块具有运算功能,即 函数方块具有运算功能 即 X2(s)=G(s)X1(s) () () () X2(s)

求和点 求和点(比较点、综合点) 较点 综合点 信号之间代数加减运算的图解。用符号“?” 及相应的信号箭头表示,每个箭头前方的 及相应的信号箭头表示 每个箭头前方的 “+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。 X1(s)

?

X1(s)±X2(s)

± X2(s)

相邻求和点可以互换、合并、分解,即满 足代数运算的交换律、结合律和分配律。 足代数运算的交换律 结合律和分配律

B A

?

A-B

?

A-B+C

C B A+C-B B A-B+C

A

?
C

A+C

?

A

?

C

求和点可以有多个输入,但输出是唯一的。

任何系统都可以由信号线、函数方块、信号 引出点及求和点组成的方框图来表示。 引出点及求和点组成的方框图来表示
函数方块 Ui(s) 求和点U(s) 函数方块 I(s) 引出线 Uo(s)

?

1 R

1 Cs C

方框图示例

系统方框图的建 系统方框图的建立 步骤 建立系统各元部件的微分方程,明确信号 建立系统各 部件的微分方程 明确信号 的因果关系(输入/输出)。 对上述微分方程进行拉氏变换,绘制各部 件的方框图。 件的方框图 按照信号在系统中的传递、变换过程,依 次将各部件的方框图连接起来,得到系统 的方框图。

示例 无源RC网络
Ri (t ) = ui (t ) ? uo (t )
ui(t) i(t) 无源RC电路网络 R

C

1 uo (t ) = ∫ i (t )dt C
拉氏变换得:
RI ( s ) = U i ( s ) ? U o ( s ) Uo ( s) = 1 I ( s) Cs

uo(t)

1 I ( s ) = [U i ( s ) ? U o ( s )] R 1 Uo ( s) = I ( s) Cs

从而可得系统各方框单元及其方框图。
Ui(s)

?

Ui-Uo

1 R

I(s)

I(s)

1 Cs

Uo(s)

Uo(s)

1 (a) I ( s ) = [U i ( s ) ? U o ( s )] R

1 (b) U o ( s ) = I ( s) Cs C

Ui( ) (s)

?

U(s) U( )

1 R

I(s) I( )

1 Cs

Uo ( ) (s)

无源RC电路网络系统方框图 无源 电路网络系统方框图

机械系统
fi(t) () fi(t) ()

m1
K1

0 D x(t)

m1
fK1 fD

fm1

m2
K2

0 xo(t)

m2
fK2

fm2

fi(t)

m1
fK1

0 fD x(t)

fm1

m1 &&(t ) = f i (t ) ? f D (t ) ? f K1 (t ) x f K1 (t ) = K1 [x(t ) ? xo (t )]

m2
fK2

0 xo(t)

fm2

? dx(t ) dxo (t ) ? ? f D (t ) = D ? ? dt dt ? ?
m2 &&o (t ) = f K1 (t ) + f D (t ) ? f K 2 (t ) x f K 2 (t ) = K 2 xo (t )

FK1 ( s ) = K1 [ X ( s ) ? X o ( s ) ] FD ( s ) = Ds [ X ( s ) ? X o ( s ) ]

1 ? F ( s ) ? FD ( s ) ? FK1 ( s ) ? ? X ( s) = 2 ? i m1s

1 ? F ( s ) + FD ( s ) ? FK2 ( s ) ? X o (s) = 2 ? K1 ? m2 s FK2 ( s ) = K 2 X o ( s )

FK1(s) Fi(s)

?
FD(s)

1 X(s) m1 s 2

X(s) ()

?

