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湖北省八校2011届高三第一次联考数学理


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2011 届高三第一次联考
数学试题 理科 数学试题(理科 试题 理科)
考试时间:2010 年 12 月 30 日下午 15∶00 ~ 17∶00 一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 10 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50 分 . 在 每 小 题 给 出 的 四 个 ( 选项中,只有一项是符合题目要求的)

1. 已 知 集 合 A = {0,1, 2, 3} , 集 合 B = {x | x = 2a, a ∈ A} , 则 ( B. AI B? A C. A U B = B r r r r 2 . 命 题 p : 若 a ?b < 0, 则 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 .
在 ( ?∞, +∞ ) 上 是 增 函 数 . 下列说法正确的是( )



A. A I B = A

D. A I B ? A

命 题 q : 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 在 ( ?∞, 0) 及 (0, +∞ ) 上 都 是 增 函 数 , 则 f ( x )

A. “ p 或 q ” 是 真 命 题 C.
?

B. “ p 且 q ” 是 假 命 题 D.
?

p为假命题

q 为假命题

3 . a = ?1 ” 是 “ 直 线 a 2 x ? y + 6 = 0 与 直 线 4 x ? ( a ? 3) y + 9 = 0 互 相 垂 直 ” 的 “
( )

A. 充 分 不 必 要 条 件 C. 充 要 条 件

B. 必 要 不 充 分 条 件 D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件

4 . 函 数 y = sin x (3sin x + 4 cos x ) ( x ∈ R ) 的 最 大 值 为 M , 最 小 正 周 期 为 T , 则
有 序 数 对 (M , T ) 为 ( )

A. (5, π )

B. (4, π )

C. ( ?1, 2π )

D. (4, 2π )

5 . 在 ?ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 长 分 别 为 a、b、c , 若 C = 1200 , c = 2b ,
则 ( )

A.

B > 450

B.

A > 450

C.

b>a

D. b < a


6 . 定 义 在 区 间 (0, a) 上 的 函 数 f ( x) = A.
2 ln 2

x2 有反函数,则 a最大为( 2x

B.

ln 2 2

C.

1 2

D. 2

uuu uuu r r 7 .已 知 P ( x, y ) 是 圆 x 2 + ( y ? 3) 2 = 1 上 的 动 点 ,定 点 A(2, 0), B ( ?2, 0) ,则 PA ? PB
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的最大值为(



B. 0 C. D. 12 ?12 uuur 1 uuur uuu r uuu 2 uuur r 8 .如 图 ,在 ?ABC 中 , AN = NC , P 是 BN 上 的 一 点 ,若 AP = m AB + AC , 3 11 A 则实数 m的值为( ) 9 5 N A. B. 11 11 P 3 2 C. D. B C 11 11 1 9 9 . 设 二 次 函 数 f ( x) = ax 2 ? 4 x + c ( x ∈ R )的 值 域 为 [0, +∞) ,则 + 的最 c +1 a + 9 A. 4
大值为( )

31 A. 25

B.

38 33

C.

6 5

D.

31 26

10 . 有 下 列 数 组 排 成 一 排 : 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 ( ), ( , ), ( , , ), ( , , , ), ( , , , , ),LL 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列:

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , , ,LL 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5
则 此 数 列 中 的 第 2011 项 是 ( )

A.

7 57

B.

6 58

C.

5 59

D.

4 60

二、填 空 题 : 本 大 题 共 5 小 题 ,每 小 题 5 分 ,共 25 分 . 把 答 案 填 在 答 题 卡 中 相 应 ( 的横线上)

11 . 已 知 点 A(0, b), B 为 椭 圆

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的 左 准 线 与 x 轴 的 交 点 . 若 线 a2 b2


段 AB 的 中 点 C 在 椭 圆 上 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为

?x ? y + 5 ≥ 0 ? 12 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ? x + y ≥ 0 , 则 z = x + 2 y 的 最 小 值 是 ? x≤3 ?



13 . 奇 函 数 f ( x ) 满 足 对 任 意 x ∈ R 都 有 f (2 + x ) + f (2 ? x ) = 0 , 且 f (1) = 9 , 则
f (2010) + f (2011) + f (2012) 的 值 为
.

