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四川省成都外国语学校2012届高三第六次月考 数学文


成都外国语学校高 2012 级第 6 次月考试题
数学试题( 数学试题(文) 命题人: 审题人: 命题人:文军 审题人:于开选 试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、考号准确无误地填写、填涂在答题卡规定的位置上; 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第 I卷
选择题( 小题, 每小题只有一项是符合要求) 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合要求) 1 1.函数 f ( x) = ( ) x (1 < x ≤ 2) 的反函数为 f ?1 ( x) = . 2 A. log1 x(1 < x ≤ 2)
2

B. log 1 x(2 < x ≤ 4)
2

1 1 1 D. ? log 2 x( ≤ x < 1) C. ? log2 x( ≤ x < ) 4 2 2 2 2 2.设全集是实数集 R , A = x 2 x ? 7 x + 3 ≤ 0 , B = x x + a < 0 ,若 (C R A) I B = B , .

{

}

{

}

则实数 a 的取值范围是 A. ? -

? 1 ? ,+∞ ? ? 4 ?

B. ? ? ∞,- ? 4

? ?

1? ?

C. ?-

? 1 ? ,+∞ ? ? 4 ?

D. ? ? ∞,- ?

? ?

1? 4?

3.下列四个命题中的真命题为 A. 若sinA=sinB,则∠A=∠B C. 若lgx = 0,则x = 1
2

B. 若a>b,且ab>0,则 〈
2

1 1 a b

D.若 b = ac ,则 a、b、c 成等比数列 =?

4.若

sin(π ? α ) cos(2π ? α ) tan(π ? α ) sin(

π

2

+α)

3 π ,且 α ∈ (0, π ) ,则 tan(α + ) 等于 4 3

A. 32 B. 64 C. ?32 D. ?64 6.给出下面四个命题: ①过平面外一点,作与该平面成 θ 角的直线一定有无穷多条 ②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ①对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题有 A.1 B.2 C.3 D.4 7.定义两种运算: a ⊕ b =

A. ? 3 ? 2 2 B. ? 3 + 2 2 C. 2 ? 2 D. 2 + 2 a a a 5.如果数列 a1 , 2 , 3 ,…, n ,…是首项为1 ,公比为 ? 2 的等比数列,则 a5 等于 a1 a2 an ?1

a 2 ? b 2 , a ? b = (a ? b) 2 ,则函数 f ( x) =

2⊕ x 为 ( x ? 2) ? 2

B.偶函数 D.奇函数 uuu r uuu r uuur r uuur uuu r 8.若 △ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA + 4OB + 5OC = 0 ,则 OC ? AB 的
-1-

A.非奇函数且非偶函数奇函数 C.奇函数且为偶函数

值为 A. ?

1 5

B.

1 5

C. ?

6 5

D.

6 5

? ? x ? 2 y + 5 ≥ 0? ? ? ? 9.设 m 为实数,若 ?( x, y ) ? 3 ? x ≥ 0 ? ? {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 25} ,则 m 的取值范围是 ? ? mx + y ≥ 0 ? ? ? ? 4 4 4 4 A. 0 < m ≤ B. m ≤ C. 0 ≤ m ≤ D. m ≥ 3 3 3 3
10.在我校的一项竞赛活动中,高中三个年级分别有 1 名、 2 名、 3 名学生获奖, 这 6 名学生 排成一排合影,要求同年级任意两名学生不能相邻,那么不同的排法种数是 A.72 种 B.96 种 C.120 种 D.144 种 11. 图为函数 f ( x ) = x (0 < x < 1) 的图象,其在点 M (t ,f (t )) 处的切线为l ,l与y 轴和直 线 y = 1 分别交于点 P、Q,点 N(0,1) ,若△PQN 的面积为 b 时的点 M 恰好有两个,则 b 的取值范围为 y ? 1 10 ? ? 1 10 ? A. ? , B. ? , ? [学|科| ? Q N ? 2 27 ? ? 4 27 ? C. ? ,

?1 8 ? ? ? 4 27 ?