K1 Ds D

FK1(s) FD(s)

Xo(s)

X ( s) =

1 ? F (s) ? FD (s) ? FK1 (s)? 2 ? i ? m1s

FK1 ( s ) = K1 [X ( s ) ? X o ( s )]

(a)

FD ( s ) = Ds [ X ( s ) ? X o ( s ) ]
(b)

FK2(s) FK1(s)

? ?
+
FD(s)

1 m2 s 2

Xo(s) Xo(s) K2 FK2(s)

1 ? F ( s ) + FD ( s ) ? FK 2 ( s ) ? ? X o (s) = 2 ? K1 m2 s (c)

FK 2 ( s ) = K 2 X o ( s )
(d)

FK1(s) Fi(s)

FK2(s)

K2

?
FC(s)

1 X(s) m1s 2

?
Xo(s) ()

FK1(s) K1 Ds FD(s)

? ?
+

1 m2 s 2

Xo(s)

机械系统方框图

Block diagram reduction

方框图的运算法则
Series connection Xi( ) (s) G1(s) X1(s) G2(s) X2(s) ... Xn-1(s) Gn(s) Xo(s)

Xi(s)

G(s)=G1(s) G2(s) ··· Gn(s)

Xo(s)

Parallel connection

G1(s) + G2(s) . . . Gn(s) +

Xi(s)

+

?

Xo(s)

Xi(s)

G1(s)+ G2(s)+? ? ? + Gn(s)

Xo(s)

Feedback Xi(s) () E(s) Xo(s)

B(s)

± Xi(s)

?

G(s) H(s)

X o ( s) = G( s) E ( s) E ( s) = X i ( s) m B( s) B( s) = H ( s) X o ( s)
X o (s) Φ( s) = X i ( s) G (s) = 1 ± G ( s) H (s)

G(s) 1± G(s)H (s)

Xo(s)

The rules of the block diagram transforming g g

求和点的移动
A

? ±
B A

G(s)

C

A

G(s) G( )

?

C

± B C

G(s) G(s) 求和点后移

?

C

A

?

G(s)
1 G (s)

±

± B

B

求和点前移

引出点的移动
A G(s) C C A G(s) C A

A

G(s) G(s) 引出点前移

C C

A

G(s)

C A 1 G (s) 引出点后移

由方框图求系统传递函数 基本思路:利用等效变换法则,移动求和点和 引出点,消去交叉回路,变换成可以运算的简 单回 单回路。

例:求下图所示系统的传递函数。 例 求下图所示系统的传递函数
H2(s) Xi(s)

? ?

B

+

G1(s)

?
H1(s)

G2(s)

G3(s)

() A Xo(s)

H3(s)

解:1、A点前移; 解:1 A点前移;
H2(s)G3(s) Xi(s)

? ?

+

G1(s)

?
H1(s)

G2(s)

G3(s)

Xo(s)

H3(s)

2、消去H (s)G (s)反馈回路 2 消去H2( )G3( )反馈回路
Xi(s)

? ?

+

G1(s)

G2 (s) 1+ G2 (s)G3 (s)H2 (s)

G3(s)

Xo(s)

H1(s) H3(s)

3、消去H (s) 3 消去H1( ) 反馈回路
Xi(s) ()

?

G1 ( s)G2 ( s )G3 ( s) 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H1 ( s) + G2 ( s)G3 ( s) H 2 ( s)

Xo(s) ()

H3(s)

4、消去H3(s) 反馈回路
Xi(s) Xo(s) G (s)G2(s)G3(s) 1 1?G (s)G2(s)H1(s) +G2(s)G3(s)H2(s) +G (s)G2(s)G3(s)H3(s) 1 1

Signal flow graphs of systems and Mason’s formula

信号流图及其术语 信号流图起源于梅逊(S. J. 信号流图起源于梅逊(S J MASON)利用图 示法来描述一个和一组线性代数方程,是由节 点和支路组成的一种信号传递网络。 节点 表示变量或信号,其值等于所有进入该节 点的信号之和。节点用“ο”表示。