14 . 已 知 等 比 数 列 {an } 的 各 项 都 为 正 数 , 且 当 n ≥ 3 时 , a4 ? a2 n ? 4 = 102 n , 则 数 列

lg a1 , 2 lg a2 , 22 lg a3 , 23 lg a4 , L , 2 n ?1 lg an , L 的 前 n 项 和 S n 等
于 .

15 . 对 于 连 续 函 数 f ( x ) 和 g ( x ) , 函 数 f ( x) ? g ( x) 在 闭 区 间 [ a, b] 上 的 最 大 值 称 ...
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为 f ( x) 与 g ( x) 在 闭 区 间 [a, b] 上 的 “ 绝 对 差 ” 记 为 ,

a ≤ x ≤b

? ( f ( x), g ( x)). 则

1≤ x ≤ 4

? ( x +1,

1

2 2 x ? x) = 9

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

16 . 本小题满分12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量 (本小题满分 ( u r u r r 12 r p = (1 ? sin A, ), q = (cos 2 A, 2sin A) ,且 p // q . 7
的值; (Ⅰ)求 sin A 的值; (Ⅱ)若 b = 2, ?ABC 的面积为 3 ,求 a .

17 .(本小题满分12 分)已知 f ( x) = log 2 (1 + x 4 ) ?

1 + mx 是偶函数. ( x ∈ R ) 是偶函数. 1 + x2

的值, 的单调区间(不要求证明) (Ⅰ)求实常数 m 的值,并给出函数 f ( x ) 的单调区间(不要求证明) ; 为实常数, 的不等式: (Ⅱ) k 为实常数,解关于 x 的不等式: f ( x + k ) > f ( 3x + 1) .

18 .(本小题满分 12 分)在股票市场上,投资者常参考 在股票市场上,

股价(每一股的价格) 股价(每一股的价格)的某条平滑

均线( 的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时, 均线(记作 MA )的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时, 均线近期走得很有特点: 发现一只股票的 MA 均线近期走得很有特点:如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系

xoy ,则股价 y (元)和时间 x 的关系在 ABC 段可近似地用解析式 y = a sin(ω x + ? ) + b
是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的 ( 0 < ? < π )来描述,从 C 点走到今天的 D 点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的 来描述, 筑底结束的标志, 且 对称. 筑底结束的标志, D 点和 C 点正好关于直线 l : x = 34 对称.老张预计这只股票未来的走 势如图中虚线所示, 对称, 势如图中虚线所示,这里 DE 段与 ABC 段关于直线 l 对称, EF 段是股价延续 DE 段的趋 势(规律)走到这波上升行情的最高点 F . 规律) 现在老张决定取点 A (0, 22) , 点 B (12, 19) , 点 D (44, 16) 来确定解析式中的常数

a, b, ω , ? ,并且已经求得 ω =

π
.

72

(Ⅰ)请你帮老张算出 a , b, ? ,并回答股价什么时 候见顶( 点的横坐标) 候见顶(即求 F 点的横坐标). ( Ⅱ ) 老张如能在今天以 D 点处的价格买入该股票

5 000 股,到见顶处 F 点的价格全部卖出,不计其 点的价格全部卖出,
它费用,这次操作他能赚多少元? 它费用,这次操作他能赚多少元?
2 19 . 本小题满分 12 分) (本小题满分 已知双曲线 2 的左、 ( 已知双曲线 x ? y = 1 的左、



顶 点 分 别 为 A1、A2 , 动 直 线 l : y = kx + m 与 圆

x 2 + y 2 = 1 相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为 相切,且与双曲线左、 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) . 1

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的取值范围, 的最小值; (Ⅰ)求 k 的取值范围,并求 x2 ? x1 的最小值; 那么, 是定值吗? (Ⅱ)记直线 P A1 的斜率为 k1 ,直线 P2 A2 的斜率为 k2 ,那么, k1 ? k2 是定值吗?证明你的 1 结论. 结论.

