当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性学

1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 [提出问题] 观察下列函数图象: 拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。 问题 1:从图象上看,自变量 x 增大时,函数 f(x)的值如何变化? 提示:甲图中,函数 f(x)的值随 x 增大而增大. 乙图中,函数 f(x)的值随 x 增大而减小. 丙图中,在 y 轴左侧,函数 f(x)的值随 x 的增大而减小; 在 y 轴右侧,函数 f(x)的值随 x 的增大而增大. 问题 2:甲、乙图中,若 x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是什么? 提示:甲图中,若 x1<x2,则 f(x1)<f(x2); 乙图中,若 x1<x2,则 f(x1)>f(x2). 问题 3:丙图中,若 x1<x2,f(x1)<f(x2),则自变量 x 属于哪个区间? 提示:(0,+∞). [导入新知] 1.定义域为 I 的函数 f(x)的增减性 2.单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. [化解疑难] 1.x1,x2 的三个特征 (1)任意性,即 x1,x2 是在某一区间上的任意两个值,不能以特殊值代换; 1 (2)有大小,即确定的两个值 x1,x2 必须区分大小,一般令 x1<x2; (3)同属一个单调区间. 2.理解函数的单调性应注意的问题 (1)函数的单调性是函数的局部性质,体现在函数的定义域或其子区间上,所以函数的 单调区间是其定义域的子集. (2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性. (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和” 连接.如函数 y=1x在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数 y=1x在(-∞, 0)∪(0,+∞)上单调递减. (4)并非所有的函数都具有单调性.如函数 f(x)=?????10, ,xx是 是有 无理 理数 数, 就不具有单调性. 由函数图象说明函数的单调性 [例 1] (1)函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是( ) A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] (2)画出函数 y=-x2+2|x|+1 的图象并写出函数的单调区间. [解] (1)选 C 根据函数单调性定义及函数图象知 f(x)在[-3,1]上单调递增. (2)y=?????--xx22+-22xx++11,, x≥0, x<0, 即 y=???- ??- x- x+ 2+2, x≥0, 2+2, x<0, 函数图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调减区间为[-1,0],[1, +∞). [类题通法] 由图象确定函数单调性的方法及注意事项 2 (1)图象从左向右上升,则函数递增;图象从左向右下降,则函数递减. (2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将 它们隔开或用“和”字连接. [活学活用] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|. 解:(1)f(x)=3|x|=?????3-x, 3xx,≥x0<, 0. 图象如图所示. f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为[0,+∞). (2)令 g(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出 g(x)的图象,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分,把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴 上方就得到 f(x)=|x2+2x-3|的图象,如图所示. 由图象易得函数的递增区间是[-3,-1],[1,+∞);函数的递减区间是(-∞,-3], [-1,1]. 函数单调性的证明 [例 2] 求证:函数 f(x)=x12在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数. [解] 证明:对于任意的 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2, 有 f(x1)-f(x2)=x121-x122 =x22x-21x22x21= x2-x1 x2+x1 x x2 2 12 . 3 ∵x1<x2<0,∴x2-x1>0,x1+x2<0,x21x22>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)=x12在(-∞,0)上是增函数. 对于任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,有 f(x1)-f(x2)= x2-x1 x2+x1 x x2 2 12 . ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x21x22>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). ∴函数 f(x)=x12在(0,+∞)上是减函数. [类题通法] 利用定义证明函数单调性的步骤 [活学活用] 求证:函数 f(x)=- x在其定义域上是减函数. 证明:f(x)=- x的定义域为[0,+∞). 设 0≤x1<x2,则 x1-x2<0, 且 f(x2)-f(x1)=(- x2)-(- x1) = x1- x2 = x1- x2 x1+ x2 x1+ x2 = x1-x2 . x1+ x2 ∵x1-x2<0, x1+ x2>0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)=- x在它的定义域[0,+∞)上是减函数. 由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),则 a 的 取值范围是________. 4 (2)已知函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上单调,求实数 a

相关文章:
...学年教案必修(1)第一章---1.3 函数的基本性质的...
a +1 ? 2 解得 1...
高一数学各个章节知识点总结
高一数学各个章节知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修一 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的基本性质 第二章 基本...
更多相关标签: