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数学选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2双曲线标准方程及性质的应用


? 第二课时 双曲线标准方程及 性质的应用

? 1.了解直线与双曲线的位置关系及其判 定方法. ? 2.会求直线与双曲线相交所得的弦长、 弦中点等问题. ? 3.了解双曲线的实际应用背景,体会建 立数学模型解决实际问题的过程.

相交 相离

相切

? 1.直线与双曲线有三种位置关系: 2 2 x y 、 C: 和2- . 双曲线 =1(a>0,b>0).② a b2 ? 一般地,设直线 l: =kx ,① 2 2 2 y2 2 +m(m 2 ≠0) 2 2 2
针对b2-a2k2进行分类讨论:

把①代入②得(b -a k )x -2a mkx-a m -a b =0.

b (1)当b -a k =0,即k=± 时,直线l与双曲线的渐近 a
2 2 2

线 平行 ,直线与双曲线C相交于一点. b (2)当b -a k ≠0,即k≠± 时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2- a
2 2 2

a2k2)· (-a2m2-a2b2).

? 当 时,直线与双曲线 有两个 公共点,此 Δ>0 时称直线与双曲线相交; ? 当 时,直线与双曲线 有一个 公共点,此 Δ=0 时称直线与双曲线相切; ? 当 时,直线与双曲线 没有 公共点,此 Δ<0 时称直线与双曲线相离.

? 思考 直线与双曲线只有一个公共点是直 线与双曲线相切的什么条件. ? 当直线与双曲线相切时,直线与 双曲线只有一个公共点;反过来,只有一 个公共点时却不一定相切,因为当直线平 行于渐近线时,直线与双曲线也是只有一 个公共点,故直线与双曲线只有一个公共 点是直线与双曲线相切的必要而不充分条 件.

2.弦长公式 斜率为k的直线与双曲线交于两点A(x1,y1),B(x2, y2),则|AB|= 1+k |x1-x2| =
2

1 1+ 2|y1-y2| . k

? 直线与双曲线位置关系的判定方法及应注 意的问题: ? 直线与双曲线的位置关系的判定,通常是 利用方程的观点,即把直线与双曲线的方 程联立,讨论方程组解的个数,方程组有 几个解,那么直线与双曲线就有几个公共 点.但判定直线与双曲线是否相交、相切、 相离时应注意:

? (1)直线与双曲线相交时,有一个交点或 两个交点之分; ? (2)直线与双曲线有一个公共点时,有相 交或相切之分. ? 故直线与双曲线只有一个交点是直线与双 曲线相切的必要不充分条件.

? 不能单纯使用Δ来判定直线与双曲线的位 置关系,要看二次项系数能否为零.

? 1.弦长的求法 ? 求直线与双曲线相交所得弦长,主要利用 弦长公式,要注意方程的思想以及根与系 数的关系的应用. ? 2.弦中点问题解决方法 ? 对于弦中点问题,通常使用点差法解决, 以减小运算量,提高运算速度. ? 另外,对于相交弦问题还要注意灵活转化, 如垂直、相等等问题也可以转化成中点、 弦长问题解决.

?

已知双曲线x2-y2=4,直线l:y =k(x-1),试确定实数k的取值范围,使: (1)直线l与双曲线有两个公共点; ? (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; ? (3)直线l与双曲线没有公共点.

? 【分析】 公共点的个数由方程联立得方 程组解的个数决定,进而由方程组消元得 到的一元二次方程的判别式决定,但要注 意直线与渐近线平行的情况.

【解】

?x2-y2=4, ? 由? ? ?y=k?x-1?,

消去y,

得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,(*) 当1-k2=0,即k=± 1,直线l与双曲线的渐近线平行, 方程化为2x=5, 故方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲线相交,有 且只有一个公共点. 当1-k2≠0,即k≠± 1时, Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).

?4-3k2>0, ? (1)? 2 ? 1 - k ≠0, ?

2 3 2 3 即- <k< , 3 3

且k≠± 1时,方程(*)有两个不同的实数解,即直线与双 曲线有两个不同的公共点.
?4-3k2=0, ? (2) ? 2 ? 1 - k ≠0, ?

2 3 即k=± 时,方程(*)有两个相同的 3

实数解,即直线与双曲线有且只有一个公共点.

?4-3k2<0, ? (3)? 2 ? 1 - k ≠0, ?

