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重庆市名校联盟2014届高三数学三诊试题理

重庆市名校联盟 2014 届高三三诊 数学(理)试题
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 2.所有答案必须书写在答题卡规定的位置. 第 I 卷(选择题:共 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 5 ? 10 ? 50 分,每小题都有四个选项,其中只有一个正确,请 把正确答案前的字母代号填入括号里,再填在答题卡上.)
2 1.集合 A= {x | ln x ? 0} , B= {x | x ? 16} ,则 A ? B ? (

) D. ?e,4 ?

A.(1,4)

B. [1,4) ) B.

C. [1,+∞)

2.下列命题中假命题 是( ... A. ?x ? R,2
x ?1

?0

?x0 ? R, tan x0 ? 2014

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0
2

D. ?x0 ? R,sin x0 ? cos x0 ? ? 2

3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5 ,S5 ? 15 , 则数列 {

1 } 的前 100 项和为 ( ) an an ?1
D.

A.

101 100
B. 0.4

B.

99 100
C. 0.3

C.

99 101

100 101


4.已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, ? 2 ) ,且 P( X ? 5) ? 0.8 ,则 P(1 ? X ? 3) ? ( A. 0.6 D.
0.2 ?x0 ? R, tan x0 ? 2014

5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A. C. 4 3 3 B. D. 3 3 2 3 3

6.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8, 则 x ? 2 y 的最小值是( )

A.3

B.4

C.

9 2

D.

11 2

7.设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 e ? 2, 右焦点 F (c,0) ,方程 cx 2 ? bx ? a ? 0 的两个实 2 a b

2 2

数根分别为 x1 , x2 , 则点 P( x1 , x2 ) ( A. 必在圆 x ? y ? 2 上
2 2 2 2

B. 必在圆 x ? y ? 2 外部 D. 以上三种情形均有可能 ) D.4 ,

C. 必在圆 x ? y ? 2 内部

8.执行右面的程序框图,输出的 S 的值为( A.1 B.2 C.3

9. 已知函数 f ( x) ? ?

?? x2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ?? x ? 1, x ? 0
?x

则函数 g ( x) ? f ( x) ? e 的零点个数是( A. 4 B. 3 C. 2

) D. 1

10.定义域为 [ a, b] 的函数 y = f ( x) 的图象的两个端点 为 A、B , M ( x, y) 是 f ( x) 图象上任意一点,其中 x ? ? a ? (1 ? ? )b(? ? R), → 向量 ON ? ?OA ? (1 ? ? )OB .若不等式| MN |≤k 恒成立,则称函数 f ( x) 在 [ a, b] 上“k 阶 线性近似”.若函数 y ? x ?

1 在[1,2]上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围是( x
B. ? ? 2 ,?? ? ?2 ?



A. ? ? 2 ,?? ?

?3 ?2

? ?

?3

?

C. [1 ,+∞)

D. [0 ,+∞)

第 II 卷(非选择题:共 100 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 5 ? 5 ? 25 分,请把正确答案直接填写在答题卡的指定位置) 11.复数 (1 ? i) 的虚部是
2

cos150 ? 2 sin 150 ? 12.化简: sin 150
13.高三某班级有 4 名同学参加自主招生,准备报考 2 所院校,每人只报考一所,每所院校 至少报 1 人,则不同的报考方法为__________.(用数字作答)

选做题(14—16 题,考生只能从中选做两个题,若三题全做,以前两题作为答题给分.)

14. (几何证明选讲选做题)如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为

E, EF ? DB ,垂足为 F,若 AB ? 6 , AE ? 1, 则 DF ? DB ?

.

15. (极坐标系与参数方程选做题)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的 弦长为 .

16. (不等式选讲选做题)对任意 x∈R,|2 一 x|+|3+x|≥a 恒成立,则 a 的 取值范围是 三、解答题(六个大题,共 75 分) 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)设 △ABC 的三边是 a, b, c ,且边 b 所对的角 x 为 f ( x) ? 0 的解,求角 B 的大小.
? . 2

18.(本小题满分 13 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问 卷调查得到了如下的列联表:已知在全部 50 人中随机抽取 1 人, 抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); 并求出: 有多大把握认为喜爱打篮球与性别有关, 说明你的理由; (Ⅱ)若从女生中随机抽取 2 人调查,其中喜爱打篮球的人数为 X ,求 X 分布列与期 望. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

3 5

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 13 分)如图,四边形 ABCD与 BDEF 均为菱形,

?DAB ? ?DBF ? 60 ? ,且 FA ? FC .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDEF ;

(Ⅱ)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? ln x , a ? R ? . 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [1,e] 的最小值为 1 ,求 a 的值.

x2 y 2 5 21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,定点 a b 3
M (2, 0),椭圆短轴的端点是 B1 , B2 ,且 MB1 ? MB2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 M 且斜率不为 0 的任意直线交椭圆 C 于 A , B 两点.试问 x 轴上是否存在 定点 P ,使 PM 平分 ?APB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 x ( x ? 0) ,数列 ?an ?满足: a1 ? , 2 1? x

an?1 ? f (an ) ( n ? N*. )
(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)令函数 g ( x) ? f ( x)(1 ? x) ,数列 ?cn ? 满足: c1 ?
2

1 , cn ?1 ? g (cn )(n ? N*) , 2

求证:对于一切 n ? 2 的正整数,都满足: 1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2. 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn

参考答案

一、选择题(每小题 5 分,共 5×10=50 分,每小题都有四个选项,其中只有一个正确, 请把正确答案前的字母代号填入括号里,再填在答题卡上.) 1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.C 10.D 二、填空题(每小题 5 分,共 5×5=25 分,请把正确答案直接填写在答题卡的指定位 置) 11. 2 . 12. . 13. 14 . 选做题 14. 5 .

