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切比雪夫不等式的推广及应用


编号

毕 业 论 文
( 2013 届本科)

题 学 专

目: 院: 业:

切比雪夫不等式的推广及应用 数学与统计学院 数学与应用数学

作者姓名: 指导教师: 完成日期: 2013 年 职称: 5 月 24 日

二○一三 年 五 月

切比雪夫不等式的推广及应用
摘 要 本文给出切比雪夫不等式的三种形式的推广,并利用契比雪夫不等式研究随机变量落入

某一区域的概率,求解证明概率方面的不等式,证明切比雪夫大数定理和特殊不等式等四个方面 的应用. 关键词 切比雪夫不等式;推广;应用;实例. 中图分类号 O211.1

The promotion and application of chebyshev inequality
Song Qiaoguo Instructor Zhu Fuguo

(No.25,Class 1 of 2013,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University,Zhangye,Gansu,734000) Abstract: Chebyshev inequality is presented in this paper the three forms of promotion, and use the chebyshev inequality study random variables into the probability of a certain area, solving the probability of inequality, prove chebyshev theorem of large number and the application of the four aspects, such as special inequalities. Abstract: chebyshev inequality;Promotion;Applications;The instance

1 引言
概率论是一门研究随机现象数量规律的科学 , 而切比雪夫不等式又是概率论中 介绍的极少数的重要不等式之一 , 尤其是在分布未知时某些事件的概率上下界常用 切比雪夫不等式.又如大数定理是概率论极限理论的基础,而切比雪夫不等式又是证 明它的重要途径 .作为一种理论工具,切比雪夫不等式不等式有很高的地位 . 虽然它 的证明其理论成果相对比较完善,但一般的概率论与数理统计教材对大数定律的介绍 篇幅较少, 但不够广泛 . 我们知道 ,数学的各门分支之间都是有一定联系的 , 若我们 在学习中能把这些联系点找出来并加以对比分析与应用,则既加深了对知识的理解, 贯通了新旧知识的联系 ,又拓宽了知识的应用范围 ,同时也活跃了思维, 无论从深度 上还是从广度上都是一个飞跃. 对切比雪夫不等式的应用问题的推广也是一项非常
1

有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广 , 不仅能加深对切比雪夫不等式的理 解,而且能使之更为有效的应用其他知识领域中.

2 预备知识
定义 1 ?1? (切比雪夫不等式)若随机变量 X 有数学期望 E ? X ? 和方差 D ? X ? ,则

对于任意的正数 ? ? 0 , 总有:
P ? X ? E ( x) ? ?

??

D( X )

?2

.

定 义 2

?2 ?

如 果 函 数 f ( x ) 和 g ( x) 对 于 一 切 x1 , x2 均 成 立

( f (1 x ?)

f 2 ( x ) )g( 1 ?x(

)g ) f) ( x) 与 0 g ( x) 成似序; ,( 则称 倘若反向的不等式成立, 2 ?x

则称 f ( x) 与 g ( x) 成反序. 定义 3 ?3 ? 敛,则称 ?
?? ??

设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) ,若积分 ?

??

??

x f ( x)dx 收

xf ( x)dx 为 X 的数学期望,则 D( X ) ? E ( X 2 ) ? E 2 ( X ) 为 X 的方差.

3

主要结论及证明
定理 1 ?2 ? 切比雪夫不等式积分形式

如果连续函数 f ( x) 与 g ( x) 在区间 ? a, b ? 上成似序,则成立如下不等式

?
证明 引入辅助函数

b

a

f ( x)dx ? g ( x)dx ? (b ? a) ? f ( x) g ( x)dx
a a

b

b

相反,如果 f ( x) 与 g ( x) 成反序,则不等号反向.