D. ? ,

?1 8 ? ? ? 2 27 ?

M P O x

12.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? = 1(0 < a < b) 的左、右焦 a2 b2 2 PF2 点, p 为双曲线左支上一点,若 的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率的取值范围 PF1
A. (1,2] B. (1,3] C. ( 2 ,2] D. ( 2 ,3]



第 Ⅱ卷
小题, 把答案填在答卷的横线上. 答卷的横线上 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答卷的横线上. 填空题:

3 ? 2 1 ? 3 。 13.设常数 a > 0 , ? ax + ? 展开式中 x 的系数为 2 , a = x? ? 14.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等且为 1, A1 在底面 ABC 内的射影为 △ ABC 的中心,则三棱柱 ABC ? A1 B1C1 体积等于 。
15.定义:

4

f ( x, y ) = y x ( x > 0, y > 0) ,已知数列 {an } 满足: an =

f ( n, 2) (n ∈ N *) ,若对 f (2, n)
.

任意正整数 n ,都有 a n ≥ a k ( k ∈ N *) 成立,则 ak 的值为

16.若函数 f ( x ) 在给定区间 M 上存在正数 t,使得对于任意 x ∈ M ,有 x + t ∈ M ,且

f ( x + t ) ≥ f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 t 级类增函数。给出 4 个命题

-2-

4 + x是(1, +∞) 上的 1 级类增函数 x ②函数 f ( x) =| log 2 ( x ? 1) | 是(1, +∞ ) 上的 1 级类增函数
①函数 f ( x ) =
2

数,则实数 t 的取值范围为 [1, +∞ ) 以上命题中为真命题的是

①若函数 f ( x) = [ x([ x ] 是取不大于x的最大整数)是 (-∞,+∞ ) 上的 t 级类增函 ]

③若函数 f ( x) = x ? 3 x是 [1, +∞ ) 上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为 [1, +∞ )

三、解答题:本大題共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 17.(12 分)在 ? ABC 中, sin(C ? A) = 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积. 18.(12 分)高三年级 1, 2 , 3, L , 9 班参加高考体检,9 个班中,任选 3 个班先参加视力检查. (I)求这 3 个班中恰有 1 个班班级序号是偶数的概率; (II)设 ξ 为这 3 个班中两班序号相邻的组数(例如:若选出的班为 1, 2,3 班,则有两组相邻的 .求 1, 2 班和 2,3 班,此时 ξ 的值是 2 ) ξ 为 1 的概率。

1 . 3

19.(12 分)如图已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC , ∠BAC = ∠ACD = 90° , ∠EAC = 60° , AB = AC = AE .

E

D

(I)在直线 BC 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 EAB ?请证明你的 结论; A (II)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 θ 的余弦值。 20.12 分) ( 如图, 在半圆中, 为半圆直径, 为半圆圆心, OD ⊥ AB , AB O 且 B Q 为线段 OD 的中点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运 动且保持|PA|+|PB|的值不变。 (I)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (II)过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,若

C

uuuu r uuur uuur uuu r EM = λ1 MB, EN = λ2 NB, 求证 : λ1 + λ2 为定值。

21.(12 分)已知在数列 {a n } 中, a1 = (I)求 a2 , a3 ;

1 2 , S n 是其前 n 项和,且 S n = n a n ? n( n ? 1) 2

?n +1 ? S n ? 是等差数列; ? n ? 1 (III)若 c n = x n +1 ( x ∈ R ),求数列 {cn }的和 Tn 。 (n + 1)(1 ? an )
(II)证明:数列 ?