支路 连接两个节点的定向线段,用支路增益(传递函 数)表示方程式中两个变量的因果关系。支路相 当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。 例:
x 2 = x1 + ex 3 x 3 = ax 2 + fx 4 x1 f x 4 = bx 3 x 5 = d 2 + cx 4 + gx 5 dx
1
x2

d a x3 b x4 e f c x5 1

g

x5

输入节点(源点) 只有输出的节点,代表系统的输入变量。
d

源点
x1

g 1 x2 e f a x3 b x4 c x5 1 x5

汇点

输出节点(阱点、汇点) 只有输入的节点,代表系统的输出变量。

混合节点 既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出 既有输入又有输出的节点 若从混合节点引出一 条具有单位增益的支路,可将混合节点变为输出 节点。 节点 d
g 1 x1 x2 e f a x3 b x4 c x5 1 x5

通路 沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。
d g 1 x1 x2 e f a x3 b x4 c x5 1 x5

前向通路

从输入节点到输出节点通路上通过任何节点不 多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘 积,称前向通路总增益,一般用pk表示 积 称前向通路总增益 般用 表示。

回路 起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭 合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增 合通路 回路中所有支路增益之乘积称为回路增 益,用La表示。 d
g 1 x1 x2 e f a x3 b x4 c x5 1 x5

不接触回路

相互间没有任何公共节点的回路。 有任

信号流图的绘制 两种方法: 由系统微分方程绘制信号流图 根据微分方程绘制信号流图的步骤与绘制方框 图的步骤类似 图的步骤类似。 由系统方框图绘制信号流图

例1:根据微分方程绘制信号流图
R1 ui(t) i1(t) C1 uA(t) R2 i2(t) C2 uo(t)

ui (t ) ? u A (t ) i1 (t ) = R1 u A (t ) = 1 ∫ [i1 (t ) ? i2 (t )]dt C1

二级RC电路网络

u A (t ) ? uo (t ) i2 (t ) = R2 1 uo (t ) = ∫ i2 (t )dt C2

U i ( s) ? U A ( s) I1 ( s ) = R1 1 [I1 ( s ) ? I 2 ( s )] U A ( s) = C1s U A ( s) ? Uo ( s) I 2 ( s) = R2 U o ( s) = 1 I 2 ( s) C2 s

取U 取 i(s)、I1(s)、UA(s)、 I2(s)、Uo (s)作为信号流 图的节点,其中,Ui(s)、 Uo(s)分别为输入及输出 节点。按上述方程绘制 出各部分的信号流图, 出各部分的信号流图 再综合后即得到系统的 信号流图。 信号流图

a)

U i (s) ? U A (s) I1 ( s ) = R1
Ui(s) 1

1 R1
I1(s) -1 UA(s)

1 b) U A ( s ) = ) [I1 (s) ? I 2 ( s)] C1s
-1 1 I1(s)
1 C1s

UA(s) ()

I2(s) ()

c)

U A ( s) ? U o ( s) I 2 (s) = R2
1 UA(s)
1 R2

Uo(s) I2(s) -1

d)

1 U o (s) = I 2 ( s) C2 s

1 C2 s
I2(s) Uo(s)

-1 1 Ui(s) 1

1 R1

1 I1(s) -1

1 C1s

1 UA(s)

1 R2

1 C2 s
I2(s) -1

1 Uo(s)

Ui(s) 1

1 R1

1 C1s

-1 1 UA(s)
1 R2

1 C2 s

1 Uo(s) ()

I1(s)–I2(s) -1

I2(s) -1

例2:根据方框图绘制信号流图 例 根据方框图绘制信号流图
系统方框图 Xi(s)

信号流图

Xi( ) (s) 1

? H(s) E(s) E( ) G(s) Xo ( ) (s) 1 -H(s) Xo ( ) (s)

?

E(s)

G(s)

Xo(s)

※ 线与节点对应关系:
G4(s) G1(s) E1 E3 G1 -G2 G G4(s) G1(s) E1 E3 G4 G3 G4 G1 E1 1 E3 G3 -G2

?

G3(s) G2(s)

E2

?