20 . 本小题满分13 分)已知数列 {an } 满足 a1 = 7, an +1 = 3an + 2n ?1 ? 8n . ( n ∈ N * ) (本小题满分 (
的通项公式,他想, (Ⅰ)李四同学欲求 {an } 的通项公式,他想,如能找到一个函数 f ( n ) = A ? 2
n ?1

+B ? n

+C ( A、B、C是常数) ,把递推关系变成 an +1 ? f (n + 1) = 3[an ? f (n)] 后,就容易求
的通项了.请问: 存在吗? 的通项公式是什么? 出 {an } 的通项了.请问:他设想的 f ( n ) 存在吗? {an } 的通项公式是什么?
2 n 都成立, (Ⅱ)记 S n = a1 + a2 + a3 + L + an ,若不等式 S n ? 2n > p × 3 对任意 n ∈ N 都成立,
*

的取值范围. 求实数 p 的取值范围.

1 1 为常数, 21 .(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) = ln( + ax ) + x 2 ? ax .( a 为常数, a > 0 ) 2 2 1 的一个极值点, 的值; (Ⅰ)若 x = 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 2 1 上是增函数; 求证: (Ⅱ)求证:当 0 < a ≤ 2 时, f ( x ) 在 [ , + ∞) 上是增函数; 2 1 2 若对任意 成立, (Ⅲ)若对任意的 a ∈ (1, 2) ,总存在 x0 ∈ [ , 1] ,使不等式 f ( x0 ) > m(1 ? a ) 成立,求实 .. .. 2
的取值范围. 数 m 的取值范围.

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2011 届湖北八校第一次联考数学试题(理科)2010. 12 联考数学试题( 参 考 答 案
题号 答案

1 D
3 3

2 A 12 . ?3

3

4 A
13.


5 C ?9

6

7

8 C

9 C 15 .
13 9

10

B

A

D

B

11 .

14 . 1 + (n ? 1)2n

u r r 16 . (Ⅰ)Q p // q

12 cos 2 A = (1 ? sin A) ? 2 sin A , 7

∴ 6(1 ? 2sin 2 A) = 7sin A(1 ? sin A) , 5sin 2 A + 7 sin A ? 6 = 0 ,
3 . (sin A = ?2舍) 5 1 (Ⅱ)由 S ?ABC = bc sin A = 3, b = 2 ,得 c = 5 , 2 4 2 又 cos A = ± 1 ? sin A = ± , 5 ∴ sin A =
6分

∴ a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 4 + 25 ? 2 × 2 × 5cos A = 29 ? 20 cos A , 4 2 时, a = 13, a = 13 ; 5 4 2 当 cos A = ? 时, a = 45, a = 3 5 . 5
当 cos A = 10 分

12 分

17 .(Ⅰ)Q f ( x) 是偶函数, ∴ f (? x) = f ( x) ,
1 ? mx mx + 1 = log 2 (1 + x 4 ) ? , 2 1+ x 1 + x2 ∴ mx = 0 ,∴ m = 0 . 2分 1 ∴ f ( x) = log 2 (1 + x 4 ) ? , f ( x) 的递增区间为 [0, +∞) ,递减区间为 (?∞, 0] . 1 + x2 ∴ log 2 (1 + x 4 ) ?
4分 (Ⅱ)Q f ( x ) 是偶函数 ,∴ f ( x + k ) = f ( x + k ) , 不等式即 f ( x + k ) > f ( 3x + 1) ,由于 f ( x) 在 [0, +∞) 上是增函数,

∴ x + k > 3x + 1 , ∴ x 2 + 2kx + k 2 > 9 x 2 + 6 x + 1 ,
即 8 x + (6 ? 2k ) x + (1 ? k ) < 0 ,∴ ( x ?
2 2

Q

k ?1 k + 1 3k ? 1 ? (? )= , 2 4 4
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k ?1 k +1 )( x + )<0, 2 4

7分

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∴k =

1 时,不等式解集为 Φ ; 3 1 k + 1 k ?1 k > 时,不等式解集为 (? , ); 3 4 2 1 k ?1 k + 1 k < 时,不等式解集为 ( ,? ). 3 2 4

12 分

18 . (Ⅰ)Q C , D 关于直线 l 对称∴C 点坐标为 (2 × 34 ? 44, 16) 即 (24, 16) ,
? ? 22 = a sin ? + b ? π ? ?19 = a sin( + ? ) + b 6 ? π ? ?16 = a sin( 3 + ? ) + b ?

