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重庆一中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


重庆一中 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) . 2 x 1. (5 分)已知集合 A={x|x +4x﹣12<0},B={x|2 >2},则 A∩B=() A.{x|x<6} B.{x|1<x<2} C.{x|﹣6<x<2} D.{x|x<2}

2. (5 分)已知 sinx+cosx= A. B.

,则 sin2x=() C. ﹣ D.﹣

3. (5 分)设 a>1>b>﹣1,则下列不等式中恒成立的是() A.a>b
2

B. >

C. <

D.a >2b

2

4. (5 分)下列命题的说法错误的是() A.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件. 2 2 C. 对于命题 p:?x∈R,x +x+1>0,则?p:?x∈R,x +x+1≤0. 2 2 D.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 5. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d<0,若 a4a6=24,a2+a8=10,则该数列的前 n 项和 Sn 的 最大值为() A.50 B.45 C.40 D.35 6. (5 分)在△ ABC 中,已知 A.﹣2 B. 2 C.±4 ,则 D.±2 的值为()

7. (5 分)函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的 是() A.f(1)<f( )<f( ) ( )<f(1) D.
2

B.f( )<f(1)<f( ) f( )<f(1)<f( )

C. f( )<f

8. (5 分)若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为() A.1 B. C. D.

9. (5 分)在约束条件

下,当 3≤s≤5 时,目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是

() A.[6,15]

B.[7,15]

C.[6,8] , ,

D.[7,8] ,

10. (5 分)已知 O 为坐标原点, ,记 围是() A. B. |、 |、

|中的最大值为 M,当 a 取遍一切实数时,M 的取值范

C.

D.

二.填空题: (本大题共 3 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11. (5 分)在等比数列{an}中,若公比 q=4,前 3 项的和等于 21,则该数列的通项公式 an=. 12. (5 分)已知 =(2,1) , =(3,λ) ,若 ,则 λ 的值是.
2

13. (5 分)若正实数 x,y 满足 x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立,则 实数 a 的取值范围是.

三、选做题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 14. (5 分)如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点,PA= 则∠PAB=.

,PB=1,

15. (5 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点 M 的极坐标为 , 曲线 C 的参数方程为 (α 为参数) . 求

点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值. 16.若关于 x 的不等式 a≥|x+1|﹣|x﹣2|存在实数解,则实数 a 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程 17. (13 分)等差数列{an}的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数. (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 Sn 是正数时,求 n 的最大值. 18. (13 分)如图为函数 y=Asin(ωx+φ) (A,ω>0,|φ|<π)图象的一段. (1)求其解析式; (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 方程. 个单位长度后得 y=f(x) ,求 f(x)的对称轴

19. (13 分) 已知函数 ( f x) =alnx﹣bx 图象上一点 P (2, ( f 2) ) 处的切线方程为 y=﹣3x+2ln2+2. (1)求 a,b 的值; (2)若方程 f(x)+m=0 在 数的底) . 20. (12 分)已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)+m, (m∈R) ,在区间[0, (1)求实数 m 的值; (2)在△ ABC 中,三内角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,且 的取值范围. 21. (12 分)已知点 H(﹣3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上,点 M 在 PQ 上,且 满足 ? =0, =﹣ . ,求 b ]内最大值为 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然对

2



(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹方程 C; 2 2 (2)给定圆 N:x +y =2x,过圆心 N 作直线 l,此直线与圆 N 和(1)中的轨迹 C 共有四个 交点,自上而下顺次记为 A,B,C,D,如果线段 AB,BC,CD 的长按此顺序构成一个等差 数列,求直线 l 的方程.

22. (12 分)已知数列{an}满足:an+1= (1)求{bn}的通项公式; (2)求证:当 n≥3 时,b1+b2+…+bn< .