E3

G3(s) G2(s) ()

E2

梅逊公式 梅逊 式
1 P = ∑ Pk Δ k Δ k

式中,P — 系统总传递函数 Pk— 第k条前向通路的传递函数(通 路增益) Δ — 流图特征式

Δ = 1 ? ∑ La + ∑ Lb Lc ?
a b, c

d , e, f

∑ Ld Le L f

+L

∑ La
a
b, bc

—所有不同回路的传递函数之和;

∑ Lb Lc —每两个互不接触回路传递函数
乘积之和 每三个互不接触回路传递函数 ∑ Ld Le L f —每三个互不接触回路传递函数 乘积之和

d , e, f

Δk— 第 条前向 路特 式的余 第k条前向通路特征式的余因子,即对于 流图的特征式Δ,将与第k 条前向通路相 接触的回路传递函数代以零值,余下的Δ 即为Δk。

例:用梅逊公式求系统传递函数
-1 Ui(s) 1

1 R1
I1(s)–I2(s) (s) -1

1 C1s

1 UA(s)

1 R2

1 C2 s
I2(s) -1

1 Uo(s)

对于二阶RC电路网络,输入Ui(s)与输出Uo(s) 之间只有 条前向通路,其传递函数为: 之间只有一条前向通路 其传递函数为:
1 1 1 1 P = ? ? ? 1 R1 C1s R2 C2 s

L3 Ui(s) 1

-1
1 C1s

1 R1
I1(s)–I2(s) L1 -1

1 UA(s) L2

1 R2

1 C2 s
I2(s) -1

1 Uo(s)

三个不同回路的传递函数分别为:
1 1 L1 = ? ? R1 C1s
1 1 L2 = ? ? R2 C2 s

1 1 L3 = ? ? R2 C1s

流图特征式为:
Δ = 1 ? ( L1 + L2 + L3 ) + L1L2 1 1 1 1 1 = 1+ + + + ? R1C1s R2C2 s R2C1s R1C1s R2C2 s

前向通路特征式的余因子为: Δ1 = 1 所以, P =
1 1 ∑ Pk Δ k = Δ P1Δ1 Δ k

1 = R1R2C1C2 s 2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) s + 1

例:
Xo(s) () = Xi(s) G1G 2G3G 4G5+ G1G6G 4G5 + G1G 2G7(1+ G 4H1) 1+ G 4H1+ G 2G7 H2 + G6G 4G5H2 + G 2G3G 4G5H2 + G 4H1G 2G7H2

控制系统的传递函数 考虑扰动的闭环控制系统
N(s) Xi(s)

?

ε (s)

G1(s)

+ +

?

G2(s)

Xo(s) ()

B(s) H(s)

Xi(s)到Xo(s)的信号传递通路称为前向通道; Xo( )到B( )的信号传递通路称为反馈通道 (s)到B(s)的信号传递通路称为反馈通道;

闭环系统的开环传递函数 将闭环控制系统主反馈通道的输出断开,即H(s) 的输出通道断开,此时,前向通道传递函数与 反馈通道传递函数的乘积G1 (s)G2 (s)H(s)称为该 闭环控制系统的开环传递函数。记为GK(s)。 闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信 号 ( )和偏差信号 ( )之间的传递函数,即 号B(s)和偏差信号ε (s)之间的传递函数,即:
B( s ) GK ( s ) = = G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) ε ( s)

xi(t)作用下系统的闭环传递函数
Xi(s)

?

ε (s)

G1( ) (s) H(s)

G2( ) (s)

Xo1(s)

B(s) xi(t)作用下的闭环系统

令n(t)=0,此时在输入xi(t)作用下系统的闭 环传递函数为:
X 01 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) Φ i ( s) = = X i ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

输入作用下系统的偏差传递函数 令n(t)=0,此时系统输入Xi(s)与偏差ε (s)之间的 传递函数称为输入作用下的偏差传递函数。用 传递函数称为输入作用下的偏差传递函数 用 Φ ε i (s ) 表示。
Xi(s)

?
H(s)

1 G2(s) G1(s)

ε (s)

