# 切比雪夫不等式的推广及应用

（ 2013 届本科）

The promotion and application of chebyshev inequality
Song Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo

(No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000) Abstract: Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probability of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities. Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance

1 引言

1

2 预备知识

P ? X ? E ( x) ? ?

??

D( X )

?2

.

?2 ?

( f (1 x ?)

f 2 ( x ) )g( 1 ?x(

)g ) f) ( x) 与 0 g ( x) 成似序； ,( 则称 倘若反向的不等式成立, 2 ?x

?? ??

??

??

x f ( x)dx 收

xf ( x)dx 为 X 的数学期望,则 D( X ) ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) 为 X 的方差.

3

?

b

a

f ( x)dx ? g ( x)dx ? (b ? a) ? f ( x) g ( x)dx
a a

b

b

F (t ) ? (t ? a)? f ( x)g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? g ( x)dx ,
a a a

t

t

t

F (t ) 求导得

F ' (t ) ? ? f ( x)g ( x)dx ? (t ? a) f (t ) g (t ) ? f (t )? g ( x)dx ? g (t )? f ( x)dx
a a a

t

t

t

2

? ? ? f ( x) g ( x) ? f (t ) g (t ) ? f (t ) g ( x) ? g (t ) f ( x)? dx
t a t

? ? ? f ( x) ? f (t )?? g ( x) ? g (t )? dx .
a

? f ( x) ? f (t )?? g ( x) ? g (t )? ? 0 ,

(b ? a)? f ( x)g ( x)dx ? ? f ( x)dx? g ( x)dx ? 0 ,
a a a b b b

? ? f ( x)dx? g ( x)dx ? (b ? a)? f ( x) g ( x)dx .
a a a

b

b

b

m1 ? m2 ? ? ? mn ,或 l1 ? l2 ? ? ? ln , m1 ? m2 ? ? ? mn ,则成立如下不等式

1 n 1 n 1 n li mi ? ( ? li )( ? mi ) . ? n i ?1 n i ?1 n i ?1

l1m1 ? l2 m2 ? ?ln mn ? l1m1 ? l2 m2 ? ? ? ln mn , l1m1 ? l2 m2 ? ?ln mn ? l1m2 ? l2 m3 ? ? ? ln m1 , l1m1 ? l2 m2 ? ?ln mn ? l1m3 ? l2 m4 ? ? ? ln m2 ,
??

l1m1 ? l2 m2 ? ?ln mn ? l1mn ? l2 m1 ? ? ? ln mn?1 ,

n? li mi ? (? li )(? mi ) ,
i ?1 i ?1 i ?1 n n n

3

1 n 1 n 1 n l m ? ( l )( ? i i n? ? mi ) . i n i ?1 n i ?1 i ?1

3

?4 ?

a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 或者 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 时,有如下不等

(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi )
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

(1)

(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi )
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

(2)

a1 ? a2 ? ? ? an 或b1 ? b2 ? ? ? bn .

i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

k

k ? 1时
(?1 a1 ) ? (?1b1 ) ? ?1 ? (?1 a1b1 )

(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi )
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n

(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ai ? ?n ?1 an ?1 ) ? (? ?i bi ? ?n ?1bn ?1 )
i ?1 i ?1
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

n

n

? (? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? ?n ?1 an ?1 ? ?i bi ? ?n ?1bn ?1 ? ?i ai ? ?n2?1 an ?1bn ?1
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

4

? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) ? ?n ?1 an ?1 ? ?i bi ? ?n ?1bn ?1 ? ?i ai ? ?n2?1 an ?1bn ?1
i ?1 n i ?1 n i ?1 n i ?1

n

n

n

n

? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) ? ?n ?1 an ?1 ? ?i bn ?1 ? ?n ?1 ? ?i ai bi ? ?n2?1an ?1bn ?1
i ?1 n i ?1 n i ?1 i ?1 n

n

? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) ? ?n ?1 an ?1bn ?1 ? ?i ? ?n ?1 ? ?i ai bi ? ?n2?1an ?1bn ?1
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

? (? ?i ? ?n ?1 ) ? (? ?i ai bi ? ?n ?1 an ?1bn ?1 )
i ?1 i ?1

n

n

? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) .
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi )
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

4

4.1 例 1 利用切比雪夫不等式估计随机变量 X 落入区间 ? a, b ? 内的概率 P(a ? X ? b)
?5?

xm ? x e ( x ? 0) , 用切比雪夫不等式估计 m!

P ?0 ? X ? 2(m ? 1)?

E( X ) ? ? x
0 ??

xm ? x 1 ?? e dx ? ? x m?1e? x dx m! m! 0

?

1 (m ? 1)! ?(m ? 2) ? m! m!
2

? m ? 1.
D( X ) ? E ( X 2 ) ? ? E ( X )?
5

? ? x2
0

??

xm ? x e dx ? (m ? 1)2 m!