,a1=2,bn=

重庆一中 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) . 2 x 1. (5 分)已知集合 A={x|x +4x﹣12<0},B={x|2 >2},则 A∩B=() A.{x|x<6} B.{x|1<x<2} C.{x|﹣6<x<2} D.{x|x<2} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 2 x 分析: 分别求出不等式 x +4x﹣12<0 和 2 >2 的解集,即求出集合 A、B,再由交集的运算 求出 A∩B. 2 解答: 解:由 x +4x﹣12<0 得,﹣6<x<2,则 A={x|﹣6<x<2}, x 由 2 >2 得,x>1,则 B={x|x>1}, 所以 A∩B={x|1<x<2}, 故选:B. 点评: 本题考查了交集及其运算,以及一元二次不等式、指数不等式的解法,属于基础题.

2. (5 分)已知 sinx+cosx= A. B.

,则 sin2x=() C. ﹣ D.﹣

考点: 二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 sinx+cosx= 解答: 解:∵sinx+cosx= ∴1+2sinxcosx= , . ,两边平方有 1+2sinxcosx= , ,由二倍角公式可得 sin2x=﹣ .

∴可解得 sin2x=﹣

故选:C. 点评: 本题主要考察了二倍角的正弦公式的应用,属于基本知识的考查. 3. (5 分)设 a>1>b>﹣1,则下列不等式中恒成立的是() A.a>b
2

B. >

C. <

D.a >2b

2

考点: 不等式的基本性质.

专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 a>1>b>﹣1,可得 a>1,0<b <1.即可得出. 解答: 解:∵a>1>b>﹣1, 2 ∴a>1,0<b <1. 2 ∴a>b . 故选:A. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 4. (5 分)下列命题的说法错误的是() A.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件. 2 2 C. 对于命题 p:?x∈R,x +x+1>0,则?p:?x∈R,x +x+1≤0. 2 2 D.命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A:p∧q 为假命题时,p 假 q 真,或 p 真 q 假,或 p,q 均为假命题; B:判断充分性与必要性是否成立即可; C:根据全称命题的否定是特称命题进行判断; D:根据命题与它的逆否命题的关系进行判断即可. 解答: 解:对于 A,当 p∧q 为假命题时,p 假 q 真,或 p 真 q 假,或 p,q 均为假命题,∴A 错误; 对于 B,x=1 时,x ﹣3x+2=0,充分性成立, 2 x ﹣3x+2=0 时,x=1 或 x=2,必要性不成立,∴是充分不必要条件,B 正确; 2 2 对于 C,当命题 p:?x∈R,x +x+1>0 时,它的否定是¬p:?x∈R,x +x+1≤0,∴C 正确; 2 2 对于 D,命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题是:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”,∴D 正确. 故选:A. 点评: 本题通过命题真假的判断,考查了复合命题的真假性,充分与必要条件,全称命题 与特称命题以及四种命题真假的关系的应用问题,是综合题目. 5. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d<0,若 a4a6=24,a2+a8=10,则该数列的前 n 项和 Sn 的 最大值为() A.50 B.45 C.40 D.35 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 先用等差数列的通项公式,分别表示出 a4a6 和 a2+a8,联立方程求得 d 和 a1,进而可 表示出 Sn,利用二次函数的性质求得其最大值. 解答: 解:依题意可知
2 2 2

求得 d=﹣1,a1=9

∴Sn=9n﹣

=﹣ n +9n+ ,

∴当 n=9 时,Sn 最大,S9=81﹣

=45

故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的前 n 项的和和通项公式的应用.考查了学生对等差数列 基本公式的理解和应用. 6. (5 分)在△ ABC 中,已知 A.﹣2 B. 2 C.±4

,则 D.±2

的值为()

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 先根据三角形的面积公式可求得 A 的正弦值,从而可求得余弦值,根据向量的数量 积运算可得到 解答: 解:∵ ∴sinA= ∴cosA=± ∴ = =4×1×(± )=±2 ; 的值. = ,

故选:D. 点评: 本题主要考查三角形的面积公式的应用和向量的数量积运算.向量和三角函数的综 合题是 2015 届高考热点问题也是 2015 届高考的重点, 每年必考, 平时一定要多积累这方面的 知识. 7. (5 分)函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的 是() A.f(1)<f( )<f( ) ( )<f(1) D. B.f( )<f(1)<f( ) f( )<f(1)<f( ) C. f( )<f