-3-

22.
(14分)设函数

f ( x) = ? x3 ? 2mx 2 ? m 2 x + 1 ? m (其中 m > ?2 )的图象在 x = 2 处的切线与直线

y = ?5 x + 12 平行. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)求函数 f (x ) 在区间[0,1]的最小值; (Ⅲ)若 a ≥ 0 , b ≥ 0 , c ≥ 0 ,且 a + b + c = 1 , a b c 9 试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明: + + ≤ . 1 + a 2 1 + b2 1 + c 2 10

月月考试题数学试题 成都外国语学校高 2012 届四月月考试题数学试题参考答案
一、选择题 题号 1 答案 D 理 C文 二、填空题 13. 理:-1 文: 2 C 3 A理 B文 4 A 5 D理 A文 6 B 7 D 8 A 9 C 10 C 11 C理 C文 12 B理 D文

1 2

14.

2 4

15.

8 9

16 . 理:①① 文:③

三、解答题:

B π B 2 B B , sin A = sin( ? ) = ∴ (cos ? sin ) , 2 4 2 4 2 2 2 2 1 1 3 C ∴ sin 2 A = (1 ? sin B) = ,又 sin A> 0 ,∴ sin A = 2 3 3 AC BC (Ⅱ)如图,由正弦定理得 = A B sin B sin A 3 6? AC sin A 3 = 3 2 ,又 sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B ∴ BC = = 1 sin B 3 3 2 2 6 1 6 = × + × = 3 3 3 3 3 1 1 6 ∴ S ?ABC = AC ? BC ? sin C = × 6 × 3 2 × =3 2 2 2 3 C1C 2 10 18.解析: (I)记“这 3 个班恰有一个班级序号是偶数”为事件 A,则 P ( A) = 4 35 = ; C9 21 (理)(II)随机变量 ξ 的取值为 0,1, 2, ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 5 1 1 P 12 2 12 5 1 1 2 所以 ξ 的数学期望为 Eξ = 0 × + 1× + 2 × = 12 2 12 3
17. (Ⅰ) C ? A = , C + A = π ? B , A = 由 且 ∴

π

π

?

-4-

(文)

1 2

E

D

19.解: 解 (I)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P .…1 分 证明如下: 取 AB 的中点 F 连结 DP、PF、EF ,则

C 1 A FP // AC , FP = AC , …………………2 分 P F 2 B 取 AC 的中点 M ,连结 EM 、EC , ∵ AE = AC 且 ∠EAC = 60° , ∴△ EAC 是正三角形,∴ EM ⊥ AC . 1 ∴四边形 EMCD 为矩形,∴ ED = MC = AC .又∵ ED // AC ,………3 分 2 ∴ ED // FP 且 ED = FP ,四边形 EFPD 是平行四边形.…………4 分 ∴ DP // EF ,而 EF ? 平面 EAB , DP ? 平面 EAB ,∴ DP // 平面 EAB .……6 分 (2) (法 1)过 B 作 AC 的平行线 l ,过 C 作 l 的垂线交 l 于 G ,连结 DG ,∵ ED // AC ,∴ ED // l , l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面角的棱.……8 分 E ∵平面 EAC ⊥ 平面 ABC , DC ⊥ AC ,∴ DC ⊥ 平面 ABC , 又∵ l ? 平面 ABC ,∴ DC ⊥ l , ∴ l ⊥ 平面 DGC ,∴ l ⊥ DG , ∴ ∠DGC 是所求二面角的平面角.………………10 分 设 AB = AC = AE = 2a ,则 CD = 3a , GC = 2a ,

M

D

∴ GD =

GC 2 + CD 2 = 7a ,

M A

C

GC 2 7 . ………12 分 = P F GD 7 G B (法 2)∵ ∠BAC = 90° ,平面 EACD ⊥ 平面 ABC , ∴以点 A 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AC 为 y 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 . z 轴 在 平 面 EACD 内 ( 如 图 ) 设 AB = AC = AE = 2a , 由 已 知 , 得 B ( 2a , 0 , 0) ,
∴ cos θ = cos ∠DGC =

