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2014-2015朝阳高三第一学期期中数学文科试题 及答案


北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷(文史类)

2014.11

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.已知集合 A ? x x 2 +x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 0 ,则集合 A A. x x ? ?2

?

?

?

?

B 等于
D. x ?2 ? x ? 1

?

?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C.

?x x ? 1?

?

?

2.要得到函数 y ? tan( x ? ) 的图象,只要将函数 y ? tan x 的图象

π 6

π A.向右平移 个单位 3 π C.向右平移 个单位 6

π B.向左平移 个单位 3 π D.向左平移 个单位 6

开始 a=1,b=1

a=a+2 b=b-a

3.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ? x3 ? a 在 R 上为单调递增函数”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
a<7?

是 否

4. 执行如图所示的程序框图,则输出的 b 值等于 A. ?3 C. ?15 B. ?8 D. ?24

输出 b 结束 第 4 题图

5. 如 图 , 点 D 是 线 段 BC 的 中 点 , BC ? 6 , 且

AB ? AC ? AB ? AC ,则 AD ?
A. 6 C. 3 B. 2 3 D.

A

3 2

B

D 第 5 题图

C

x 6. 已知命题 p : ?x ? R , 2 ? 0 ;命题 q :在曲线 y ? cos x 上存在斜率为 2 的切线,

则下列判断正确的是 A. p 是假命题 C. p ? ( q) 是真命题
?

B. q 是真命题 D. ( p) ? q 是真命题
?

1

7. 设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产,平均每人每年创造产值 t 万元(t 为正常 数) .公司决定从原有员工中分流 x ( 0 ? x ? 100 )人去进行新开发的产品 B 的生产.分流 后,继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2 x % .若 要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

△ ABC 顶点坐标分别为 A(0, 0) ,B(1, 3) , C (m, 0) . 8. 在平面直角坐标系中, 若 △ ABC
是钝角三角形,则正实数 m 的取值范围是 A. 0 ? m ? 1 C. 0 ? m ? 3 或 m ? 4 B. 0 ? m ? 3 D. 0 ? m ? 1 或 m ? 4

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量 a ? (2, ?1) , b ? ( x,1) ,若 a ? b ,则 x ? 10.已知 sin ? ? .

? ? 3 , ? ? ( , ?) ,则 cos? ? _______; tan( ? ? ) ? _______. 2 4 5

11. 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2? x ,且对于任意的 x ,有 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则实数 a 的值 为 .

? x ? y ? 2 ? 0, ? 12.已知 x , y 满足条件 ?3 x ? 2 y ? 6 ? 0, 则函数 z ? ?2 x ? y 的最大值是 ? y ? 2 ? 0, ?
13. 设函数 f ( x) ? ?



?e x ?1 ,

x ? 0,

?sin πx ? 1, 0 ? x ? 1.

若 f (m) ? 1 ,则实数 m 的值等于



14.已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ? x 的图象与直线 y ? 1 有且只有一个交点,则实数 a 的取值范 围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列,且 a2 ? a5 ? 19, a3 ? a6 ? 25 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {an ? bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

2

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? sin(2 x ? ) . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值与最小值. 17. (本小题满分 14 分) 如图,在△ ABC 中, ?ACB 为钝角, AB ? 2, BC ? 上一点,且 CD ? 3 ? 1. (Ⅰ)求 ?BCD 的大小; (Ⅱ)求 BD, AC 的长.
A C D

1 2

? 3

? 2

2, A ?
B

π . D 为 AC 延长线 6

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ? a , a ? R . (Ⅰ)若 a ? 2 ,试求函数 y ?

f ( x) ( x ? 0 )的最小值; x

(Ⅱ)对于任意的 x ? [0, 2] ,不等式 f ( x) ? a 成立,试求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足 a1 ? 2a2 ? (Ⅰ)若 a1 ? 1, a2 ? 2 ,求 b1 , b2 ; (Ⅱ)若 an ?