偏差信号与输入信号之间的关系

1 Φε i ( s) = = X i ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

ε i ( s)

n(t)作用下系统的闭环传递函数
N(s)

?
G1(s)

G2(s) H(s)

Xo2(s)

n(t)作用下的闭环系统 ()

令xi(t)=0,此时在扰动n(t)作用下系统的闭 环传递函数(干扰传递函数)为:
X 02 ( s ) G2 ( s ) Φ N ( s) = = N ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

扰动作用下系统的偏差传递函数 令xi(t)=0,此时系统在扰动作用下的偏差传递函 数(称扰动偏差传递函数)。 数(称扰动偏差传递函数)
N(s)

?

+

G2(s)

H(s) G1(s)

-1 1

ε (s)

偏差信号与干扰信号之间的关系

? G2 ( s ) H ( s ) Φε N ( s) = = N ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

ε N ( s)

结论
) 系统的闭环传递函数 Φ i (s )、 Φ ε i (s、 Φ N (s ) 及 Φ ε N (s ) 具有相 的特征多项式 具有相同的特征多项式: 1+G1(s)G2(s)H(s) 其中G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。 闭环传递函数的极点相同。

系统的固有特性与输入、输出的形式、 位置均无关;同一个外作用加在系统不同 位置均无关 同 个外作用加在系统不同 的位置上,系统的响应不同,但不会改变 系统的固有特性;

系统的总输出 根据线性系统的叠加原理,系统在输入xi(t)及 扰动 ( )共同作用下的总输出为 扰动n(t)共同作用下的总输出为:
X o ( s ) = X 01 ( s ) + X 02 ( s ) = G1 ( s )G2 ( s ) G2 ( s ) X i ( s) + N ( s) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 1 + G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

若 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) >> 1 且 G1 ( s ) H ( s ) >> 1 ,则: 则
X o ( s) ≈ 1 X i ( s) H ( s)

上式表明,采用反馈控制的系统,适 上式表明 采用反馈控制的系统 适 当选择元部件的结构参数,可以增强 系统抑制干扰的能力。 系 力

七、控制系统传递函数推导举例

机械系统 电机驱动进给装置 如右图,丝杠螺 如右图 丝杠螺 母装置将电机的 旋转运动转变为 工作台的直线运 动。 电动机 工作台m

丝杠L

电动机

等效转动惯量 J

电机驱动进给装置等效系统 按等功原理,工作台等直线运动部件质量m 的等效转动惯量为:
? L ? J = m? ? ? 2π ?
2

L — 丝杠螺距,即丝杠每转一周工作台 移动的直线距离。

dv TL ( t ) ? 2 = m ? L 2π dt
ω?L v= 2π

mL d ? ω ? L ? L ? dω L ? d 2θ ? ? ∴ TL ( t ) = = m? ? = m? ? ? ? 2π dt ? 2π ? 2π ? dt 2π ? dt 2 ? ?

2

2

齿轮传动装置 T1 θ1 z1

T1、T2:转矩 T 转矩 θ1、θ2:角位移

ω1、ω2:角速度
z2 T2 θ2 z1、z2:齿数 r1、r2:齿轮分度圆半径

齿轮副

假设齿轮传动中无功率损耗,且忽略齿轮 转动惯量、啮合间隙与变形,则: 转动惯量 啮合间隙与变形 则 T1 θ 2 z1 ω2 r1 = = = = T2 θ1 z2 ω1 r2

集中参数齿轮副模型: D1 z1 J1 T θ1 D2 z2

T1

T2 θ2

J2

T :输入转矩 J1、J2 :齿轮(包括轴)的转动惯量 D1、D2:啮合齿轮、支承粘性阻尼系数

d 2θ1 (t ) dθ1 (t ) 齿轮1: 齿轮1 T (t ) = J1 + D1 + T1 (t ) 2 dt dt d 2θ 2 (t ) dθ 2 (t ) 齿轮2: T2 (t ) = J 2 + D2 2 dt dt

z1 z1 利用: T1 (t ) = T2 (t ), θ 2 (t ) = θ1 (t ) z2 z2

有:

? z1 ? d θ1 (t ) ? z1 ? dθ (t ) ? ? J2 ? ? D2 1 T1 (t ) = ? ? +? ? 2 dt dt ? z2 ? ? z2 ?
2

2

2

d 2θ1 (t ) dθ1 (t ) T (t ) = J I + DI 2 dt dt

式中: J I = J1 + (z1 z2 )2 J 2 —— 等效折算到输入端的转动惯量 其中, 其中 (z1 z2 )2 J 2 为齿轮2 一侧的转 齿轮 转 动惯量折算到齿轮1 侧的等效转动 动惯量折算到齿轮1一侧的等效转动 惯量

DI = D1 + ( z1 z 2 ) D2
2

—— 等效折算到输入端的粘性阻尼系数 其中, (z1 z2 )2 D2 为齿轮2 一侧的粘 性阻尼系数折算到齿轮1一侧的等效 性阻尼系数折算到齿轮1 侧的等效 粘性阻尼系数
T1 θ 2 z1 ω 2 = = = 显然,利用 T2 θ1 z 2 ω1

,齿轮2 一

侧的转矩、转速和角位移同样可等效折算到 齿轮1一侧。 齿轮 侧

考虑扭转弹性变形效应时,齿轮2 侧的扭转 考虑扭转弹性变形效应时,齿轮2一侧的扭转 刚度系数等效到齿轮1一侧时,刚度系数也应 乘以 (z1 z2 )2 。 即若K1、K2 分别为齿轮1 和2的扭转刚度系数, 则齿轮1 一侧的等效刚度KI为:
KI =

1 1 1 + K1 (z1 z 2 )2 K 2

结论:
当折合到主动轴上时,从动轴上的转动惯 量和阻尼系数都要除 传动比的平方,负载转矩 量和阻尼系数都要除以传动比的平方,负载转矩 除以传动比。因此,减速传动时,相当于电动机 带的负载变小了,也可以说电动机带负载的力矩 带的负载变小了 也可以说电动机带负载的力矩 增大了。 反之,当折合到从动轴上时,主动轴上 反之 当折合到从动轴上时 主动轴上 的转动惯量和阻尼系数都要乘以传动比的 平方,输入转矩乘以传动比。 平 输 转 乘 传

机床进给传动链 z4
III

工作台m

xo(t) () Cm J3, K3, D3

z2
II

T
I

Km 丝杠L J2, K2, D2 z3 z1 J1, K1, D1

伺服电机

θi

空载时,I轴转矩平衡方程为:
d 2θ m (t ) dθ m (t ) +D + K [θ m (t ) ? θ i (t )] = 0 J 2 dt dt

其中,θi(t)为I轴输入转角;

θm(t)为工作台位移xo(t)折算到I轴上的等
效当量转角 效当量转角:
1 2π θ m (t ) = xo (t ) i1i2 L z3 z1 i1 = , i2 = ,L为丝杠螺距 z2 z4

J、D、K分别为工作台及各轴折算到I轴上的 等效总转动惯量、等效总粘性阻尼系数及等效 总刚度系数。 总刚度系数
J=

)m D = D + i D + (i i ) D + (i i L ) D 2π
2 J1 + i1 J 2
2 1

+ (i1i2 ) J 3 + i1i2 L
2
2 1 2 3 1 2

(

2



2

1

2

m

K=

1 1 1 1 1 + 2 + + 2 2 K1 i1 K 2 (i1i2 ) K 3 i i L 1 2 2π K m

(

)

根据上述关系,可求得系统微分方程为:
d 2 xo (t ) dxo (t ) L J +D + Kxo (t ) = i1i2 Kθ i (t ) 2 dt dt 2π

传递函数:
i1i2 K L X o ( s) 2π = = 2 G ( s) = Θ i ( s ) Js + Ds + K J 2π s2 + D s +1 K K i1i2 L