E (0 , a , 3a ) , D (0 , 2a , 3a ) .
∴ EB = ( 2a , ? a , ? 3a ) , ED = (0 , a , 0) ,…………………8 分 设平面 EBD 的法向量为 n = ( x , y , z ) ,

r

r uuu r ? 3 ? ?x = ?n ? EB = 0 , ?2ax ? ay ? 3az = 0 , z, ∴ ? r uuu ∴? 解之得 ? r 2 ?n ? ED = 0 . ?ay = 0 . ?y = 0 . ? ? 取 z = 2 , 得 平 面 EBD 的 一 个 法 向 量 为 r ………10 分 n = ( 3 , 0 , 2) . ur 又∵平面 ABC 的一个法向量为 n′ = (0 , 0 , 1) . ……11 分

则 n ⊥ EB 且 n ⊥ ED ,

r

uuu r

r

uuu r

z

E

D

M
A

C

y

F

P

x

B

r ur cos θ = cos < n , n′ > =
.………12 分

3 × 0 + 0 × 0 + 2 ×1 ( 3) 2 + 02 + 22 ? 02 + 02 + 12

=

2 7 7

20. (理)∵ BQ = 2BG , GP ? BQ =0∴ GP 垂直平分线段 BQ ,

-5-

PQ = PB
即 ,所以
2

PA + PB = PA + PQ = AQ = 2 5
,由椭圆定义:

曲线 C 的方程为

x 5分 +y2=1 5 (文)解: (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. 且点 Q 在曲线 C 上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 + 12 = 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1.

x2 2 5分 +y =1 5 (Ⅱ)证法 1:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) ,
∴曲线 C 的方程为 又易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ EM = λ1 MB ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 =

uuuu r

uuur

y0 2λ1 , y1 = . 1 + λ1 1 + λ1

7分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (
2 2

y 1 2λ1 2 ) + ( 0 )2 = 1, 5 1 + λ1 1 + λ1
10 分

去分母整理,得 λ1 + 10λ1 + 5 ? 5 y 0 = 0 .

uuur uuu r 2 2 同理,由 EN = λ2 NB 可得: λ 2 + 10λ 2 + 5 ? 5 y 0 = 0 .

∴ ∴

λ1 , λ2 是方程 x 2 + 10 x + 5 ? 5 y 0 2 = 0 的两个根, λ1 + λ2 = ?10 .
12 分

(Ⅱ)证法 2:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) ,又易知 B 点的 坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是 y = k ( x ? 2) . 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 + 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x + 20k 2 ? 5 = 0 . 8 分 20k 2 20k 2 ? 5 ∴ x1 + x 2 = , x1 x 2 = . 1uuur k 2 +5 1 + 5k 2 uuuu r 又 ∵ EM = λ1 MB ,
则 ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .∴ λ1 = 同理,由 EN = λ2 NB ,∴ λ2 =

x1 , 2 ? x1

x2 . 10 分 2 ? x2 x1 x 2( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 ∴ λ1 + λ2 = + 2 = = L = ?10 . 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 + x2 ) + x1 x2 5 11 a2 = , a3 = 6 12 ; 21.【解析】 (I)
(II)由条件可得 S n = n ( S n ? S n ?1 ) ? n( n ? 1) , ( n ? 1) S n ? n S = n( n ? 1)
2 2 2

uuur

uuu r

12 分

-6-

两边同除以 n( n ? 1) ,得: 所以:数列 ?