? nan ? n(n ? 1)bn , n ? N? .

n ?1 1 ,求证: bn ? ; n 2

(Ⅲ)若 bn ? n2 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) = ( x - a) ln x , a ? R . (Ⅰ)若 a = 0 ,对于任意的 x ? (0,1) ,求证: -

1 ? f ( x) e

0;

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 在其定义域内不是单调函数,求实数 a 的取值范围.

3

北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学答案(文史类)
一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C

2014.11

7 B

8 D

二、填空题: (满分 30 分) 题号 答案 9 10 11 12 4 13 14

1 2

?

4 5

1 7

?1

?1 或 1

a ? ?2

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? a2 ? a5 ? 19, ? 2a1 ? 5d ? 19, 整理得 ? ?2a1 ? 7 d ? 25. ?a3 ? a6 ? 25,
? d ? 3, ? a1 ? 2.

解得 ?

所以 an ? 3n ? 1 .?????????????????????????6 分 (Ⅱ)因为数列 {an ? bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? bn ? 2n ,所以 bn ? 3n ?1 ? 2n , 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ?

n(3n ? 1) 2(1 ? 2n ) 3n 2 ? n ? 4 n ?1 ? ? ?2 . 2 1? 2 2

???????????????????????????????13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x cos x ? sin(2 x ? )

1 2

? 3

1 1 ? ? ? sin 2x ? (sin 2x cos ? cos2x sin ) 2 2 3 3
4

1 1 3 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 4 4 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 4 4 1 ? ? sin(2 x ? ) . 2 3
则 f ( x) 的最小正周期为 ? . ????????????????????????7 分 (Ⅱ)因为 x ?[0, ] ,则 2 x ?

? 2

? ? ?? ?[ , ] . ? ? ?

? 3 ,1] . 所以 sin(2 x ? ) ? [? 3 2 1 ? 3 1 , ]. 所以 sin(2 x ? ) ? [ ? 2 3 4 2
则 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值为

1 ? ? ? ,此时 2 x ? ? ,即 x ? . 2 3 2 12 3 ? ? ?? ? f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为 ? ,此时 2 x ? ? ,即 x ? . 4 2 3 3 2 ? 2

???????????????????????????????13 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)在△ ABC 中,

π , BC ? 2 , 6 AB BC ? 由正弦定理可得 , sin ?ACB sin A
因为 AB ? 2, A ? 即

B

2 2 2 ? ? ?2 2, 1 sin ?ACB sin π 6 2
所以 sin ?ACB ?

A

C

D

2 . 2
3π . 4

因为 ?ACB 为钝角,所以 ?ACB ? 所以 ?BCD ?

π . 4

????????????????????????7 分
2 2 2

(Ⅱ)在△ BCD 中,由余弦定理可知 BD ? CB ? DC ? 2CB ? DC ? cos ?BCD , 即 BD ? ( 2) ? ( 3 ? 1) ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ? cos
2 2 2

π , 4

5

整理得 BD ? 2 . 在△ ABC 中,由余弦定理可知 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos A ,
2 2 2

即 ( 2) ? 2 ? AC ? 2 ? 2 ? AC ? cos
2 2 2

π , 6

整理得 AC ? 2 3AC ? 2 ? 0 .解得 AC ? 3 ? 1 .
2

因为 ?ACB 为钝角,所以 AC ? AB ? 2 .所以 AC ? 3 ? 1. ????????????????????????????????14 分 18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题意得 y ?

f ( x) x 2 ? 4 x ? 1 1 ? ? x? ?4. x x x
1 1 ? 2 ,当且仅当 x ? 时,即 x ? 1 时,等号成立. x x

因为 x ? 0 ,所以 x ? 所以 y ? ?2 .

f ( x) 的最小值为 ?2 .???????????????6 分 x (Ⅱ)因为 f ( x) ? a ? x2 ? 2ax ?1 ,所以要使得“ ? x ? [0, 2] ,不等式 f ( x) ? a 成立”
所以当 x ? 1 时, y ? 只要“ x ? 2ax ? 1 ? 0 在 [0, 2] 恒成立”.
2

不妨设 g ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ,则只要 g ( x) ? 0 在 [0, 2] 恒成立. 因为 g ( x) ? x2 ? 2ax ?1 ? ( x ? a)2 ?1 ? a2 , 所以 ?

