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(江苏专用)2014届高三数学 必过关题 数列1


高三必过关题 4 数列(1)
考点一:等差数列的性质

1 例1 :在等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 80 ,则 a7 ? a8 ﹦ 2 答案:8
提 示 : 方 法 一 : 回 归 到 基 本 量 a1 、 d ; 方 法 二 ∵ 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 , ∴ 由

1 1 1 ∴ a7 ? a8 ? a6 ? d ? ? a6 ? 2d ? ? a6 ? 8 . a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 80 得 5a6 ? 80 , a6 ? 16 . 2 2 2
例2 :等差数列 { an } 前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0 , S2 m?1 =38, 则

m ? _______.
答:10 提示:等差数列的性质. 由 am?1 + am?1 - a 2 m =0 得到 2am ? am 2 ? 0, am ? 0 或 am ? 2

S2m?1 ? (2m ?1)am ? 38 , am ? 10

例3 已知命题:“在等差数列 ?an ? 中,若 4a2 ? a10 ? a? ? ? 24 ,则 S11 为定值”为真 .

命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为 答:18 提示:由 S11 ? 11a6 知 a6 为定值,将 4a2 ? a10 ? a( n ) 用 a6 表示成

4(a6 ? 4d ) ? a6 ? 4d ? a6 ? (n ? 6)d ,所以 n ? 6 ? 16 ? 4 ? 0 ,得 n ? 18 .
例4 :设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 答:

S3 1 S ? ,则 6 ? S6 3 S7



27 35

提示:

S3 S 3a ? 3d 6a ? 15d 27d 27 1 . ? 1 ? 得 a1 ? 2d , 6 ? 1 ? ? S 6 6a1 ? 15d 3 S 7 7a1 ? 21d 35d 35

d 2 d x ? (a1 ? ) x ? c≥0 的解集为 2 2 [0,22],则使数列{an}的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是 . 答:11 21 2n-23 提示:由已知得 d<0,c=0,a1=- d,令通项 an= d>0,得 n<11.5,于是数列的 2 2 前 11 项为正数,故所求最大的正整数 n 的值是 11. 例6 :设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 ,当 n = 时,
例5 :等差数列{an}的公差为 d,关于 x 的不等式

Sn 取得最大值.
答:6 提示:法一:由题意得 a6 ? 0, a7 ? 0 ,由单调性可知 S6 最大;法二:由 Sn 为 n 的二次函

数, S12 ? 0, S13 ? 0 ,可得,对称轴为 x ? k (6 ? k ? 6.5) ,所以 S6 最大. 例7 : 已知两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 和 Bn , 且 则使得

An 7n ? 4 5 , ? Bn n?3

an 为整数的正整数 n 的个数是________. bn

答:5 个 提示:由等差数列的前 n 项和及等差中项,

1 1 an 2 (a1 ? a2 n ?1 ) 2 ? 2n ? 1? (a1 ? a2 n ?1 ) A2 n ?1 7n ? 19 12 可得 ? ? ? ? ?7? bn 1 (b ? b ) 1 2n ? 1 (b ? b ) B2 n ?1 n ?1 n ?1 ? ? 1 2n?1 1 2 n ?1 2 2 a 故 n ? 1, 2,3,5,11 , n 为整数. bn
例8 :设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S 6 ? 36, S n ? 324 , S n?6 ? 144, 则

n =__________.
答:18 提示: S6 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 , Sn ? Sn?6 ? an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? an?4 ? an?5

S6 ? ? Sn ? Sn?6 ? ? 6(a1 ? an ) ? a1 ? an ? 36 , Sn ?
例9 :在等差数列 ?an ? 中, 正数的 n ? 答:19 .

n(a1 ? an ) 2

a11 ? ?1, 若它的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 Sn 取得最小 a10

提示:等差数列 ?an ? 前 n 项和有最大值, a1 ? 0, d ? 0 ,? a10 ? 0, a11 ? 0 ,由

a11 ? ?1 , a10

a10 ? a11 ? 0 , S20 ?

20 ? a10 ? a11 ? ? 0 , S19 ? 19a10 ? 0 2

例10: 已知数列 {an } 是以 ?2 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S7 是数列

?Sn ? 中的唯一最大项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是
答: ?12, 14?