① ② ③

把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得

② ? ①,得 ③ ? ①,得

a[sin( + ? ) ? sin ? ] = ?3 , 6 a[sin( + ? ) ? sin ? ] = ?6 , 3

π π

3 3 π π cos ? + sin ? , ∴ 2sin( + ? ) ? 2sin ? = sin( + ? ) ? sin ? ,∴ cos ? + 3s in ? = 6 3 2 2 ∴ (1 ? 3 3 3 ) cos ? = ( ? 3) sin ? = 3( ? 1)sin ? , 2 2 2 3 ,Q 0 < ? < π 3
∴? = π ?

∴ tan ? = ?

π
6

=

5π , 代入②,得 b = 19 , 6 5π . 6
7分

再由①,得 a = 6 ,

∴ a = 6, b = 19 , ? =

于是, ABC 段的解析式为 y = 6sin(

π
72

x+

5π ) + 19 , 6

由对称性得, DEF 段的解析式为 y = 6sin[

π



π

72 ∴ 当 x = 92 时,股价见顶.

(68 ? xF ) +

5π π = , 解得 xF = 92 , 6 2

72

(68 ? x) +

5π ] + 19 , 6

10 分

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 可知, yF = 6 + 19 = 25 ,故这次操作老张能赚 5000 × (25 ? 16) = 45 000 元. 12 分

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19 . (Ⅰ)Q l 与圆相切,∴1 =

m 1+ k
2

∴ m2 = 1 + k 2

………… ①

由?

? y = kx + m 2 2 2 , 得 (1 ? k ) x ? 2mkx ? (m + 1) = 0 , 2 2 ?x ? y = 1

? ? 1? k 2 ≠ 0 ? ? ∴ ?? = 4m 2 k 2 + 4(1 ? k 2 ) (m2 + 1) = 4(m2 + 1 ? k 2 ) = 8 > 0 , ? 2 ? x1 ? x2 = m2 + 1 < 0 ? k ?1 ?

∴ k 2 < 1, ∴?1 < k < 1 ,故 k 的取值范围为 (?1,1) .
由于 x1 + x2 =

2mk 2 2 2 2 ∴ x2 ? x1 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = = , 2 2 1? k 1? k 2 1? k

Q0 ≤ k2 < 1

∴ 当 k 2 = 0 时, x2 ? x1 取最小值 2 2 .

6分

(Ⅱ)由已知可得 A1 , A2 的坐标分别为 ( ?1, 0), (1, 0) ,

∴ k1 =

y1 y y1 y2 (kx + m)(kx2 + m) , k2 = 2 , ∴ k1 ? k2 = = 1 x1 + 1 x2 ? 1 ( x1 + 1)( x2 ? 1) ( x1 + 1)( x2 ? 1)
k2 ? m2 + 1 2mk ? mk ? 2 + m2 2 k ?1 k ?1 m2 + 1 2 2 ? ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

=

k x1 x2 + mk ( x1 + x2 ) + m = x1 x2 + ( x2 ? x1 ) ? 1
2 2

=

m 2 k 2 + k 2 ? 2m 2 k 2 + m 2 k 2 ? m 2 k 2 ? m2 = 2 , m2 + 1 ? 2 2 ? k 2 + 1 m ? k2 + 2 ? 2 2
m 2 ? k 2 = 1 , ∴ k1 ? k 2 =
?1 = ?(3 + 2 2) 为定值. 3? 2 2
12 分

由①,得

20 . (Ⅰ)Q an+1 ? f (n + 1) = 3[an ? f (n)]
所以只需 f (n + 1) ? 3 f (n) = 2
n ?1

∴ an+1 = 3an + f (n + 1) ? 3 f (n) ,

? 8n ,

Q f (n + 1) ? 3 f (n) = ? A ? 2n?1 ? 2 Bn + ( B ? 2C ) ,∴? A = 1, ?2 B = ?8, B ? 2C = 0 ,
∴ A = ?1, B = 4, C = 2 .故李四设想的 f (n) 存在, f (n) = ?2n ?1 + 4n + 2 .