F (t ) ? (t ? a)? f ( x)g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? g ( x)dx ,
a a a

t

t

t

F (t ) 求导得

F ' (t ) ? ? f ( x)g ( x)dx ? (t ? a) f (t ) g (t ) ? f (t )? g ( x)dx ? g (t )? f ( x)dx
a a a

t

t

t

2

? ? ? f ( x) g ( x) ? f (t ) g (t ) ? f (t ) g ( x) ? g (t ) f ( x)? dx
t a t

? ? ? f ( x) ? f (t )?? g ( x) ? g (t )? dx .
a

由于 f ( x) 与与 g ( x) 在区间 ? a, b ? 上成似序,故有

? f ( x) ? f (t )?? g ( x) ? g (t )? ? 0 ,
于是 F ' (t ) ? 0 ,因此 F (t ) 在 ? a, b ? 上单调递增, 又 F (a) ? 0,? F (b) ? 0 ,即
(b ? a)? f ( x)g ( x)dx ? ? f ( x)dx? g ( x)dx ? 0 ,
a a a b b b

? ? f ( x)dx? g ( x)dx ? (b ? a)? f ( x) g ( x)dx .
a a a

b

b

b

同理反序成立. 定理 2 ?4 ? 切比雪夫不等式有限形式 若 l ? (l1 , l2 ,?, ln ) 和 m ? (m1 , m2 ,?, mn ) 是两个实序列,且满 l1 ? l2 ? ? ? ln ,
m1 ? m2 ? ? ? mn ,或 l1 ? l2 ? ? ? ln , m1 ? m2 ? ? ? mn ,则成立如下不等式

1 n 1 n 1 n li mi ? ( ? li )( ? mi ) . ? n i ?1 n i ?1 n i ?1

证明 设 l1 , l2 ,?, ln , m1 , m2 ,?, mn 为两个有相同次序的序列,有排序不等式得
l1m1 ? l2 m2 ? ?ln mn ? l1m1 ? l2 m2 ? ? ? ln mn , l1m1 ? l2 m2 ? ?ln mn ? l1m2 ? l2 m3 ? ? ? ln m1 , l1m1 ? l2 m2 ? ?ln mn ? l1m3 ? l2 m4 ? ? ? ln m2 ,
??

l1m1 ? l2 m2 ? ?ln mn ? l1mn ? l2 m1 ? ? ? ln mn?1 ,

将这 n 个式子相加得到
n? li mi ? (? li )(? mi ) ,
i ?1 i ?1 i ?1 n n n

不等式两边同时除以 n 2 ,得
3

1 n 1 n 1 n l m ? ( l )( ? i i n? ? mi ) . i n i ?1 n i ?1 i ?1

定 理

3

?4 ?

设 a ? (a1 , a2 ,?, an ) , b ? (b1 , b2 ,?, bn ) ? R , ?i ? 0, 则 当

a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 或者 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 时,有如下不等

式成立

(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi )
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

(1)

当 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 或者 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 时,也有如下 不等式成立

(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi )
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

(2)

并且当 ?i ? 0 ,对于任意的 i ? 1, 2,?, n 时,则 (1) , (2) 中等式成立的条件是
a1 ? a2 ? ? ? an 或b1 ? b2 ? ? ? bn .

证明

先证明 (? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) 成立.
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

k

用数学归纳法
k ? 1时
(?1 a1 ) ? (?1b1 ) ? ?1 ? (?1 a1b1 )

则不等式成立. 假设 k ? n 时
(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi )
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n

成立. 下证 k ? n ? 1 时
(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ai ? ?n ?1 an ?1 ) ? (? ?i bi ? ?n ?1bn ?1 )
i ?1 i ?1
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

n

n

? (? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? ?n ?1 an ?1 ? ?i bi ? ?n ?1bn ?1 ? ?i ai ? ?n2?1 an ?1bn ?1
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

n

4

? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) ? ?n ?1 an ?1 ? ?i bi ? ?n ?1bn ?1 ? ?i ai ? ?n2?1 an ?1bn ?1
i ?1 n i ?1 n i ?1 n i ?1

n

n

n

n

? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) ? ?n ?1 an ?1 ? ?i bn ?1 ? ?n ?1 ? ?i ai bi ? ?n2?1an ?1bn ?1
i ?1 n i ?1 n i ?1 i ?1 n

n

? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) ? ?n ?1 an ?1bn ?1 ? ?i ? ?n ?1 ? ?i ai bi ? ?n2?1an ?1bn ?1
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