提示:?Sn ? 中有最大项,a1 ? 0, d ? 0 ,S7 是数列 ?Sn ? 中的唯一最大项,a7 ? 0, a8 ? 0 例11:给定 81 个数排成如右图的数表,若每行 9 个数与 每列的 9 个数按表中顺序构成等差数列, 且表中正中间一个数 a11 a12 a21 a22 ? ? a91 a92 ? ? ? ? a19 a29 ? a99

a55=5,则表中所有数之和为___________.

答:405 提示:记所有数之和为 S,则 S ? 9(a15 ? a25 ? a35 ? 考点二:等比数列的性质 例12已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, 时, log2 a1 ? log2 a3 ? 答: n
2

? a95 ) ? 81a55 ? 405 ..
, 且 a5 ? a2 .

5 n?

? 22n ( n?3 )

, 则当 n ? 1

? log2 a2n?1 ?

2 提示:由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n , an ? 0 ,则 an ? 2n ,

故 log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 例13:已知 ?1, a1 , a2 , ?4 成等差数列, ?1, b1 , b2 , b3 , ?4 成等比数列,则 是__________. 答:

a2 ? a1 的值 b2

1 2

提示:

?1, a1 , a2 , ?4 成等差数列,? a2 ? a1 ?
2

?4 ? (?1) ? ?1 , 3

?1, b1, b2 , b3 , ?4 成

等比数列,? b2 ? ? ?1? ? ? ?4? ? 4 ,又

b2 ? ? ?1? q2 ? 0 ,? b2 ? ?2

例14:在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ? c?( c ? 0 )也是等 比数列,则 Sn 等于__________. 答: 2 n 提示:方法一:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,数列 ?an ? c?( c ? 0 )也是等比数列,则 方法二: 数列 ?an ? c? 成等比, 则 an ? c 、an ?1 ? c 、an?2 ? c 成等比, 得 2an?1 ? an ? an?2 , 又因为数列 ?an ? 为等比数列,所以 ?an ? 为常数数列 例15:等比数列 ?an ? 的公比为 q ,其前 n 项的积为 Tn ,并且满足条件 a1 ? 1 ,

a1 ? c, a2 ? c, a3 ? c 成等比,代入首相 2 和公比 q 可得到 q ? 1 ,所以 Sn ? 2n

a99a100 ?1 ? 0 ,

a99 ? 1 ? 0 .给出下列结论:① 0 ? q ? 1 ;② a99 a101 ?1 ? 0 ;③ T100 的 a100 ? 1

值 是 Tn 中 最 大 的 ; ④ 使 Tn ? 1 成 立 的 最 大 自 然 数 n 等 于 198 , 其 中 正 确 的 结 论 是 __________. 答:①②④

提示:由 a1>1,a99a100-1>0,得 q

197

?

a ?1 1 ? 0 ,又 99 ? 0 .得 a99 ? 1,0 ? a100 ? 1 , 2 a1 a100 ? 1

0 ? q ? 1 ,所以①成立, a99a101 ? a1002 ? 1 ,所以②成立 a99 ? 1,0 ? a100 ? 1 ,?T99 是
Tn 中最大的,所以③错误, T198 ? a1a2 ??? a197 a198 ? ? a99 a100

?

99

? 1,

T199 ? a1a2 ??? a198 a199 ? ? a100 ?

199

? 1 ,所以④成立

考点三:等差、等比数列的性质 例16:设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn? 2 成等差数列, 则q = 答: ?2 不成立, 提示: 当 q ? 1 时,Sn?1 ? ? n ?1? a1 ,Sn ? na1 ,Sn?2 ? ? n ? 2? a1 成等差, 当q ?1 时利用 Sn ? .

a1 ?1 ? q n ? 1? q

计算求解
*

例17:设数列 {an } 前 n 项和为 Sn ( n ? N ) ,关于数列 {an } 有下列命题: (1)若 an ? an?1 (n ? N*), 则 {an } 既是等差数列又是等比数列; (2)若 Sn ? an2 ? bn (a, b ? R) ,则 {an } 为等差数列; (3)若 {an } 为等比数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,....成等比数列; (4)若 Sn ? 1 ? (?1) n , 则 {an } 是等比数列; 其中正确的命题是 答: (2) (4) 提示: (1)中,?an ? 每项为 0 时,不是等比数列; (3)中 ?an ? 为 1,-1,1,-1 例18: 等差数列有如下性质: 若数列 {an } 为等差数列, 则当 bn ? 是反例. .