∴ an ? f (n) = 3n?1[a1 ? f (1)] = 3n?1 (7 ? 5) = 2 × 3n ?1 ,
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∴ an = 2 × 3n?1 + f (n) = 2 × 3n ?1 ? 2n ?1 + 2(2n + 1).
(Ⅱ) Sn = 2(1 + 3 + 3 + L + 3
2 n ?1

5分

) ? (1 + 2 + L + 2n?1 )
7分

+2[3 + 5 + L + (2n + 1)] = 3n ? 2n + 2n2 + 4n. ∴ Sn ? 2n 2 = 3n ? 2n + 4n ,
由 Sn ? 2n > p × 3 ,得
2 n

p<

3n ? 2 n + 4n 2n ? 4n . = 1? 3n 3n

设 bn =

3n ? 2 n + 4n ,则 3n 2 n +1 ? 4( n + 1) 2n ? 4n 2 n ? 8n + 4 2 n ? 4(2n ? 1) , ?1+ = = 3n +1 3n 3n +1 3n +1
n ?2 1 2 n ?3 n ?2 = (1 + 1) n? 2 ≥ 1 + Cn?2 + Cn?2 + L + Cn? 2 + Cn?2

b n +1 ? bn = 1 ?
当 n ≥ 6 时, 2

(n ? 2)(n ? 3) ≥ 2n ? 2 + 2(n ? 3) = 4n ? 8 > 2n ? 1 ,(用数学归纳法证也行) 2 689 ∴ n ≥ 6 时 , bn +1 > bn . 容 易 验 证 , 1 ≤ n ≤ 5 时 , bn|+1 < bn , ∴ p < (bn )min = b6 = , 729 689 ∴ p 的取值范围为 (?∞, ). 13 分 729 ≥ 2(1 + n ? 2) +

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a . ′( x) = 2 21 . f + 2x ? a = 1 1 1 + ax + ax 2 2
1 a2 ? 2 ′( ) = 0 且 (Ⅰ)由已知,得 f ≠ 0 ,∴ a 2 ? a ? 2 = 0 ,Q a > 0 ,∴ a = 2 . 2 2a
2分 (Ⅱ)当 0 < a ≤ 2 时,Q

a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a + 1) 1 a2 ? 2 , ? = = ≤ 0 ,∴ ≥ 2a 2 2a 2a 2 2a

∴当 x ≥
函数.

1 2ax 1 a2 ? 2 时, x ? > 0 ,∴ f ′( x) ≥ 0 ,故 f ( x) 在 [ , + ∞) 上是增 ≥ 0 .又 2 2a 1 + ax 2
5分

(Ⅲ) a ∈ (1, 2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x) 在 [ ,1] 上的最大值为 f (1) = ln( +

1 2

1 2

1 a) + 1 ? a , 2

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于是问题等价于:对任意的 a ∈ (1, 2) ,不等式 ln( + 记 g ( a ) = ln( +

1 2

1 a ) + 1 ? a + m(a 2 ? 1) > 0 恒成立. 2

1 1 a ) + 1 ? a + m(a 2 ? 1) , 1 < a < 2 ) ( 2 2 1 a 则 g ′( a ) = ? 1 + 2ma = [2ma ? (1 ? 2m)] , 1+ a 1+ a ?a 当 m = 0 时, g ′( a ) = < 0 , ∴ g (a ) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g (a ) < g (1) = 0 , 1+ a
由于 a ? 1 > 0 ,∴ m ≤ 0 时不可能使 g ( a ) > 0 恒成立,故必有 m > 0 ,
2

∴ g ′(a ) =


2ma 1 [a ? ( ? 1)] . 1+ a 2m

1 1 ? 1 > 1 , 可 知 g (a ) 在 区 间 (1, min{2, ? 1}) 上 递 减 , 在 此 区 间 上 , 有 2m 2m 1 g (a ) < g (1) = 0 ,与 g ( a ) > 0 恒成立矛盾,故 ? 1 ≤ 1 ,这时, g ′(a ) > 0 , g (a ) 在 (1, 2) 2m

?m > 0 1 ? 上递增,恒有 g ( a ) > g (1) = 0 ,满足题设要求,∴ ? 1 ,即 m ≥ , 4 ? 2m ? 1 ≤ 1 ?
所以,实数 m 的取值范围为 [ , + ∞) .

1 4

14 分

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