? (? ?i ? ?n ?1 ) ? (? ?i ai bi ? ?n ?1 an ?1bn ?1 )
i ?1 i ?1

n

n

? (? ?i ) ? (? ?i ai bi ) .
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

当 n ? ? 时,两边取极限 则有

(? ?i ai ) ? (? ?i bi ) ? (? ?i ) ? (? ?i ai bi )
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

成立. 同理可证(2)式成立.

4

切比雪夫不等式的应用
4.1 例 1 利用切比雪夫不等式估计随机变量 X 落入区间 ? a, b ? 内的概率 P(a ? X ? b)
?5?

设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ?

xm ? x e ( x ? 0) , 用切比雪夫不等式估计 m!

P ?0 ? X ? 2(m ? 1)?
解 第一步:求 E ( X ) 和 D( X )
E( X ) ? ? x
0 ??

xm ? x 1 ?? e dx ? ? x m?1e? x dx m! m! 0

?

1 (m ? 1)! ?(m ? 2) ? m! m!
2

? m ? 1.
D( X ) ? E ( X 2 ) ? ? E ( X )?
5

? ? x2
0

??

xm ? x e dx ? (m ? 1)2 m!

?

1 ?( m ? 3 ) ? m ( ? 21 ) m!

? (m ? 1 ) m ( ? 2) ? m( ?2 1 )

? m ? 1.

( ? 1的 ) 各 端 同 减 去 E ( X )? m ? 1, 把 待 估 概 率 第 二 步 : 将 不 等 式 0 ? X ? 2m
P ? 0 ? X ? 2 (m ? ? 1化成 ) P( X ? E ( X ) ? ? ) 的形式 P ?0 ? X ? 2(m ? 1)? ? P ? ?(m ? 1) ? X ? (m ? 1) ? m ? 1?
? P? ? X ? (m ? 1) ? m ? 1? ? ? P? ? X ? E ( X ) ? m ? 1? ?.

第三步:取 ? ? m ? 1 ,利用切比雪夫不等式估计概率
P ? 0 ? X ? 2(m ? 1) ? ? P ? ? X ? E ( X ) ? m ? 1? ? ? P? ? X ? E( X ) ? ? ? ?

? 1?

D( X )

?

2

? 1?

m ?1 (m ? 1) 2

?

m . m ?1

4.2 求解或者证明一些有关概率的不等式 例2
?6?

设在每次试验中,事件 A 发生的概率为 0.75 ,利用切比雪夫不等式求: n 需

要多大时 ,才能使得在 n 次独立重复试验中,事件 A 出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的 概率至少为 0.90 ? 解 设 X 为 n 次试验中,事件 A 出现的次数,则 X ~ B(n,0.75) ,
E( X ) ? 0.75n, D( X ) ? 0.75 ? 0.25n ? 0.1875n .

所求为满足 P(0.74 ?
P(0.74 ?

X ? 0.76) ? 0.90 的最小的 n . n

X ? 0.76) 可改写为 P(0.74n ? X ? 0.76n) ,则 n
P(0.74n ? X ? 0.76n) ? P(?0.01n ? X ? 0.75n ? 0.01n)
6

? P? ? X ? E ( X ) ? 0.01n ? ?.

在切比雪夫不等式中取 ? ? 0.01n ,则 X P(0.74 ? ? 0.76) ? P ? ? X ? E ( X ) ? 0.01n ? ? n
? 1? D( X ) (0.01n) 2

? 1?