a1 ? a2 ? ... ? an 时, n
时,

数列 {bn } 也是等差数列; 类比上述性质, 若 {cn } 为正项等比数列, 则当 d n ? 数列 {dn } 也是等比数列. 答: n c1c2

cn

提示:类比推理. 考点四:等差、等比数列的综合

例19:设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为 _________. 答: 4 提示:解法一∵等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 10, S5 ? 15



4?3 ? S 4 ? 4a1 ? d ? 10 ? ? 2 ? ? S ? 5a ? 5 ? 4 d ? 15 5 1 ? ? 2



?2a1 ? 3d ? 5 ? ? a1 ? 2d ? 3



5 ? 3d 5 ? 3d ? ? 3d ? ?a4 ? a1 ? 3d ? 2 2 ? ?a4 ? a1 ? 3d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? 3 ? d ?


5 ? 3d ? a4 ? 3 ? d ,5 ? 3d ? 6 ? 2d , d ? 1 ∴ a4 ? 3 ? d ? 3 ? 1 ? 4 2

故 a4 的

最大值为 4 解法二:利用线性规划 例20: 已知各项均为正数的等比数列 {an } , 若 2a4 ?a3 ? 2 则 2a8 ? a7 的 a2 ?a1 ? 8 , 最小值为_________. 答: 54 提示: 2a4 ? a3 ? 2a2 ? a1 ? (2a2 ? a1 )(q2 ? 1) ,得到 q 2 ? 1 ,从而 2a8 ? a7 ? (2a2 ? a1 )q6 ?

8q 6 ,再用导数法求出最小值(可先换元) . q2 ? 1
二、解答题 例21:已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (1)求等差数列 {an } 的通项公式; (2)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项 和. 解析:(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a1 ? 3d ? ?3, ? a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 解得 ? 1 或? 1 ? d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

所以由等差数列通项公式可得 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (2)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a 3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a 3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.

??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ,记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . ? 3n ? 7, n ? 3.

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ?
? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ?
? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2 例22:设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 a5 ? a13 ? 34,S3 ? 9 .
(1)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式; ( 2 ) 设 数 列 {bn } 的 通 项 公 式 为 bn ?

an ,问: 是否存在正整数 t,使得 an ? t

b1,b2,bm (m ? 3,m ? N) 成等差数列?若存在,求出 t 和 m 的值;若不存在,请说明
理由.
? a5 ? a13 ? 34, 解答: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d. 由已知得 ? ?3a2 ? 9, ?a ? 8d ? 17, ?a ? 1, 即? 1 解得 ? 1 ? d ? 2. ? a1 ? d ? 3,

故 an ? 2n ? 1,Sn ? n2 . ( 2 )由( 1 )知 bn ?

2n ? 1 . 要使 b1 ,b2,bm 成等差数列,必须 2b2 ? b1 ? bm ,即 2n ? 1 ? t

3 1 2m ? 1 4 ,整理得 m ? 3 ? ,因为 m,t 为正整数,所以 t 只能取 2, ? ? 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t t ?1 3,5.当 t ? 2 时, m ? 7 ;当 t ? 3 时, m ? 5 ; 当 t ? 5 时, m ? 4 .故存在正整数 t,使得 2?
b1 ,b2,bm 成等差数列.

例23:已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 a1 ? m ,

an?1 ? ?an ? n ,

bn ? an ?

2n 4 ? . 3 9

(1) 当 m ? 1 时,求证: 对于任意的实数 ? , ?an ? 一定不是等差数列; (2) 当 ? ? ?

