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向量组的线性相关性证明方法初探


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 向量组的线性相关性证明方法初探 作者:张玉平 董昌州 来源:《教育教学论坛》2015 年第 16 期 摘要:向量组的线性相关性是线性代数中一个非常重要的概念,判断给定向量组尤其是分 量没有具体给出的向量组的线性相关性是学生学习的一个难点。将证明向量组线性相关性的方 法串联起来,是学生解决这类问题的关键。 关键词:线性代数;向量组;线性相关性 中图分类号:G642 文献标志码:C 文章编号:1674-9324(2015)16-0201-02 向量组的线性相关性理论是线性代数理论的重要组成部分,它贯穿于线性代数课程的始 终,线性代数中许多重要概念都离不开它,是线性代数教学的重点与难点。学生在初学这一概 念时常常感到不易理解,尤其是遇到有关向量组线性相关性的证明,更是一头雾水,我们的教 材中按照知识结构的顺序,先后介绍了若干种可以证明向量组线性相关性的方法,比较零散, 对学生来说不易于整体把握,知识串联不起来,导致做题时无从下手,这里我们将判断向量组 线性相关性的一些常用方法进行总结归纳。 一、利用定义 设有向量组 A:a■,a■,…,a■,如果存在不全为零的数 λ■,λ■,…,λ■,使 λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0,则称向量组 A 是线性相关的。否则,称它是线性无关的。 例 1:设 b■=a■,b■=a■+a■,…,b■=a■+a■+…+a■,且向量组 a■,a■,…,a■线性无 关,证明:向量组 b■,b■,…,b■线性无关。 证明:利用定义。假设 k■b■+k■b■+…+k■b■=0,则根据定义,只需证明 k■=k■=…=k■=0 即可,由条件有: k■a■+k■(a■+a■)+…+k■(a■+a■+…+b■)=0,即 (k■+k■+…+k■)a■+(k■+…+k■)a■+…+k■a■=0, 因为向量组 a■,a■,…,a■线性无关,因此必有: k■+k■+…+k■=0k■+…+k■=0……k■=0,所以 k■=k■=…=k■=0,证毕。 利用定义证明向量组的线性相关性是最直接、最基本的方法。 二、利用齐次线性方程组的解来判断 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 根据定义,要判断向量组的线性相关性只要判断表达式 λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0 中的系 数 λ■,λ■,…,λ■是全为零或是不全为零即可。因此,当齐次线性方程组 λ■a■+λ■a■+…+λ■■a■=0 只有零解时,a■,a■,…,a■线性无关,非零解时,a■,a■,…, a■线性相关。 例 2:设向量组 B:b■,b■,…,b■能由向量组 A:a■,a■,…,a■线性表示为(b■, b■,…,b■)=(a■,a■,…,a■)K,其中 K 为 s× r 矩阵,A 组线性无关,且 R(K)=r,证 明:B 组线性无关。 证明:只需证明 Bx=0 这个齐次线性方程组只有零解 x=0 即可,由于 B=AK,所以 AKx=0,因为 A 组线性无关,因此 AKx=0 这个齐次线性方程组只有零解 Kx=0,而 R(K) =r,因此 Kx=0 这个齐次线性方程组只有零解 x=0,证毕。 三、利用矩阵的秩 由于判断齐次线性方程组解的情况,可以利用系数矩阵的秩来判断,即向量组 a■, a■,…,a■线性相关的充要条件是它所构成的矩阵 A=(a■,a■,…,a■)的秩小于向量的个 数 m,向量组 a■,a■,…,a■线性无关的充要条件是它所构成的矩阵 A=(a■,a■,…,a■) 的秩等于向量的个数

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