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第一章 第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
基础梳理: 1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“______”、“______”、“______”叫做逻辑联结词. (2)用来判断复合命题真假的真值表: 逻辑联结词、符号表示及真值表 联结词 符号 q p 真 假 2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”、“一切”、“每一个”、“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有 的”等. (3)全称量词用符号“______”表示;存在量词用符号“______”表示. (4)全称命题与存在性命题 ①________________的命题叫全称命题. ②________________的命题叫存在性命题. 3.命题的否定 (1)全称命题的否定是存在性命题;存在性命题的否定是全称命题. (2)“p 或 q”的否定为:“非 p 且非 q”; “p 且 q”的否定为:“非 p 或非 q”. 基础自测: 1.命题 p:有的三角形是等边三角形.命题非 p:______________________________. 2.若命题“?x∈R,有 x2-mx-m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是________. 3.下列命题中,所有真命题的序号是________. ①5>2 且 7>4;②3>4 或 4>3;③ 2不是无理数. 4.(2011· 辽宁)已知命题 p:?n∈N,2n>1 000,则非 p 为 A.?n∈N,2n≤1 000 B.?n∈N,2n>1 000
1

且 p∧q 真 真 假 假 假 假

或 p∨q 真 真 真 假 真 假

非 綈p

假 真

(

)

C.?n∈N,2n≤1 000

D.?n∈N,2n<1 000

5.p,q 是两个简单命题,那么“p∧q 是假命题”是“p∨q 是假命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

(

)

D.既不充分也不必要条件

典例解析:题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断 例1 已知命题


p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数, p2:函数 y=2x+2 x 在 R 上为减函数,


则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(非 p1)∨p2 和 q4:p1∧(非 p2)中,真命题是________. 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“非 p”形式的复合命题,并判断 真假. (1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同;q:方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相等. 题型二 含有一个量词的命题的否定 例2 写出下列命题的否定,并判断其真假.

1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:?x0∈R,x2 0+2x0+2≤0;(4)s: 4
3 至少有一个实数 x0,使 x0 +1=0.

写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:?x>0,都有 x2-x≤0;(2)q:?x∈R,2x+x2≤1. 题型三 根据含有逻辑联结词的命题的真假,求参数的取值范围 例 3 1? |x - 1| 设 a 为实数,给出命题 p :关于 x 的不等式? ?2? ≥a 的解集为? ,命题 q:函数 f(x)=

9? 2 lg? ?ax +(a-2)x+8?的定义域为 R,若命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求 a 的取值范围.

(2011· 潍坊模拟)已知 a>0,设命题 p:函数 y=ax 在 R 上单调递增;命题 q:不等式 ax2 -ax+1>0 对?x∈R 恒成立.若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求 a 的取值范围.

课后作业:基础训练

2

一、选择题 1 .已知命题 p : ? x∈R , x2 + 1<2x ;命题 q :若 mx2 - mx - 1<0 恒成立,则- 4<m<0 ,那么 ( ) B.q 是真命题 C.“p 或 q”为假命题 D.“p 且 q”为真命题

A.“非 p”是假命题

2.已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x∈R,使 x2+2ax+2-a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是 A. {a|a≤-2 或 a=1} ( ) D. {a|-2≤a≤1}

B. {a|a≥1} C. {a|a≤-2 或 1≤a≤2}

3.已知 p:|x-a|<4;q:(x-2)(3-x)>0,若非 p 是非 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围为 ( ) B.a≤-1 或 a≥6 C.-1≤a≤6 D.-1<a<6

A.a<-1 或 a>6 二、填空题

4.若命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是______________. 5.令 p(x):ax2+2x+1>0,若对?x∈R,p(x)是真命题,则实数 a 的取值范围是__________. b 6.若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等式(x-a) (x-b)<0 a 的解 集是 {x|a<x<b} ,则在命题“p∧q”、“p∨q”、“ 非 p”、“ 非 q”中,是真命题的有 ____________. 三、解答题 1 ? 1 1 7.已知 c>0,设命题 p:函数 y=cx 为减函数.命题 q:当 x∈? ?2,2?时,函数 f(x)=x+x>c恒成立.如 果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求 c 的取值范围.

8.命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

课后作业:提升训练
3

一、选择题 a 1.若函数 f(x)=x2+ (a∈R),则下列结论正确的是 x ( )

A.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?a∈R,f(x)是偶函数 D.?a∈R,f(x)是奇函数 ( )

2.(2011· 安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定 是 .. A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数

1 3 .已知命题 p:? x∈R,2x2 + 2x+ <0;命题 q: ?x∈R, sin x -cos x= 2. 则下列判断正确的是 2 ( ) B.q 是假命题 C. ? p 是假命题 D. ? q 是假命题

A.p 是真命题 二、填空题

1 4.已知 p: ≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若 p 是非 q 的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 2 ________. 5.已知命题 p:“?x∈R,?m∈R,4x-2x 1+m=0”,若命题非 p 是假命题,则实数 m 的取值范围


是__________. 6.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根,q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根.则 使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是__________________. 7.下列结论: ①若命题 p:?x∈R,tan x=1;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧非 q”是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.其中正确结 论的序号为________. 三、解答题 8.已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x2 0+2ax0 +2a≤0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.

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