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由已知中函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶函数,我们可得函 数 y=f(x)在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上函数 y=f(x)满足 f(2﹣x)=f(2+x) ,由此 要比较 f( ) ,f(1) ,f( )的大小,可以比较 f( ) ,f(3) ,f( ) . 解答: 解:∵函数 y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数 f(x+2)是偶函数, ∴函数 y=f(x)在[2,4]上单调递减 且在[0,4]上函数 y=f(x)满足 f(2﹣x)=f(2+x)

即 f(1)=f(3) ∵f( )<f(3)<f( ) ∴f( )<f(1)<f( ) 故选 B 点评: 本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合,其中根据已知条件,判断出函数在[2, 4]上单调递减,且在[0,4]上函数 y=f(x)满足 f(2﹣x)=f(2+x) ,是解答本题的关键. 8. (5 分)若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为() A.1 B. C. D.
2

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 设出切点坐标,利用导数在切点处的函数值,就是切线的斜率,求出切点,然后再 求点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离. 解答: 解:过点 P 作 y=x﹣2 的平行直线,且与曲线 2 y=x ﹣lnx 相切, 2 设 P(x0,x0 ﹣lnx0)则有 k=y′|x=x0=2x0﹣ ∴2x0﹣ .

=1,∴x0=1 或 x0=﹣ (舍去) .

∴P(1,1) , ∴d= = .

故选 B. 点评: 本题考查点到直线的距离,导数的应用,考查计算能力,是基础题.

9. (5 分)在约束条件

下,当 3≤s≤5 时,目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是

() A.[6,15]

B.[7,15]

C.[6,8]

D.[7,8]

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 z=3x+2y 过区 域内边界上的某些点时,z 最大值即可.

解答: 解:由 (0,4) ,

交点为 A(2,0) ,B(4﹣s,2s﹣4) ,C(0,s) ,C'

当 3≤s<4 时可行域是四边形 OABC,此时,7≤z≤8 当 4≤s≤5 时可行域是△ OAC'此时,zmax=8 故选 D. 点评: 本题主要考查了简单的线性规划.由于线性规划的介入,借助于平面区域,可以研 究函数的最值或最优解;借助于平面区域特性,我们还可以优化数学解题,借助于规划思想, 巧妙应用平面区域,为我们的数学解题增添了活力.

10. (5 分)已知 O 为坐标原点, ,记 围是() A. B. |、 |、







|中的最大值为 M,当 a 取遍一切实数时,M 的取值范

C.

D.

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 对 a 分类讨论,当 a=0 时,M≥ .当 a=7 时, (A,B,C 三点共线)时,则当 P 落在 AB 的中点上时,M 取最小值. 当 a≠0,且 a≠7 时,当 P 落在△ ABC 的外心 Q 上时,且 Q 最小时,M 有最小值.由于 Q 所在 的直线与 AB 垂直,故 Q 落在直线 y=x 上.利用直线与抛物线相交即可得出. 解答: 解:∵ , , , ,

当 a=0 时,P 取 AC 的中点时,M≥ . 当 a=7 时, (A,B,C 三点共线)时,则当 P 落在 AB 的中点上时,M 取最小值,M 当 a≠0,且 a≠7 时,当 P 落在△ ABC 的外心 Q 上时,且 Q 最小时,M 有最小值. ∵Q 所在的直线与 AB 垂直,故 Q 落在直线 y=x 上. .