?n +1 ? S n ? 成等差数列,且首项和公差均为 1 ? n ? n +1 n2 2 (理)(III)由(Ⅰ)可得: Sn = n , Sn = ,代入 S n = n a n ? n( n ? 1) 可得 n n +1 1 1 1 1 1 an = 1 ? ,所以 bn = , Tn = 1 + + + L + . n(n + 1) n 2 3 n 1 1 当 n ≥ 2 时, bn = Tn ? Tn ?1 = , 即Tn ? = Tn ?1 n n 2T 2Tn 1 1 2 2 2 2 平方则 Tn ? n + 2 = Tn ?1 ∴ Tn ? Tn ?1 = ? 2 n n n n T T T 1 1 1 2 叠加得 Tn ? 1 = 2( 2 + 3 + K + n ) ? ( 2 + 2 + K + 2 ) 2 3 n 2 3 n T T T 1 1 2 ∴ Tn = 2( 2 + 3 + K + n ) + 1 ? ( 2 + K + 2 ) 2 3 n 2 n 1 1 1 1 1 1 又 2 + 2 +L+ 2 < + +L+ 1× 2 2 × 3 (n ? 1)n 2 3 n T T T 1 1 1 1 1 1 2 =1 ? + ? + L + ? = 1 ? < 1 ∴ Tn > 2( 2 + 3 + K + n ) 2 2 3 n ?1 n n 2 3 n 2 n +1 n 2 (文)(III) (III)由(Ⅰ)可得: Sn = n , Sn = ,代入 S n = n a n ? n( n ? 1) 可 n n +1 n +1 1 c = nx ( x ∈ R ) 得 an = 1 ? ,所以 n ; n(n + 1) n(n + 1) Tn = Tn = 0 2 ; 分情况讨论:1.当 x = 0 时, ;2.当 x = 1 ,时
3.当 x ≠ 0且x ≠ 1 时,
3 4 5 2 3

n +1 n Sn ? S n ?1 = 1 n n ?1

Tn = x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + (n ? 1) x n + nx n +1
n +1

①,

xTn = x + 2 x + 3 x + ... + (n ? 1) x (1 ? x)Tn = x + x + x + ... + x
4 n +1

+ nx
n+2

n+2

②,① ? ②得:

? nx



Tn =

x ?x
2

n+2

(1 + n ? nx) (1 ? x) 2

-7-

(文)解:(Ⅰ)因为 f ′( x) = ?3 x 2 ? 4mx ? m 2 , 所以 f ′(2) = ?12 ? 8m ? m 2 = ?5 (2 分) 解得 m=-1 或 m=-7(舍),即 m=-1 (4 分) ……………………………………………………

……………………………………………………

(Ⅱ)由 f ′( x) = ?3 x 2 + 4 x ? 1 = 0 ,解得 x1 = 1, x2 = 列表如下: x 0 (0,

1 3 1 ,1) 3

………………(5 分)

1 ) 3

1 3

(

1

-8-

f ′( x)
f(x) 2

- ↘



50 27



2 … …

(7 分)

1 50 …………………… (8 分) 3 27 3 2 2 (Ⅲ)因为 f ( x) = ? x + 2 x ? x + 2 = (1 + x )(2 ? x) …………… (10 分) 50 1 27 2 由(Ⅱ)知,当 x∈[0,1]时, (1 + x )(2 ? x) ≥ ,所以 ≤ (2 ? x) , 2 27 1+ x 50 x 27 ≤ (2 x ? x 2 ) ………………………………………(13 分) 所以 2 1+ x 50 当 a ≥ 0 , b ≥ 0 , c ≥ 0 ,且 a + b + c = 1 时, 0 ≤ a ≤ 1 , 0 ≤ b ≤ 1 , 0 ≤ c ≤ 1 ,
所以函数 f ( x ) 在区间[0,1]的最小值为 f ( ) = 所 以 a b c 27 27 + + ≤ [2(a + b + c)-(a 2 + b 2 + c 2 )] [2-(a 2 + b 2 + c 2 )] 分) = (12 1 + a 2 1 + b 2 1 + c 2 50 50 又因为 ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3( a 2 + b 2 + c 2 ) , 所以 a + b + c ≥
2 2 2

1 3

………………………………… (13 分)



1 a b c 27 1 9 + + ≤ (2- ) = (当且仅当 a = b = c = 时取等号) (14 分) 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 50 3 10 3

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

-9-


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