汽车悬挂系统 车体 当汽车行驶时,轮胎 质心 的垂直位移作用于汽 车悬挂系统上,系统 车架 的运动由质心的平移 运动和围绕质心的旋 转运动组成。 汽车悬挂系统(垂直方向)

m2 K2 m1 xi(t) K1 D

xo(t)

x(t)

简化的悬挂系统(垂直方向)
′ ′ m2 xo′(t ) = ? K 2 [xo (t ) ? x(t )] ? D[xo (t ) ? x′(t )] ′ m1 x′′(t ) = K 2 [xo (t ) ? x(t )] + D[xo (t ) ? x′(t )] + K1 [xi (t ) ? x(t )]

(m s
2

2

+ D + K 2 X o ( s ) = (D + K 2 ) X ( s ) Ds Ds + Ds + K1 + K 2 X ( s ) = (Ds + K 2 )X o ( s ) + K1 X i ( s )
1 m1s 2 + Ds + K1 + K2

)

(m s
1

2

)

Xi(s) ()

K1

X(s) ()

Ds+ K2 m2 s 2 + Ds + K2

Xo(s) ()

Ds + K 2
X o (s) K1 (Ds + K 2 ) = X i ( s ) m1m2 s 4 + (m1 + m2 ) Ds 3 + [K1m2 + (m1 + m2 ) K 2 ]s 2 + K1 Ds + K1 K 2

八、系统数学模型的MATLAB实现

Matlab简介: Matlab简介
? 1980年前后,美国moler博士构思并开 发; ? 最初的matlab版本是用fortran语言编 写,现在的版本用c语言改写; ? 1992年推出了具有重要意义的matlab 版本;并于 年推出了其 4.0版本;并于1993年推出了其 windows平台下的微机版,目前7.0版, 甚至8.0版是比较新的版本。 甚至8 0版是比较新的版本

控制系统数学模型 制系 要分析系统,首先需要能够描述这个系统。例如 用传递函数的形式描述系统

B(s) b0s + b1s +L+ bm?1s + bm G(s) = = n A(s) a0s + a1sn?1 +L+ an?1s + an
m

m?1

在MATLAB中,多项式通过系数行向量表示, 系数按降序排列。 如要输入多项式:x4-12x3+25x+126
>> p=[1 -12 0 25 126] p= 1 -12 0 25 126

在MATLAB中,用num和den分别表示F(s)的分子 和分母多项式,即:num = [b0 b1 … b ] 和分母多项式 即 bm] den = [a0 a1 … an] 然后利用下面的语句就可以表示这个系统 sys=tf(num,den) 其中tf()代表传递函数的形式描述系统, 还可以用零极点形式来描述,语句为
z=[1 2]; p=[-1 2 3] p=[ 1 -2 -3]; k=4; sys=zpk(z,p,k) k( k)

4 ( 1) ( 2) (s-1) (s-2) ----------------(s+1) (s+2) (s+3) ( 1) ( 2) ( 3)

而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化, z=[1; 2]; 语句为 p=[-1; -2; -3]; [z,p,k] tf2zp(num,den) [z p k] = tf2zp(num den) k=4; [num,den] = zp2tf(z,p,k) [num,den] = zp2tf(z,p,k) 当传递函数复杂时,应用多项式乘法函数conv()等 当传递函数复杂时 应用多项式乘法函数con ()等 实现。例如 den1=[1,2,2] den1 = den2=[2,3,3,2] 1 2 2 den=conv(den1,den2) den2 =
2 3 den = 2 7 3 13 2 14 10 4

计算闭环传递函数
系统的基本连接方式有三种: 串连、并联和反馈 串连 并联和反馈 串连:sys=series(sys1,sys2) 串连 y p ( y y ) 并联:sys=parallel(sys1,sys2) 反馈:sys=feedback(sys1,sys2,-1) 如果是单位反馈系统,则可使用cloop()函 如果是单位反馈系统 则可使用cloop()函 数,sys=cloop(sys1,-1)