? g (0) ? 0, ? 0 ? 0 ? 1 ? 0, 3 即? 解得 a ? . 4 ? g (2) ? 0, ?4 ? 4a ? 1 ? 0,
3 4

所以 a 的取值范围是 [ , ??) . ?????????????????????13 分 19(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,有 a1 ? 2b1 ? 1 ,所以 b1 = 当 n ? 2 时,有 a1 ? 2a2 ? (2 ? 3)b2 . 因为 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以 b2 ? (Ⅱ)因为 an ?

1 . 2

5 . 6

??????3 分

n ?1 n ?1 ? n ?1 . ,所以 nan ? n ? n n ? nan ? 2 ? 3 ? ? (n ? 1) ? (n ? 3)n ? n(n ? 1)bn . 2

所以 a1 ? 2a2 ?

6

所以 bn ?

1 n?3 1 2 1 ? ? (1 ? )? . 2 n ?1 2 n ?1 2

??????8 分 ?① ?②

(Ⅲ)由已知得 a1 ? 2a2 ? 当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ?

? nan ? n(n ? 1)bn

? (n ?1)an?1 ? (n ?1)nbn?1

①-②得, nan ? n ?(n ?1)bn ? (n ?1)bn?1 ? , 即 an ? n(bn ? bn?1 ) ? (bn ? bn?1 ) . 因为 bn ? n2 ,所以 an = 4n ? 3n ? 1 ( n ? 2 ) .
2

当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,又 a1 ? 2b1 = 2 ,符合上式. 所以 an = 4n ? 3n ? 1 ( n ? N ).
2 ?

??????14 分

20. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 当 a = 0 时, f ( x) = x ln x , f ? ( x) = ln x + 1 . 令 f? ( x) = ln x + 1 = 0 ,解得 x =

1 . e 1 e

当 x ? (0, ) 时, f ? ( x) < 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 是减函数;

1 e

1 ) 时, f ? ( x) > 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( , + e 1 1 1 所以函数 f ( x ) 在 x = 处取得最小值, f ( ) = - . e e e
当x? ( ,

1 e

) 为增函数.

因为 x ? (0,1) , ln x < 0 ,所以对任意 x ? (0,1) ,都有 f ( x) < 0 . 即对任意 x ? (0,1) , -

1 ? f ( x) e

0 . ???????????????6 分

(Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +

).

( x) = 又 f?

x ln x + x - a ,设 g ( x) = x ln x + x - a . x

令 g ( x) = x ln x + x - a = 0 ,即 a = x ln x + x ,设函数 h( x) = x ln x + x .

( x) = ln x + 2 = 0 ,则 x = e 令 h?
当 x ? (0,

- 2

.

1 1 ) 时, h? ( x) < 0 ,所以 h( x) 在 (0, 2 ) 上是减函数; 2 e e 1 1 ) 时, h? ( x) > 0 ,所以 h( x) 在 ( 2 , + ) 上是增函数; 当x? ( 2 , e e

7

所以 h( x) min = h( 于是,当 a ?

1 1 1 ) = - 2 .则 x ? ? 0, ??? 时, h( x ) ? ? . 2 e e e 1 时,直线 y = a 与函数 h( x) = x ln x + x 的图象有公共点, e2

即函数 g ( x) = x ln x + x - a 至少有一个零点,也就是方程 f ? ( x) = 0 至少有一个实数根.

1 时, g ( x) = x ln x + x - a 有且只有一个零点, e2 x ln x + x - a ( x) = 0 恒成立,函数 f ( x) 为单调增函数,不合题意,舍去. 所以 f ? x 1 即当 a > - 2 时,函数 f ( x ) 不是单调增函数. e
当a = 又因为 f ? ( x) < 0 不恒成立, 所以 a > -

1 为所求. e2

????????????????????????????????????13 分

8


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