若 PA ≥PB ,则 y≥x; 2 2 2 当 y≥x 时,M =max{PA ,PC }. 2 ∵到点 C 的距离等于到 x 轴的距离的点的轨迹是抛物线: (x﹣3) =8(y﹣2) , 交直线 y=x 于 P(7﹣2 ,7﹣2 ) , ∴Mmin=7﹣2 , ∴当 a=2 时,M 取最小值 7﹣2 . ∴M 的取值范围是 . 故选:C. 点评: 本题考查了向量的差的模的运算、分类讨论思想方法、三角形外心的性质、直线与 抛物线相交问题,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二.填空题: (本大题共 3 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) . 11. (5 分)在等比数列{an}中,若公比 q=4,前 3 项的和等于 21,则该数列的通项公式 an=4 ﹣1 . 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 根据等比数列的通项公式,把 q 代入前 3 项的和,进而求得 a1 则数列的通项公式可 得. 解答: 解:由题意知 a1+4a1+16a1=21, 解得 a1=1, n﹣1 所以通项 an=4 . n﹣1 故答案为:4 . 点评: 本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题.
n

2

2

12. (5 分)已知 =(2,1) , =(3,λ) ,若

,则 λ 的值是 3 或﹣1.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的数量积公式求出 出方程求出值. 解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ 即 即 12+2λ﹣9﹣λ =0
2



;利用向量垂直的充要条件:数量积为 0,列



解得 λ=3 或﹣1 故答案为:3 或﹣1 点评: 本题考查向量垂直的充要条件:数量积为 0;向量的数量积公式. 13. (5 分)若正实数 x,y 满足 x+2y+4=4xy,且不等式(x+2y)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立,则 实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3]∪[ ,+∞) .
2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 原不等式恒成立可化为 xy≥ 恒成立,由基本不等式结合不等式的解法可

得 xy≥2,故只需 2≥

恒成立,解关于 a 的不等式可得.

解答: 解:∵正实数 x,y 满足 x+2y+4=4xy,可得 x+2y=4xy﹣4, ∴不等式(x+2y)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立, 2 即(4xy﹣4)a +2a+2xy﹣34≥0 恒成立, 2 2 变形可得 2xy(2a +1)≥4a ﹣2a+34 恒成立, 即 xy≥ 恒成立, ,
2

∵x>0,y>0,∴x+2y≥2 ∴4xy=x+2y+4≥4+2 , 即2 ﹣ ?

﹣2≥0,解不等式可得



,或

≤﹣

(舍负)

可得 xy≥2,要使 xy≥ 化简可得 2a +a﹣15≥0,
2

恒成立,只需 2≥

恒成立,

即(a+3) (2a﹣5)≥0,解得 a≤﹣3 或 a≥ , 故答案为: 点评: 本题考查基本不等式的应用,涉及恒成立问题,变形并求出需要的最小值是解决问 题的关键,属中档题. 三、选做题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 10 分) 14. (5 分)如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点,PA= 则∠PAB=30°.

,PB=1,

考点: 与圆有关的比例线段;弦切角. 专题: 选作题;立体几何. 分析: 连接 OA,则 OA⊥PA,利用切割线定理,求出 PO,OA,即可求出∠PAB. 解答: 解:连接 OA,则 OA⊥PA. ∵PA 是圆 O 的切线, ∴PA =PB?PC, ∵PA= ,PB=1, ∴PC=3, ∴PO=2,OA=1, ∴sin∠PAB= , ∴∠PAB=30°. 故答案为:30°. 点评: 本题考查切割线定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 15. (5 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知点 M 的极坐标为 , 曲线 C 的参数方程为 . (α 为参数) . 求
2

点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值 5﹣

考点: 简单曲线的极坐标方程;圆的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可把点 M 的坐标化为直角坐标,进而即可求出直线 OM 的 方程;再把曲线 C 的参数方程化为化为普通方程,再利用|MA|﹣r 即可求出最小值. 解答: 解:由曲线 C 的参数方程 化成普通方程为: (x﹣1) +y =2, 圆心为 A(1,0) ,半径为 r= , 由于点 M 在曲线 C 外,故点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值为|MA| . 故答案为:5﹣ . 点评: 充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点 M 到曲线(圆)C 上的点的距离的最小 值为|MA|﹣r 是解题的关键. 16.若关于 x 的不等式 a≥|x+1|﹣|x﹣2|存在实数解,则实数 a 的取值范围是[﹣3,+∞) . 考点: 绝对值不等式的解法.
2 2