应用举例 用MATLAB展开部分分式

B(s) b0sm + b1sm?1 +L+ bm?1s + bm 设: F(s) = = n A(s) a0s + a1sn?1 +L+ an?1s + an
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式, 用 和d 分别表示F( )的分子和分母多项式 即:num = [b0 b1 … bm] den = [a0 a1 … an]

MATLAB提供函数residue用于实现部分分式 提供函数 用 实现部分分式 展开,其句法为:

[r, p, k] = residue(num, den)
其中,r, p分别为展开后的留数及极点构成的 列向量、k为余项多项式行向量。 列向量 k为余项多项式行向量

若无重极点,MATLAB展开后的一般形式为: 若无重极点 MATLAB展开后的 般形式为
F (s) = r (1) r (1) r ( n) + +L + + K ( s) s ? p(1) s ? p(2) s ? p ( n)

若存在q重极点p(j),展开式将包括下列各项: 若存在 重极点 (j) 展开式将包括下列各项

r ( j) r ( j + 1) r ( j + q ? 1) + +L + 2 s ? p ( j ) [s ? p ( j ) ] [s ? p ( j ) ]q

s 4 + 11s 3 + 39s 2 + 52s + 26 例:求 F (s) = 4 s + 10s 3 + 35s 2 + 50s + 24

的部分分式展开。
>> num=[1 11 39 52 26]; p= [ ]; >> den=[1 10 35 50 24]; -4.0000 >> [r,p,k]=residue(num,den) -3.0000 r= -2.0000 1.0000 1 0000 -1.0000 1 0000 2.5000 -3.0000 -3 0000 k= 0.5000 1 展开式为: 展开式为 F ( s) = 1 + 2.5 + ? 3 + 0.5 + 1 s + 4 s + 3 s + 2 s +1

s 5 + 10 s 2 + 5s + 6 例:求 F ( s ) = 4 s + 5s 3 + 9 s 2 + 7 s + 2

的部分分式展开。
>> num=[1 0 0 10 5 6]; >> den=[1 5 9 7 2]; >> [ k] [r,p,k]=residue(num,den) id ( d ) r= -4.0000 -4 0000 20.0000 -20.0000 10.0000
s+2

p= -2.0000 -1.0000 1 0000 -1.0000 -1.0000 -1 0000 k= 1 -5
( s + 1)

展开式为: 展开式为 F ( s) = ? 4 + 20 + ? 20 2 + 10 3 + s ? 5
s + 1 ( s + 1)

函数 residue 也可用于将部分分式合并,其句 法为:
[num, den] = residue(r, p, k)

例: 例 >> r = [1 2 3 4]'; p = [-1 -2 -3 -4]'; k = 0;
>> [num, den] = residue(r, p, k) num = 10 70 150 96 den = 1 10 35 50 24

10 s 3 + 70 s 2 + 150 s + 96 F ( s) = 4 s + 10 s 3 + 35s 2 + 50 s + 24

用MATLAB求系统传递函数 1 1 已知两个系统 G1 (s ) = , G2 (s ) = s s+2 分别求两者串联、并联连接时的系统传递函数, 并求负反馈连接时系统的零、极点增益模型。
num1=[1]; den1=[1,0]; [ , ]; num2=[1]; den2=[1,2]; [numc,denc]=series(num1,den1,num2,den2); [numb,denb]=parallel(num1,den1,num2,den2); [numf,denf]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1); [numf denf]=feedback(num1 den1 num2 den2 1); [z,p,k]=tf2zp(numf,denf)

九 小结 九、小结
数学模型基本概念 数学模型形式 微分方程 传递函数 控制系统的图形化描述 方框图 信号流图 闭环控制系统的传递函数

第二周作业 第二周作业
2-1, 2-2, 2-9(b), 2 10(a) 2-11(c) 2 1 2 2 2 9(b) 2-10(a), 2 11(c)

第三周作业
2-6(b), 2-8,2-12(b), 2-19 选做: 2-3, 2-26(b)

第二章

THE

END

THANK YOU


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