1 时,试判断 ?bn ? 是否为等比数列; 2

(3) 设 Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 m ,使得对任意的 正整数 n ,都有 由. 解答: (1)当 m ? 1 时, a1 ? 1, a2 ? ? ? 1, a3 ? ? 2 ? ? ? 2 ∵△=1-4=-3<0,方程无解。 假设 ?an ? 是等差数列,由 a1 ? a3 ? 2a2 得 ? 2 ? ? ? 3 ? 2(? ? 1) ,即 ? 2 ? ? ? 1=0 , 故对于任意的实数 ? , ?an ? 一定不是等差数列

1 2 ? S n ? ?若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理 3 3

1 1 2n 4 ? , 时, an ?1 ? ? an ? n .而 bn ? an ? 2 2 3 9 2(n ? 1) 4 ? ? (? 1 an ? n) ? 2(n ? 1) ? 4 所以 bn ?1 ? an ?1 ? 3 9 2 3 9
(2)当 ? ? ?
1 n 2 1 2n 4 1 ? ? an ? ? ? ? (an ? ? ) ? ? bn 2 3 9 2 3 9 2

又 b1 ? m ? 故当 m ?

2 4 2 ? ? m? 3 9 9

2 时, ?bn ? 不是等比数列. 9 2 2 1 当 m ? 时, ?bn ? 是以 m ? 为首项, ? 为公比的等比数列. 9 9 2 2 (3)由(Ⅱ)知,当 m ? 时, bn ? 0, Sn ? 0 ,不合要求. 9 2 1 2 1 2 (m ? )[1 ? (? )n ] 所以 m ? ,于是 S ? 9 2 ? 2 (m ? 2 )[1 ? (? 1 )n ] ,要使 ? S n ? 成立, n 9 3 3 1 3 9 2
1 ? (? ) 2



2 1 2 ? ?m? ? 1 n 9 1 n 9 2[1 ? (? ) ] 1 ? (? ) 2 2

1

令 f (n) ? 1 ? (? 1 ) n ,当 n 正奇数时, 1 ? f ( n) ?
2
2

3 3 ;当 n 正偶数时, ? f ( n) ? 1 . 2 4

故 f (n) ? 1 ? (? 1 ) n 的最大值为 欲

3 3 ,最小值为 2 4
1 3 2? 4 ? 2 1 2, ?m? ? 3 9 9 2

1 2 ? S n ? 对任意的正整数 n 都成立,则 3 3 8 . 9

即 8 ? m ? 8 ,所以 m ?
9 9

综上所述,存在唯一的实数 m =

8 1 2 ,使得对任意的正整数 n ,都有 ? S n ? 。 9 3 3

例24:已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n

(1)若数列 {an } 是等比数列,满足 2a1 数列

? a3 ? 3a 2 , a3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项,求

?a n ?的通项公式;

(2)是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ?若存在,请 求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由. 解答: (1)设等比数列

?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q ,

? a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1 q, (1) ? 2a1 ? a3 ? 3a 2 , 依题意,有 ? 即? 3 2 ?a 2 ? a 4 ? 2(a3 ? 2). ?a1 (q ? q ) ? 2a1 q ? 4. (2)


(1) 得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 .
? 1 时,不合题意舍;

当q 当q

? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n .

(2)假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则 方法 1: ? a1 ? ( n ? 1)d ? ? a1n ?

? ?

n ? n ? 1? ? d ? ? 2n 2 (n ? 1) ,得 2 ?

d2 2 3 3 1 n ? ( a1 d ? d 2 )n ? (a12 ? a1 d ? d 2 ) ? 2n 2 ? 2n 对 n ? N * 恒成立, 2 2 2 2
?d2 ? 2 ? 2, ? ?3 2 则 ? a1 d ? d ? 2, ?2 1 2 ? 2 3 ?a1 ? 2 a1 d ? 2 d ? 0, ?
解得 ?

?d ? 2, ?d ? ?2, 或? 此时 an ? 2n ,或 an ? ?2n . ?a1 ? 2, ?a1 ? ?2.