2 3 2 3 即k<- 或k> 时,方程(*)无实数 3 3

解,即直线与双曲线无公共点. 2 3 2 3 综上所述,(1)当- 3 <k<-1或-1<k<1或1<k< 3 时,直线与双曲线有两个公共点. 2 3 (2)当k=± 1或k=± 时,直线与双曲线有且只有一个 3 公共点. 2 3 2 3 (3)当k<- 或k> 时,直线与双曲线没有公共点. 3 3

? 解决直线与双曲线的位置关系题,一般先 联立方程组,消去一个变量,转化为关于 x或y的一元二次方程.若二次项系数为零 即直线与渐近线平行时,直线与双曲线只 有一个交点,当二次项系数不为零时,根 据判别式判定位置关系.

2 y 已知双曲线x2- 4 =1,过点P(1,1)的直

线l与双曲线只有一个公共点,求直线l的方程.

? 解:可分两种情况: ? ①直线l斜率不存在时,l:x=1与双曲线 相切,符合题意,此时直线l为x=1. ? ②直线l斜率存在时,设l方程为y=k(x-1) +1, ? 代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x -k2+2k-5=0.

当4-k2=0,即k=± 2,即l与双曲线的渐近线平行时, l与双曲线只有一个公共点.直线l为y=2x-1或y=-2x+3. 5 当4-k ≠0时,令Δ=0,得k=2,
2

5 3 直线l为y=2x-2. 综上,直线l的方程为x=1或y=2x-1或y=-2x+3或y 5 3 =2x-2.

?

已知双曲线3x2-y2=3,直线l过 右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线 交于A、B两点,试问A、B两点是否位于 双曲线的同一支上?并求弦AB的长. ? 【分析】 写出l的方程,与双曲线方程 联立方程组,消元利用判别式和弦长公式 求解.

【解】 ∵a=1,b= 3,c=2, ∵直线l过点F2且倾斜角为45° , ∴直线l的方程为y=x-2, 代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0. 设A(x1,y1)、B(x2,y2), 7 ∵x1· x2=-2<0, ∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上. 7 ∵x1+x2=-2,x1· x2=-2,

∴|AB |= 1+12|x1-x2| = 2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· ?-2?
2

? 7? -4?-2?=6. ? ?

弦长公式应用广泛,联立直线与双曲线得的方程 组.若消去y,得到关于x的一元二次方程时,可用公式 |AB |= 1+k2|x1-x2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2];若消 去x,得到关于y的一元二次方程时,可用公式 |AB|= 1 1+ 2|y1-y2|= k
? 1? ?1+ 2?[?y1+y2?2-4y1y2]. k? ?

x2 y2 直线l在双曲线 3 - 2 =1上截得的弦长 为4,其斜率为2,求直线l在y轴上的截距m.
解:设直线l的方程为y=2x+m, ?y=2x+m, ? 2 2 由?x y - =1 ? 3 2 ? 得10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*)

设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由根与系数的关系, 6 3 2 得x1+x2=-5m,x1x2=10(m +2).

∴|AB |= 1+22|x1-x2| = 5[?x1+x2?2-4x1x2] =
?? 6 ? ? 3 2 2 5??-5m? -4×10?m +2??=4. ?? ? ?

210 解得m=± 3 . 由*式得Δ=24m2-240, 210 把m=± 代入上式,得Δ>0,符合题意. 3 210 故m的值为± . 3

?

? ? ? ?

过点P(8,1)的直线与双曲线 x2-4y2=4相交于A、B两点,且P是线段 AB的中点,求直线AB的方程. 解:设A(x1,y1)、B(x2,y2), ∵(8,1)是弦AB的中点, ∴x1+x2=16,y1+y2=2. 把A、B两点坐标代入x2-4y2=4得,

2 x1 -4y2 1=4,① 2 x2 -4y2 2=4.②

①-②得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0. y1-y2 x1+x2 16 ∴ = = =2. x1-x2 4?y1+y2? 4×2 即直线l的斜率为2, ∴所求的直线方程为y-1=2(x-8)即2x-y-15=0. 经验证该直线符合题意.

?

某工程要挖一个横断面为半圆的 柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP或BP 运到P处(如图所示).已知PA=100 m, PB=150 m,∠APB=60°,试说明怎 样运土最省工.