【极坐标系与参数方程选做题】 15. . 【不等式选讲选做题】 16. (﹣∞,5] . 三、解答题(六个大题,共 75 分) 17. 2 解: (1) 函数 f (x) = sinω x?cosω x﹣cos ω x= ﹣ )﹣ . = ,

sin2ω x﹣ cos2ω x﹣ =sin (2ω x

由 f(x)的周期 T= 得 ω =2.

∴f(x)的解析式:f(x)=sin(4x﹣ (Ⅱ)f(x)=0,∴sin(4x﹣ )= ,

)﹣ .

∵△ABC 的三边是 a,b,c,且边 b 所对的角 x 为 f(x)=0 的解, ∴4B﹣ = ,或 4B﹣ = ,

解得 B=

或 B=



18. 解: (1)列联表补充如下:﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(3 分) 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 (2)∵K2= ≈8.333>7.879﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣(5 分) ∴在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为喜爱打篮球与性别有关.﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (3)喜爱打篮球的女生人数 ξ 的可能取值为 0,1,2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (7 分) 其概率分别为 P (ξ =0)= ﹣﹣﹣(10 分) 故 ξ 的分布列为: ξ 0 P ,P(ξ =1) = ,P(ξ =2) =

1

2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) ξ 的期望值为: Eξ =0× +1× +2× = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣(12 分) 19. (Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O, 连接 FO.因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD,且 O 为 AC 中点. …(1 分) 又 FA=FC,所以 AC⊥FO. …(3 分) 因为 FO∩BD=O, 所以 AC⊥平面 BDEF. …(4 分) (Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD∥BC,DE∥BF, 所以 平面 FBC∥平面 EAD.…(7 分) 又 FC? 平面 FBC,所以 FC∥平面 EAD. …(8 分) (Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且∠DBF=60°, 所以△DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO⊥BD,故 FO⊥平面 ABCD. 由 OA,OB,OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz. …(9 分) 设 AB=2.因为四边形 ABCD 为菱形,∠DAB=60°, 则 BD=2,所以 OB=1, .所以

. 所以 , .

设平面 BFC 的法向量为 =(x,y,z) , 则有 ,

取 x=1,得

. …(11 分) = .

∵平面 AFC 的法向量为 =(0,1,0) .

由二面角 A﹣FC﹣B 是锐角,得|cos< , >|=

所以二面角 A﹣FC﹣B 的余弦值为

.…(12 分)

20. 2 解: (1)当 a=1 时,f(x)= x ﹣lnx,

∴f′(x)=x﹣ =
2



∴x ﹣1>0 即 x>1 时:f′(x)>0, 2 x ﹣1<0 即 0<x<1 时:f′(x)<0, ∴f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增. (Ⅱ)f′(x)=ax﹣ = , ,

∵a 是正数,令 f′(x)=0,解得:x= ∴f(x)在(0, ①当 0< )递减,在(

,+∞)递增,

≤1,即 a≥1 时:

函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为:

f(1)= a﹣ln1=1,解得:a=2, ②当 1< <e,即: <a<1 时:

函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为: f( ③当 )= ?a? ﹣ln =1,解得:a=e(舍) , 时:

≥e,即:0<a≤

函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为: f(e)= ?a?e ﹣lne=1,解得:a= 综合以上得:a=2. 21. 解: (Ⅰ)由
2

(舍) ,

,得

.…(2 分)

依题意△MB1B2 是等腰直角三角形,从而 b=2,故 a=3.…(4 分) 所以椭圆 C 的方程是 .…(5 分)

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 的方程为 x=my+2. 2 2 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立,消去 x 得 (4m +9)y +16my﹣20=0.…(7 分) 所以 , .…(8 分)

若 PM 平分∠APB,则直线 PA,PB 的倾斜角互补,所以 kPA+kPB=0.…(9 分) 设 P(a,0) ,则有 .

将 x1=my1+2,x2=my2+2 代入上式,整理得 所以 2my1y2+(2﹣a) (y1+y2)=0.…(12 分) 将 ,



代入上式,整理得 (﹣2a+9)?m=0.…(13 分)

由于上式对任意实数 m 都成立,所以 综上,存在定点



,使 PM 平分∠APB.…(14 分)
*

22. (Ⅰ)解:∵an+1=f(an) (n∈N ) ∴ ,





∴数列{an}是以 2 为首项以 1 为公差的等差数列, ∴ ∴ (Ⅱ)证明:∵g(x)=f(x) (1+x) =x(1+x) ,故 cn+1=g(cn)=cn(1+cn) , 又∵c1= >0,故 cn>0,则 即 ∴ ﹣ 又 故 1< = + <2 + + +…+ +…+ ≥ + <2. = >1, ﹣ +…+ . =( ﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣ )= ﹣ =2 = ﹣ ,
2