福建省福州市2013高三5月质检文科数学试卷答案和评分标准

2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学（文科）试卷参考答案及评分标准

n n n ? 1

1

1 ? 1

n

}的通项公式为 a n ? 2 ． ························ 3 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···
n

b ? a1 ? 2 ，设公差为 d ，则由 b1 , b3 , b9 成等比数列， 1

2 1 ? ··········· ··········· ·· 8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ( n ? 1)bn n( n ? 1)
1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1)

1 1 1 1 1 ······················· 10 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · ＝ ? ? ? ??? ? 1 2 2 3 n n ?1

? 1?

1 n ? n ?1 n ?1

. ··········· ··········· ···· 分 ························· 12 ·········· ··········· ····

18. 本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础 知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力，处理交汇性问题的能力，以及 运算求解能力,满分 12 分. 解:（Ⅰ）∵ a ? ( 2, 2), b ? (sin ∴ f ( x) ?

?
4

x, cos

?
4

x)

2 sin

?
4

x ? 2 cos

?
4

x ·························· 1分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ·····

? 2(

2 ? 2 ? sin x ? cos x) 2 4 2 4 ? ? ? 2 sin( x ? ) ·······························3分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 4 4

∴T ?

2?

?

?8

∴函数 f ( x) 的最小正周期为8． ················· ················ 6分 ·········· ······

4
（Ⅱ）依题意将函数 f ( x) 的图像向左平移 1 个单位后得 到函数

y ? g ( x) ? 2 sin[ ( x ? 1) ? ] ? 2 cos x ????8 分 4 4 4 函 数 y ? g ( x) ? k 在 (?2,4) 上 有 两 个 零 点 ， 即 函 数
y ? g (x) 与 y ? ?k 在 x ? (?2, 4) 有两个交点，如图所示：

?

?

?

8 ． ··········· ··········· ·· 4 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 15 （Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得 2? 2 列联表如下：

P( A) =

2

4 0 4

K 2 的观测值 k ?

10(4 ? 4 ? 0 ? 2) ? 4.444 ? 3.841， ·················8 分 ··········· ······ ·········· ······ 4? 6? 6? 4

VE ? ABCD

1 1 1 2 AD ? S ?FDC ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ???2 分 3 3 2 3 1 8 1 ··········· ········· ·········· ········· ? EA? S? ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ····················3 分 3 3 3

∴V多面体 ? VE ? FCD ? VE ? ABCD ?

10 ． ························5 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 3

（Ⅱ ）∵ABCD 为正方形，∴AB⊥BC. ························6 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· ∵EA⊥平面 ABCD，BC?平面 ABCD， ∴BC⊥EA. ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 7 ·········· ··········· ··········· ·· 又 AB∩EA＝A，∴BC⊥平面 EAB. ····················· 8 分 ··········· ·········· ·········· ··········· 又∵BC?平面 EBC， ∴平面 EAB⊥平面 EBC. ····························· 10 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ （Ⅲ ）取线段 DC 的中点 Q ；连接 KQ ，则直线 KQ 即为 所求．???????????????????11 分 图上有正确的作图痕迹????????????12 分

21. 本试题主要考查了点到直线的距离，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，平面向量 的应用，均值不等式,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想和化归与转 化思想等，满分 12 分． 解: (Ⅰ)由e 2 ?

1 a2 ? b2 ··········· ········· ·········· ········· ? ，得a 2 ? 2b 2 ， ····················2 分 2 a2
2 2 2

∵直线 l ：y=x+2 与圆 x +y =b 相切， ∴

2 12 ? (?1) 2

··········· ········· 4 ·········· ·········· ? b ，解得 b ? 2 ，则 a2=4. ····················· 分

x2 y 2 ··········· ·········· ···· 5 ·········· ··········· ···· ? ? 1 . ··········· ··········· ···· 分 4 2 （Ⅱ）在 x 轴上存在点 P(m, 0) ，使得 ?PGH 是以 GH 为底边的等腰三角形.??6 分

? x2 y2 ? 由 ? 4 ? 2 ? 1，得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?