(α 为参数) ,

专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 由于||x+1|﹣|x﹣2||≤|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,即有﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3,由存在性问题 的结论,则 a≥﹣3. 解答: 解:由于||x+1|﹣|x﹣2||≤|(x+1)﹣(x﹣2)|=3, 即有﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3, 由于关于 x 的不等式 a≥|x+1|﹣|x﹣2|存在实数解, 则 a≥﹣3. 故答案为:[﹣3,+∞) . 点评: 本题考查绝对值不等式的性质,考查存在性问题,注意转化为求函数的最值,属于 中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程 17. (13 分)等差数列{an}的首项为 23,公差为整数,且第 6 项为正数,从第 7 项起为负数. (1)求此数列的公差 d; (2)当前 n 项和 Sn 是正数时,求 n 的最大值. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 a6>0,a7<0 且公差 d∈Z,可求出 d 的值; (2)由前 n 项和 Sn>0,以及 n∈N*,求出 n 的最大值. 解答: 解: (1)由题意,得 a6=a1+5d=23+5d>0, a7=a1+6d=23+6d<0, ∴﹣ <d<﹣ ,

又 d∈Z, ∴d=﹣4; (2)前 n 项和 Sn=23n+ 整理,得 n(50﹣4n)>0; ∴0<n<
*

?(﹣4)>0,



又∵n∈N , ∴n 的最大值为 12. 点评: 本题考查了等差数列的有关运算问题,解题时应根据等差数列的性质与通项公式、 前 n 项和,进行计算,即可得出正确的答案,是基础题. 18. (13 分)如图为函数 y=Asin(ωx+φ) (A,ω>0,|φ|<π)图象的一段. (1)求其解析式; (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 方程. 个单位长度后得 y=f(x) ,求 f(x)的对称轴

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值, 可得函数的解析式. (2)由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,利用正弦函数的对称性,求得 f(x) 的对称轴方程 解答: 解: (1)由图象可得 A= 再根据五点法作图可得 2× 故函数的解析式为 y= (2)把 y= ﹣ ] )的图象, =kπ+ ,k∈z,求得 x= + ,故 f(x)的对称轴方程为:x= + ,k∈z. sin(2x﹣ , T= ? = , ﹣ = ,∴ω=2.

+φ=0,∴φ=﹣ ) .

sin(2x﹣

)的图象向左平移

个单位长度后得 y=f(x)=

sin[2(x+



=sin(2x﹣ 令 2x﹣

点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的对称性,属 于基础题. 19. (13 分) 已知函数 ( f x) =alnx﹣bx 图象上一点 P (2, ( f 2) ) 处的切线方程为 y=﹣3x+2ln2+2. (1)求 a,b 的值; (2)若方程 f(x)+m=0 在 数的底) . 考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的几何意义. 专题: 计算题. 分析: (1)对函数 f(x)进行求导,根据 f'(2)=﹣3 得到关于 a、b 的关系式,再将 x=2 代入切线方程得到 f(2)的值从而求出答案. (2)由(1)确定函数 f(x)的解析式,进而表示出函数 h(x)后对其求导,根据单调性与 其极值点确定关系式得到答案. 解答: 解(1) , ,f(2)=aln2﹣4b. 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然对
2



,且 aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2.

解得 a=2,b=1. 2 2 (2)f(x)=2lnx﹣x ,令 h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x +m, 则 在 内,当 x∈ ,令 h'(x)=0,得 x=1(x=﹣1 舍去) . 时,h'(x)>0,∴h(x)是增函数;

当 x∈(1,e]时,h'(x)<0,∴h(x)是减函数.