故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中 an ? 2n , 或 an ? ?2n . 方法 2:令 n ? 1 , a12 ? 4 ,得 a1 ? ?2 ,
2 令 n ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a2 ? 24 ? 0 ,

①当 a1 ? 2 时,得 a2 ? 4 或 a2 ? ?6 , 若 a2 ? 4 , 则 d ? 2 , an ? 2n , S n ? n(n ? 1) , 对 任 意 n ? N * 都 有

an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ;
若 a2 ? ?6 ,则 d ? ?8 , a3 ? ?14 , S3 ? ?18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . ②当 a1 ? ?2 时,得 a2 ? ?4 或 a2 ? 6 , 若 a2 ? ?4 , 则 d ? ?2 , an ? ?2n , S n ? ? n(n ? 1) , 对 任 意 n ? N * 都 有

an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ;
若 a2 ? 6 ,则 d ? 8 , a3 ? 14 , S3 ? 18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . 综上所述,存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中

an ? 2n ,或 an ? ?2n .
例25:一位幼儿园老师给班上 k ( k ? 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数 为 a0 ,就先从别处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第一个小朋友;再从别处 2

1 抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;,以后她总是在分给一个小朋 3 1 友后,就从别处抓 2 块糖放入盒中,然后把盒内糖果的 分给第 n( n ? 1,2,3, k ) 个小朋 n ?1 友.如果设分给第 n 个小朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内剩下的糖果数为 an .
(1) 当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2) 请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? ( n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3)是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果 存在,请求出所有的 k 和 a0 ,如果不存在,请说明理由. 解答:(1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2 ? ?

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2

1 ?a1 ? 2? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2? ? 1 ?a2 ? 2? ? 6 3 4 1 (2)由题意知: an ? ?an ?1 ? 2 ? ? ?an ?1 ? 2? ? n ?an ?1 ? 2? , n ?1 n ?1 a2 ? ?a1 ? 2 ? ?

即 ?n ? 1?an ? n?an ?1 ? 2 ? ? nan ?1 ? 2n , ? bn ? ( n ? 1)an ,? bn ? bn ?1 ? 2n,

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n ? n ? n?n ? 1? ,
2

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0

(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 , n ?1

若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列, 则 a1 ? a3 ? 2a2 , 即 (1 ? a0 ) ? 3 ?

1 2

a0 ? a ? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 , 4 3? ?

当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列 例26:设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2 , 公比为 q ( q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项;等差数列 ?bn ? 满足 2n ? (t ? bn )n ?
2

3 bn ? 0(t ? R, n ? N ? ) . 2

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2) 若对任意 n ? N ,有 anbn?1 ? ? an an?1 ? bn an?1 成立,求实数 ? 的取值范围;
?

(3)对每个正整数 k ,在 ak 和 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列 ?cn ? ,设 Tn 是数 列 ?cn ? 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m . 解答: (1)由题意

6a3 ? 8a1 ? a5 ,则 6q2 ? 8 ? q4 ,解得 q2 ? 4 或 q2 ? 2 a1 ? 2 ,所以 an ? 2n (n ? N * )

因为 为正整数,所以 q ? 2 , 又

q

bn ? 2n
由anbn ?1 ? ? an an ?1 ? bn an ?1得? ? n ?1 , 2n .

(2)



kn ?

kn +1 n ?1 ?1 , k 2 n 当 n ? 2, 时 kn ,得 n 单调减,



k1 =0 ,所以

? ? k2 ?

1 4

(3)由题意知, 则当 m ? 1 时, 当 m ? 2 时,

c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8,

T1 ? 2 ? 2c2 ? 4 ,不合题意,舍去;

T2 ? c1 ? c2 ? 4 ? 2c3 ,所以 m ? 2 成立; cm?1 ? 2 ,则 Tm ? 2cm?1 ,不合题意,舍去;从而 cm ?1 必是数列 ?an ? 中的

当 m ? 3 时,若 某一项

ak ?1 ,则

Tm ? a1 ? 2 ?
b1个

? 2 ? a2 ? 2 ?
b2个

? 2 ? a3 ? 2 ?
b3个

? 2 ? a4 ?

? ak ? 2 ?

?2
bk 个

? (2 ? 22 ? 23 ?
? 2(2k ? 1) ? 2 ?


? 2k ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ?

? bk )

(2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 2

2cm?1 ? 2ak ?1 ? 2 ? 2k ?1 ,所以 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2k ?1 ,
k 2

k 2 即 2 ? k ? k ? 1 ? 0 ,所以 2 ? 1 ? k ? k ? k (k ? 1)

因为 2 ? 1 (k ? N ) 为奇数,而 k ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解。
k * 2

即当 m ? 3 时,

Tm ? 2cm?1

综上所述,满足题意的正整数仅有 m ? 2 .


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