2 2 2

2 1 ，又因为 k ? 0 ，所以 k ? . 2 2 ? 8k 设 G( x1 , y1 ) ， H ( x2 , y2 ) ，则 x1 ? x 2 ? . ··················7 分 ··········· ······· ·········· ······· 1 ? 2k 2

? PG ? PH ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 + x2 - 2m, y1 + y2 ) .
= ( x1 + x2 - 2m, k ( x1 + x2 ) + 4 ) ???? GH ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1, k ( x2 ? x1 )) . ??? ???? ???? ? 由于等腰三角形中线与底边互相垂直，则 ( PG ? PH ) ? GH ? 0 . ·········· 分 ········· 8 ········· 所以 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m] + k ( x2 - x1 )[k ( x1 + x2 ) + 4] = 0 . 故 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m + k ( x1 + x2 ) + 4k ] = 0 . 即 ( x2 - x1 )[(1+ k )( x1 + x2 ) + 4k - 2m] = 0 因为 k ? 0 ，所以 x 2 - x1 ? 0 .所以 (1+ k )( x1 + x2 ) + 4k - 2m = 0 .
2 2 2

?8k ? (1 ? k 2 )( ) ? 4k ? 2m ? 0, 解得 m ? ?2k 2 ? ?2 2 1 1 ? 2k 1 ? 2k ? 2k k

1 1 2k 2 ? 1 2 ? 2k ，当 k ? ?0， 时， y? ? ? 2 ? 2 ? k k k2 2
1 2 ? 2k 在 ( , ??) 上单调递增，所以 k 2

y?

1 2 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· ? 2? ? 2 2 ， ······························ 10 分 2 2 2

?2 ?2 2 ? ?? ···························· 11 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· y 2 2 2

（若学生用基本不等式求解无证明扣 1 分） 又因为 k ? 0 ，所以 m ? 0. 所以 ?

2 ? m ? 0 ，. 2
2 ? m ? 0 . ·····12 分 ····· ···· 2

22. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算 求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分 14 分.

1 1 ? m ··········· ···· 分 ln x ? mx , x ? 0 ? f ?( x) ? ··········· ··· 1 ·········· ···· 2x 2 当 m ? 0 时 f ?( x) ? 0 ， f (x) 在（0，+∞）单调递增.················2 分 ··········· ····· ·········· ·····

1 2m

? f ?( x) ? 0 1 得 0<x< 2m ?x ? 0 ? f ?( x) ? 0 1 得 x> ··········· ··········· ···· 4 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 2m ?x ? 0

1 1 ） ，单调递减区间为（ ，+∞）. ·· 分 ·5 · 2m 2m

1 1 1 , f ( x) ? ln x ? 2 x ,对 ?x1 , x2 ? [2,2e 2 ] 都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立 2 2e 2e 2 2 等价于对 ? x ? [2, 2e ] 都有 [ g ( x)]min ? [ f ( x)]max ·················· 分 ··········· ······ 6 ·········· ·······
（Ⅱ）若 m=
2 由（I）知在[2,2 e ]上 f (x) 的最大值 f (e ) =

2

1 ··········· ········ 分 ··········· ······· 7 ·········· ········ 2

g ?( x) ? 1 ?

a ? 0(a ? 0), x ? [2,2e 2 ] x2
2

a ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· [ g ( x)]min =g(2)=2- , ·································9 分 2 a 1 由 2- ? ，得 a ? 3 ，又因为 a ? 0 ，∴ a ∈ ?0,3? 2 2 所以实数 a 的取值范围为 ?0,3? 。 ···························· 分 ··························· 10 ·········· ··········· ······
（Ⅲ）证明： f ( x) ?

1 1 1 1 ln x ? mx , x ? 0 令 m= ，则 f ( x ) ? ln x ? x 2 2 2 2

1 f ( x) ? f (1) ? ? ， （当 x=1 时取“=”号） 2

1 1 1 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ ? ln x ? x ? ? , ln x ? x ? 1 ··························· 11 分 2 2 2

? 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ? ? 2n ln n
< 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?? 2 ? (n ?1) ······················· 分 ······················ 12 ·········· ··········· ·
2 3 4 n

3 4 4 n n ?1

? (n ?1) ??②

①-②得-S= 2 ? 2 ? ?? 2 ? (n ?1) ? 2
2 3 n

n ?1

? ?4(1 ? 2n?1 ) ? (n ?1) ? 2n?1

? S= 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ? 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ?? 2n ln n ? 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 （ n ? 2, n ? N * ） ·· 14 分 ·· ··

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