则方程 h(x)=0 在

内有两个不等实根的充要条件是

即 1<m≤



点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 20. (12 分)已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)+m, (m∈R) ,在区间[0, (1)求实数 m 的值; (2)在△ ABC 中,三内角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,且 的取值范围. 考点: 正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用函数的解析式通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的解析式, 通过正弦函数的最值,求实数 m 的值; (2)利用 ,求出 B 的值,通过 a+c=2 以及正弦定理,直接求 b 的表达式,通过 ,求 b ]内最大值为 ,

A 的范围集合正弦函数的值的范围,求解 b 取值范围. 解答: 解: (1)f(x)=2cosx(sinx+cosx)+m =2cosxsinx+2cos x+m =sin2x+cos2x+m+1 = 当 x∈[0, 在区间[0, ∴ ]时, ]内函数的最大值为 +m+1, 最大值为 , ,
2

∴m=﹣1 (2) 解得 由正弦定理得: , (∵0<B<π)



, (当

时取最大值



∴1≤b<2, (当△ ABC 为正三角形时,b=1) 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,二倍角公式的应用,正弦定理的应用,考查转化 思想以及计算能力. 21. (12 分)已知点 H(﹣3,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上,点 M 在 PQ 上,且 满足 ? =0,
2

=﹣
2



(1)当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹方程 C; (2)给定圆 N:x +y =2x,过圆心 N 作直线 l,此直线与圆 N 和(1)中的轨迹 C 共有四个 交点,自上而下顺次记为 A,B,C,D,如果线段 AB,BC,CD 的长按此顺序构成一个等差 数列,求直线 l 的方程. 考点: 轨迹方程;圆与圆锥曲线的综合. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 M(x,y) ,P(0,y') ,Q(x',0) ,利用已知条件,转化为坐标运算表达式, 求出 ,消去 y',x'可得轨迹方程.
2

(2)求出圆 N 的直径|BC|=2,圆心 N(1,0) ,设 l 的方程为 x=my+1 代入(1)得 y ﹣4my ﹣4=0,设 A(x1,y1) ,D(x2,y2)利用韦达定理,求出弦长,通过线段 AB,BC,CD 成一 个等差数列,求出变量 m,j 即可得到直线 l 的方程. 解答: 解: (1)设 M(x,y) ,P(0,y') ,Q(x',0) , ∵ ∴ ∴
2 2

, , (3,y')?(x,y﹣y')=0, ,

代入 3x+yy'﹣y' =0,整理得 y =4x(x>0) . 2 2 (2)圆 N: (x﹣1) +y =1,直径|BC|=2,圆心 N(1,0) , 2 设 l 的方程为 x=my+1 代入 y =4x(x>0) , 2 得 y ﹣4my﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,D(x2,y2)则 ,

因为线段 AB,BC,CD 成一个等差数列, ∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|, ∴ ,

所以直线 l 的方程为 . 点评: 本题考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系,等差数列的应用,考查计算能力 以及转化思想.

22. (12 分)已知数列{an}满足:an+1= (1)求{bn}的通项公式; (2)求证:当 n≥3 时,b1+b2+…+bn< .

,a1=2,bn=

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列;二项式定理. 分析: (1)求出 bn+1,因式分解,得到 bn+1=bn ,两边取 3 为底的对数,得到等比数列, 由等比数列的通项公式,即可得到 bn; (2)运用二项式定理,得到当 n≥3,3
n﹣1 3

=(1+2)

n﹣1

=

>2n,

再由指数函数的单调性,运用等比数列的求和公式,即可得证. 解答: (1)解:由于 an+1= ,bn= ,

则 bn+1=

=

=(

) =bn ,

3

3

由于 b1=

= ,
3

则 log3bn+1=log3bn =3log3bn, 即有{log3bn}为等比数列,即有 log3bn=log3 ?3 即有 bn=( )
3n﹣1 n﹣1




n﹣1

(2)证明:当 n≥3,3 则 bn=( )
3n﹣1

=(1+2)

n﹣1

=

>2n,

<( ) (n≥3) , +( ) +…+( )
6 2n

2n

故当 n≥3 时,b1+b2+…+bn<

=

+



=



即原不等式成立. 点评: 本题考查数列通项公式的求法,考查等比数列的通项和求和公式的运用,考查二项 式定理及其运用,属于中档题.


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