? 【分析】 首先抽象为数学问题,半圆中 的点可分为三类:(1)沿AP到P较近;(2) 沿BP到P较近;(3)沿AP、BP到P同样 近.显然,第三类点是第一、二类的分界 点,设M是分界线上的任意一点,则有 |MA|+|PA|=|MB|+|PB|.于是|MA|- |MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.从而 发现第三类点M满足性质:点M到点A与 到点B的距离之差等于常数50,由双曲线 定义知,点M在以A、B为焦点的双曲线 的右支上,故问题转化为求此双曲线的方

? 【解】 以AB所在直线为x轴,线段AB 的中点为原点建立如图直角坐标系,设 M(x,y)是沿AP、BP运土同等距离的点, 则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, ? ∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50. ? 在△PAB中,由余弦定理得: ? |AB|2=|PA|2+|PB|2- 2|PA|·|PB|cos60°=17 500,且 50<|AB|.由双曲线定义知点M在以A、B为 焦点的双曲线右支上,

x2 y2 设此双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0) a b ?2a=50, ? 2 ?4c =17 500, ?c2=a2+b2, ?
?a2=625, ? 解之得? 2 ? ?b =3 750.

x2 y2 ∴点M轨迹是 625 - 3 750 =1(x≥25)在半圆内的一段双 曲线弧.于是运土时将双曲线弧左侧的土沿AP运到P处, 右侧的土沿BP运到P处最省工.

? 1.本题是不等量与等量关系问题,涉及 到分类思想,通过建立直角坐标系,利用 点的集合性质,构造圆锥曲线模型(即分 界线)从而确定出最优化区域. ? 2.应用分类思想解题的一般步骤:①确 定分类的对象;②进行合理的分类;③逐 类逐级讨论;④归纳各类结果.

?

如图,某灾区的灾民分布在 一个矩形地区,现要将救灾物资从P处紧 急运往灾区.P往灾区有两条道路PA、 PB,且PA=110公里,PB=150公里, AB=50公里.为了使救灾物资尽快送到 灾民手里,需要在灾区划分一条界线,使 从PA和PB两条路线到灾民所在地都比较 近,求出该界线的方程.

? 解:要使沿PA、PB两条线路到救灾地点 都比较近,有三种情况:(1)沿PA线路; (2)沿PB线路;(3)沿PA、PB线路都相同, 故分界线以第(3)种情况划分:即 ? |PA|+|MA|=|PB|+|MB|?110+|MA|= 150+|MB|, ? ∴|MA|-|MB|=40<|AB|=50,即知分界 线是以A、B为焦点的双曲线,AB= 50?2c=50?c=25,2a=40?a=20?b2 =225, ? 若以AB为x轴、AB的中点为原点建立直

x2 y2 则分界线方程是:400-225=1(在矩形内的一段). 注意:确定分界线的原则是:从P沿PA、PB到分界线 上点的距离.

1.过双曲线x2-y2=4的焦点且垂直于实轴的直线与双 曲线交于A,B两点,则AB的长为( A.2 C.8 B.4 D.4 2 )

解析:双曲线x2-y2=4的焦点为(± 2 2 ,0),把x=2 2 代入并解得y=± 2,∴|AB |=2-(-2)=4.

? 答案:B

? 2.过双曲线的一个顶点A作直线l,若l与 双曲线只有一个公共点,则这样的直线l 有几条( ) ? A.0 B.1 C.3 D.4 ? 解析:数形结合,过A与渐近线平行的有 两条,与实轴垂直的1条,均符合题意, 共3条. ? 答案:C

? 3.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲 线的离心率为________.
解析:如图,AM⊥l,FN⊥l,垂足分别为M,N且|AM | =2,|FN|=6,由△OAM∽△OFN, a 2 c ∴ =6,∴ =3. c a

? 答案:3

2-y2=8的右焦点且斜率为 ? 4.经过双曲线 x 解析:根据题意知直线方程为y=2(x-4), 2的直线被双曲线截得的线段的长是 代入双曲线x2-y2=8,得3x2-32x+72=0, ________.

设两根分别为x1,x2,则被截得线段的长为 160 20 2 -x2|= 5· ?x1+x2? -4x1x2= 5· 3 = 3 .
2

1+22 · |x1

20 2 答案: 3

2 y 5.过双曲线M:x2- 2 =1(b>0)的左顶点A作斜率为1 b

的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C, 且|AB |=|BC|,求双曲线M的离心率.
2 y 解:双曲线x2- 2 =1的两条渐近线方程分别为y=bx和 b

y=-bx,
?y=x+1, ? 由? ? ?y=bx

1 得x1= , b-1

? ?y=x+1, 由? ? ?y=-bx

1 得x2= , -b-1

又由已知|AB |=|BC|, 1 1 1 得 +1= + , -b-1 b-1 b+1 解得b=3,∴离心率e=
?b? 1+? ?2= ?1?

10.


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