0.1875n 0.0001n 2 1875 . ? 1? n

依题意,取 1 ? 解得

1875 ? 0.90 , n n? 1875 ? 18750 . 1 ? 0.9

即 n 取 18750 时,可以使得在 n 次独立重复试验中,事件 A 出现的概率在 0.74 ? 0.76 之 间概率至少为 0.90. 4.3 利用切比雪夫不等式证明切比雪夫大数定理 例 3
?7?

设 X1 ,?, X n ? 是相互独立的随机事件 , 其数学期望和方差分分别为

E ( X i ) , D( X i ) , i ? 1, 2,?, n,? 且存在常数 c , 使 D( X i ) ? c (i ? 1, 2,?, n,?) , 则对于任

意给的正数 ? ? 0 ,有
?1 n ? 1 n lim p ? ? X i ? ? E ( X i ) ? ? ? ? 1 . n ?? n i ?1 ? n i ?1 ?

解 设X ?

1 n ? Xi 则 n i ?1
E( 1 n 1 n X ) ? E( X i ) , ? i n? n i ?1 i ?1

D(

1 n 1 Xi ) ? 2 ? n i ?1 n

? D( X ) ?
i ?1 i

n

K . n

由切比雪夫不等式得:
?1 P? ?n

?
i ?1

n

? 1 X i ? ? E( X i ) ? ? ? ? 1 ? n i ?1 ?
n

D(

1 n

?X
?
i ?1 2

n

i

)

? 1?
7

K . n? 2

所以
?1 1? P? ?n

?X
i ?1

n

i

?

? 1 n K E( X i ) ? ? ? ? 1 ? ? n i ?1 n? 2 ?

.

另 n ?? ,由两边夹定理
?1 1? P? ?n

?X
i ?1

n

i

?

? 1 n E( X i ) ? ? ? ? 1 ? n i ?1 ?

?1 n ? 1 n ? lim p ? ? X i ? ? E ( X i ) ? ? ? ? 1 . n ?? n i ?1 ? n i ?1 ?

4.4 利用切比雪夫不等式证明不等式 例4
?7?

证明

1 2?

?

?a

?a

e

?

x2 2

dx ? 1 ?

1 . a2

证明 构造一个随机变量 X ,设 X ? N (0,1) ,则

? ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, E( X ) ? 0 ,

D( X ) ? 1 .


p ? X ? 0 ? a? ? ?
?a

1 2?

?a

e

?

x2 2

dx .

由切比雪夫不等式知
p ? X ? 0 ? a? ? 1 ? 1 . a2

所以
1 2?

?

?a

?a

e

?

x2 2

dx ? 1 ?

1 . a2

5

总结
切比雪夫不等式不等式是概率论中的重要不等式,本文将切比雪夫不等式进行

了不同形式的推广,并研究总结了切比雪夫不等式不等式在概率论中的不同应用, 通过本文的研究可以将切比雪夫不等式及其推广的不同形式能灵活应用,所以研究
8

切比雪夫不等式有很重要的研究意义. 致谢 本文撰写过程得到老师的悉心指导,在此对朱老师表示衷心的感谢.









[1]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社.2009. [2] 韩 生 , 白 岩 , 刘 光 清 , 李 茂 . 契 比 雪 夫 不 等 式 的 一 个 新 证 明 [J]. 长 春 师 范 学 报.1995,17(1):24-25. [3]万星火.概率论与数理统计[M].北京:科学出版社,2007. [4]楼宇同.契比雪夫不等式的推广[J].曲阜师范大学学报.1992,18(4):49-54. [5]上海交通大学数学系编.概率论与数理统计[M].上海:上海科学技术出版社,2004. [6]周勇,马昀宇,谢尚宇,王晓倩 译.理工科概率统计[M].北京:机械工业出版社,2009. [7]陈启浩.概率论与数理统计精讲精练[M].北京:北京师范大学出版社,2010. [8]霍玉洪.切比雪夫不等式及其应用[J].长春工业大学学报.2012,33(6):712-714.

9


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