?

1 ?( m ? 3 ) ? m ( ? 21 ) m!

? (m ? 1 ) m ( ? 2) ? m( ?2 1 )

? m ? 1.

( ? 1的 ) 各 端 同 减 去 E ( X )? m ? 1, 把 待 估 概 率 第 二 步 : 将 不 等 式 0 ? X ? 2m
P ? 0 ? X ? 2 (m ? ? 1化成 ) P( X ? E ( X ) ? ? ) 的形式 P ?0 ? X ? 2(m ? 1)? ? P ? ?(m ? 1) ? X ? (m ? 1) ? m ? 1?
? P? ? X ? (m ? 1) ? m ? 1? ? ? P? ? X ? E ( X ) ? m ? 1? ?.

P ? 0 ? X ? 2(m ? 1) ? ? P ? ? X ? E ( X ) ? m ? 1? ? ? P? ? X ? E( X ) ? ? ? ?

? 1?

D( X )

?

2

? 1?

m ?1 (m ? 1) 2

?

m . m ?1

4.2 求解或者证明一些有关概率的不等式 例2
?6?

E( X ) ? 0.75n, D( X ) ? 0.75 ? 0.25n ? 0.1875n .

P(0.74 ?

X ? 0.76) ? 0.90 的最小的 n . n

X ? 0.76) 可改写为 P(0.74n ? X ? 0.76n) ,则 n
P(0.74n ? X ? 0.76n) ? P(?0.01n ? X ? 0.75n ? 0.01n)
6

? P? ? X ? E ( X ) ? 0.01n ? ?.

? 1? D( X ) (0.01n) 2

? 1?

0.1875n 0.0001n 2 1875 . ? 1? n

1875 ? 0.90 , n n? 1875 ? 18750 . 1 ? 0.9

?7?

E ( X i ) , D( X i ) , i ? 1, 2,?, n,? 且存在常数 c , 使 D( X i ) ? c (i ? 1, 2,?, n,?) , 则对于任

?1 n ? 1 n lim p ? ? X i ? ? E ( X i ) ? ? ? ? 1 . n ?? n i ?1 ? n i ?1 ?

1 n ? Xi 则 n i ?1
E( 1 n 1 n X ) ? E( X i ) , ? i n? n i ?1 i ?1

D(

1 n 1 Xi ) ? 2 ? n i ?1 n

? D( X ) ?
i ?1 i

n

K . n

?1 P? ?n

?
i ?1

n

? 1 X i ? ? E( X i ) ? ? ? ? 1 ? n i ?1 ?
n

D(

1 n

?X
?
i ?1 2

n

i

)

? 1?
7

K . n? 2

?1 1? P? ?n

?X
i ?1

n

i

?

? 1 n K E( X i ) ? ? ? ? 1 ? ? n i ?1 n? 2 ?

.

?1 1? P? ?n

?X
i ?1

n

i

?

? 1 n E( X i ) ? ? ? ? 1 ? n i ?1 ?

?1 n ? 1 n ? lim p ? ? X i ? ? E ( X i ) ? ? ? ? 1 . n ?? n i ?1 ? n i ?1 ?

4.4 利用切比雪夫不等式证明不等式 例4
?7?

1 2?

?

?a

?a

e

?

x2 2

dx ? 1 ?

1 . a2

? ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, E( X ) ? 0 ,

D( X ) ? 1 .

p ? X ? 0 ? a? ? ?
?a

1 2?

?a

e

?

x2 2

dx .

p ? X ? 0 ? a? ? 1 ? 1 . a2

1 2?

?

?a

?a

e

?

x2 2

dx ? 1 ?

1 . a2

5

8

[1]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社.2009. [2] 韩 生 , 白 岩 , 刘 光 清 , 李 茂 . 契 比 雪 夫 不 等 式 的 一 个 新 证 明 [J]. 长 春 师 范 学 报.1995,17(1):24-25. [3]万星火.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社,2007. [4]楼宇同.契比雪夫不等式的推广[J].曲阜师范大学学报.1992,18(4):49-54. [5]上海交通大学数学系编.概率论与数理统计[M].上海:上海科学技术出版社,2004. [6]周勇,马昀宇,谢尚宇,王晓倩 译.理工科概率统计[M].北京:机械工业出版社,2009. [7]陈启浩.概率论与数理统计精讲精练[M].北京:北京师范大学出版社,2010. [8]霍玉洪.切比雪夫不等式及其应用[J].长春工业大学学报.2012,33(6):712-714.

9

【论文】切比雪夫不等式的应用.pdf

5-1 切比雪夫不等式_图文.ppt
5.1 切比雪夫不等式(Chebyshev) 定理5 -1 (Chebyshev